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Topos Uranos
中文 (中国)

作为矩阵的复数

摘要

本课给每个复数 z=a+biz = a + bi 配以一个矩阵，即平面上乘以 zz 这一变换的矩阵，并证明这种对应是单射，且把和变为和、把积变为积：这种形式的矩阵在二阶方阵之中构成复数的一个忠实的副本。在这个副本中，虚数单位是旋转四分之一周，它的平方是单位矩阵的相反矩阵；模的平方是行列式，共轭复数是转置矩阵，倒数是逆矩阵。极坐标形式把每个这样的矩阵分解为一个旋转再接一个位似，而欧拉公式与棣莫弗公式则作为旋转的复合法则重新出现。本课解释为什么这些矩阵可交换，尽管一般的矩阵并不可交换，最后对哈密顿的四元数作首次介绍，它们的乘法已不再可交换。

学习目标

  1. 求出乘以一个复数的矩阵，并证明复数与矩阵之间的对应保持加法和乘法。
  2. 把复数的模、共轭复数、倒数和极坐标形式翻译为矩阵的语言，并对每一种翻译作几何解释。
  3. 借助矩阵计算复数的幂、倒数和方根，并在欧拉公式与棣莫弗公式中认出旋转的复合。
  4. 解释为什么复数的矩阵彼此可交换，证明恰好是它们与旋转四分之一周可交换，并用它们的矩阵验证四元数的乘法不可交换。

乘以一个复数的矩阵

在课程 代数与几何 I 中关于复数的课里，我们把每个复数 x+yix + yi 等同于平面上的点 (x,y)(x, y)，并证明了乘以 ii 使每个点绕原点旋转四分之一周。既然如此，乘以一个固定的复数 zz 就是平面的一个变换，它把每个点 ww 对应到点 zwzw。在关于作为平面变换的矩阵的课里，我们证明了线性变换由一个矩阵确定，该矩阵的列是向量 (1,0)(1, 0) 和 (0,1)(0, 1) 的像。由此引出贯穿本课的问题：乘以 zz 的矩阵是什么？用这个矩阵来表示每个复数，又能得到什么？

命题乘以 z 的矩阵

设 z=a+biz = a + bi 是一个固定的复数。把每个复数 w=x+yiw = x + yi 乘以 zz 的平面变换是线性的；它的矩阵以 zz 和 iziz 为列，并且当 z≠0z \neq 0 时，它把单位正方形变为边长为 ∣z∣\abs{z} 的正方形。

我们展开乘积，并从中读出矩阵。图中取 z=2+iz = 2 + i。

证明

  1. zw=(a+bi)(x+yi)=ax+ayi+bxi+bi2y=(ax−by)+(bx+ay)izw = (a + bi)(x + yi) = ax + ayi + bxi + b \resaltar{i^2} y = \dato{p}{\resaltar{(ax - by) + (bx + ay) i}}

    用分配律展开乘积，并把 i2i^2 换成 −1-1。

  2. (ax−bybx+ay)=(a−bba)(xy)\begin{pmatrix} \resaltar{ax - by} \\ \resaltar{bx + ay} \end{pmatrix} = \dato{m}{\begin{pmatrix} \resaltar{a} & \resaltar{-b} \\ \resaltar{b} & \resaltar{a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}

    把点写成列向量。zwzw 的坐标是 xx 和 yy 的组合，系数固定：这正是一个矩阵与 ww 的向量的乘积，因此该变换是线性的。

  3. z⋅1=a+bi,z⋅i=−b+aiz \cdot \resaltar{1} = \resaltar{a + bi}, \qquad z \cdot \resaltar{i} = \resaltar{-b + ai}

    矩阵的列是 11 和 ii 的像。第一列是 zz；第二列是 iz=−b+aiiz = -b + ai，即 zz 旋转四分之一周的结果。

  4. ∣iz∣=∣i∣∣z∣=∣z∣,z⋅(1+i)=z+iz\abs{iz} = \abs{i} \abs{z} = \resaltar{\abs{z}}, \qquad \resaltar{z \cdot (1 + i)} = \resaltar{z + iz}

    单位正方形的顶点为 00、11、1+i1 + i 和 ii，它变为顶点为 00、zz、z+izz + iz 和 iziz 的四边形。它从原点出发的两条边有相同的长度 ∣z∣\abs{z}，并且互相垂直：像是边长为 ∣z∣\abs{z} 的正方形，相对于单位正方形转过了一个角度。

所得的矩阵有一种非常特殊的形式：它对角线上的两个元素相等，另外两个元素互为相反数。对复数 z=a+biz = a + bi（其中 aa 和 bb 为实数），乘以 zz 的矩阵称为它的复数的矩阵：

M(z)=(a−bba)M(z) = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}

M(z)M(z) 的第一列就是 zz 本身，第二列是 iziz。把复数的实部与虚部分开，矩阵就分解为两个固定矩阵的组合：单位矩阵 II，即数 11 的矩阵，以及矩阵 JJ，即数 ii 的矩阵。

M(a+bi)=a(1001)+b(0−110)=aI+bJM(a + bi) = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = aI + bJ

特别地，实数对应于单位矩阵的倍数 M(a)=aIM(a) = aI，也就是以原点为中心的位似，而纯虚数 bibi 对应于 JJ 的倍数。对应表的前几项如下。

M(1)=I,M(i)=J,M(−1)=−I,M(−i)=−J,M(0)=(0000)M(1) = I, \qquad M(i) = J, \qquad M(-1) = -I, \qquad M(-i) = -J, \qquad M(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}