Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Комплексные числа как матрицы

Краткое содержание

В этом уроке каждому комплексному числу z=a+biz = a + bi сопоставляется матрица преобразования плоскости, которое умножает на zz, и доказывается, что это соответствие инъективно и переводит суммы в суммы, а произведения в произведения: матрицы такого вида образуют точную копию комплексных чисел внутри квадратных матриц второго порядка. В этой копии мнимая единица есть поворот на четверть оборота, квадрат которого равен матрице, противоположной единичной; квадрат модуля есть определитель, сопряжённое число есть транспонированная матрица, а обратное число есть обратная матрица. Тригонометрическая форма раскладывает каждую из этих матриц в поворот, за которым выполняется гомотетия, а формулы Эйлера и Муавра возвращаются как правило композиции поворотов. Урок объясняет, почему эти матрицы коммутируют, хотя матрицы в общем случае не коммутируют, и завершается первым знакомством с кватернионами Гамильтона, произведение которых уже не коммутативно.

Цели обучения

  1. Находить матрицу умножения на комплексное число и доказывать, что соответствие между комплексными числами и матрицами сохраняет сумму и произведение.
  2. Переводить на язык матриц модуль, сопряжённое, обратное число и тригонометрическую форму комплексного числа и геометрически истолковывать каждый такой перевод.
  3. Вычислять степени, обратные числа и корни комплексных чисел с помощью их матриц и узнавать в формулах Эйлера и Муавра композицию поворотов.
  4. Объяснять, почему матрицы комплексных чисел коммутируют между собой, доказывать, что именно они коммутируют с поворотом на четверть оборота, и убеждаться с помощью их матриц, что произведение кватернионов не коммутативно.

Матрица умножения на комплексное число

В уроке курса «Алгебра и геометрия I» о комплексных числах каждое комплексное число x+yix + yi было отождествлено с точкой (x,y)(x, y) плоскости и было доказано, что умножение на ii поворачивает каждую точку на четверть оборота вокруг начала координат. Если это так, то умножение на фиксированное комплексное число zz есть преобразование плоскости, которое каждой точке ww сопоставляет точку zwzw. В уроке о матрицах как преобразованиях плоскости было доказано, что линейное преобразование задаётся матрицей, столбцы которой суть образы векторов (1,0)(1, 0) и (0,1)(0, 1). Отсюда вытекает вопрос, который направляет этот урок: какая матрица у умножения на zz и что даёт представление каждого комплексного числа этой матрицей?

УтверждениеМатрица умножения на z

Пусть z=a+biz = a + bi есть фиксированное комплексное число. Преобразование плоскости, которое умножает каждое комплексное число w=x+yiw = x + yi на zz, линейно; столбцы его матрицы суть zz и iziz, и, если z≠0z \neq 0, оно переводит единичный квадрат в квадрат со стороной ∣z∣\abs{z}.

Раскроем произведение и прочтём в нём матрицу. На рисунке взято z=2+iz = 2 + i.

Доказательство

  1. zw=(a+bi)(x+yi)=ax+ayi+bxi+bi2y=(ax−by)+(bx+ay)izw = (a + bi)(x + yi) = ax + ayi + bxi + b \resaltar{i^2} y = \dato{p}{\resaltar{(ax - by) + (bx + ay) i}}

    Раскрываем произведение по распределительному закону и заменяем i2i^2 на −1-1.

  2. (ax−bybx+ay)=(a−bba)(xy)\begin{pmatrix} \resaltar{ax - by} \\ \resaltar{bx + ay} \end{pmatrix} = \dato{m}{\begin{pmatrix} \resaltar{a} & \resaltar{-b} \\ \resaltar{b} & \resaltar{a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}

    Записываем точки как векторы-столбцы. Координаты zwzw суть комбинации xx и yy с постоянными коэффициентами: это произведение матрицы на вектор ww, и потому преобразование линейно.

  3. z⋅1=a+bi,z⋅i=−b+aiz \cdot \resaltar{1} = \resaltar{a + bi}, \qquad z \cdot \resaltar{i} = \resaltar{-b + ai}

    Столбцы матрицы суть образы 11 и ii. Первый из них есть zz; второй есть iz=−b+aiiz = -b + ai, поворот zz на четверть оборота.

  4. ∣iz∣=∣i∣∣z∣=∣z∣,z⋅(1+i)=z+iz\abs{iz} = \abs{i} \abs{z} = \resaltar{\abs{z}}, \qquad \resaltar{z \cdot (1 + i)} = \resaltar{z + iz}

    Единичный квадрат с вершинами 00, 11, 1+i1 + i и ii переходит в четырёхугольник с вершинами 00, zz, z+izz + iz и iziz. Его стороны, выходящие из начала координат, имеют одну и ту же длину ∣z∣\abs{z} и перпендикулярны: образ есть квадрат со стороной ∣z∣\abs{z}, повёрнутый относительно единичного квадрата.

Полученная матрица имеет весьма особый вид: два её диагональных элемента равны, а два других противоположны. Матрицей комплексного числа z=a+biz = a + bi, где aa и bb действительны, называется матрица умножения на zz:

M(z)=(a−bba)M(z) = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}

Первый столбец M(z)M(z) есть само zz, а второй есть iziz. Если отделить действительную и мнимую составляющие числа, матрица раскладывается в комбинацию двух фиксированных матриц: единичной II, которая есть матрица числа 11, и матрицы JJ числа ii.

M(a+bi)=a(1001)+b(0−110)=aI+bJM(a + bi) = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = aI + bJ

В том числе действительным числам соответствуют кратные единичной матрицы, M(a)=aIM(a) = aI, то есть гомотетии с центром в начале координат, а чисто мнимым числам bibi соответствуют кратные JJ. Таблица соответствий начинается так.

M(1)=I,M(i)=J,M(−1)=−I,M(−i)=−J,M(0)=(0000)M(1) = I, \qquad M(i) = J, \qquad M(-1) = -I, \qquad M(-i) = -J, \qquad M(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}