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Topos Uranos
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I numeri complessi come matrici

Riepilogo

Questa lezione associa a ogni numero complesso z=a+biz = a + bi la matrice della trasformazione del piano che moltiplica per zz, e dimostra che questa corrispondenza è iniettiva e trasforma somme in somme e prodotti in prodotti: le matrici di questa forma costituiscono una copia fedele dei numeri complessi dentro le matrici quadrate di ordine due. In questa copia, l’unità immaginaria è la rotazione di un quarto di giro, il cui quadrato è l’opposta dell’identità; il quadrato del modulo è il determinante, il coniugato è la trasposta e l’inverso è la matrice inversa. La forma polare scompone ciascuna di queste matrici in una rotazione seguita da un’omotetia, e le formule di Eulero e di De Moivre ricompaiono come la regola di composizione delle rotazioni. La lezione spiega perché queste matrici commutano, benché le matrici in generale non lo facciano, e termina con un primo sguardo ai quaternioni di Hamilton, il cui prodotto non è più commutativo.

Obiettivi di apprendimento

  1. Ottenere la matrice della moltiplicazione per un numero complesso e dimostrare che la corrispondenza tra complessi e matrici conserva la somma e il prodotto.
  2. Tradurre in matrici il modulo, il coniugato, l’inverso e la forma polare di un complesso, e interpretare geometricamente ogni traduzione.
  3. Calcolare potenze, inversi e radici di numeri complessi mediante le loro matrici, e riconoscere nelle formule di Eulero e di De Moivre la composizione di rotazioni.
  4. Spiegare perché le matrici dei complessi commutano tra loro, dimostrare che sono quelle che commutano con la rotazione di un quarto di giro e verificare con le loro matrici che il prodotto dei quaternioni non è commutativo.

La matrice della moltiplicazione per un complesso

Nella lezione del corso Algebra e Geometria I sui numeri complessi si è identificato ogni complesso x+yix + yi con il punto (x,y)(x, y) del piano, e si è dimostrato che moltiplicare per ii fa ruotare ogni punto di un quarto di giro attorno all’origine. Se è così, moltiplicare per un complesso fissato zz è una trasformazione del piano, che a ogni punto ww associa il punto zwzw. Nella lezione sulle matrici come trasformazioni del piano si è dimostrato che una trasformazione lineare è determinata da una matrice, le cui colonne sono le immagini dei vettori (1,0)(1, 0) e (0,1)(0, 1). Ne segue la domanda che orienta questa lezione: quale matrice ha la moltiplicazione per zz, e che cosa si guadagna rappresentando ogni numero complesso con quella matrice?

ProposizioneLa matrice della moltiplicazione per z

Sia z=a+biz = a + bi un complesso fissato. La trasformazione del piano che moltiplica ogni complesso w=x+yiw = x + yi per zz è lineare; la sua matrice ha per colonne zz e iziz e, se z≠0z \neq 0, porta il quadrato unitario in un quadrato di lato ∣z∣\abs{z}.

Sviluppiamo il prodotto e vi leggiamo la matrice. La figura usa z=2+iz = 2 + i.

Dimostrazione

  1. zw=(a+bi)(x+yi)=ax+ayi+bxi+bi2y=(ax−by)+(bx+ay)izw = (a + bi)(x + yi) = ax + ayi + bxi + b \resaltar{i^2} y = \dato{p}{\resaltar{(ax - by) + (bx + ay) i}}

    Sviluppiamo il prodotto con la proprietà distributiva e sostituiamo i2i^2 con −1-1.

  2. (ax−bybx+ay)=(a−bba)(xy)\begin{pmatrix} \resaltar{ax - by} \\ \resaltar{bx + ay} \end{pmatrix} = \dato{m}{\begin{pmatrix} \resaltar{a} & \resaltar{-b} \\ \resaltar{b} & \resaltar{a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}

    Scriviamo i punti come vettori colonna. Le coordinate di zwzw sono combinazioni di xx e di yy con coefficienti fissi: è il prodotto di una matrice per il vettore di ww, e la trasformazione è, quindi, lineare.

  3. z⋅1=a+bi,z⋅i=−b+aiz \cdot \resaltar{1} = \resaltar{a + bi}, \qquad z \cdot \resaltar{i} = \resaltar{-b + ai}

    Le colonne della matrice sono le immagini di 11 e di ii. La prima è zz; la seconda è iz=−b+aiiz = -b + ai, il ruotato di zz di un quarto di giro.

  4. ∣iz∣=∣i∣∣z∣=∣z∣,z⋅(1+i)=z+iz\abs{iz} = \abs{i} \abs{z} = \resaltar{\abs{z}}, \qquad \resaltar{z \cdot (1 + i)} = \resaltar{z + iz}

    Il quadrato unitario, di vertici 00, 11, 1+i1 + i e ii, si trasforma nel quadrilatero di vertici 00, zz, z+izz + iz e iziz. I suoi lati uscenti dall’origine hanno la stessa lunghezza ∣z∣\abs{z} e sono perpendicolari: l’immagine è un quadrato di lato ∣z∣\abs{z}, ruotato rispetto al quadrato unitario.

La matrice ottenuta ha una forma molto speciale: i suoi due elementi della diagonale sono uguali, e gli altri due sono opposti. Si chiama matrice del complesso z=a+biz = a + bi, con aa e bb reali, la matrice della moltiplicazione per zz:

M(z)=(a−bba)M(z) = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}

La prima colonna di M(z)M(z) è lo stesso zz, e la seconda è iziz. Separando le due componenti del complesso, la matrice si scompone in una combinazione di due matrici fisse: l’identità II, che è la matrice del numero 11, e la matrice JJ del numero ii.

M(a+bi)=a(1001)+b(0−110)=aI+bJM(a + bi) = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = aI + bJ

In specie, i numeri reali corrispondono ai multipli dell’identità, M(a)=aIM(a) = aI, che sono le omotetie di centro l’origine, e gli immaginari puri bibi ai multipli di JJ. Le prime voci della tabella delle corrispondenze sono queste.

M(1)=I,M(i)=J,M(−1)=−I,M(−i)=−J,M(0)=(0000)M(1) = I, \qquad M(i) = J, \qquad M(-1) = -I, \qquad M(-i) = -J, \qquad M(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}