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Topos Uranos
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Le matrici come trasformazioni del piano

Riepilogo

Questa lezione interpreta ogni matrice con due righe e due colonne come una trasformazione del piano, quella che porta ogni v⃗\vec{v}, scritto come colonna, nel vettore Av⃗A\vec{v}. Dimostra che queste trasformazioni sono esattamente quelle lineari e che ciascuna è determinata dalle immagini dei due versori fondamentali, che sono le colonne della sua matrice. Con questo principio ottiene le matrici delle rotazioni, delle proiezioni sulle rette passanti per l’origine e delle simmetrie assiali rispetto a tali rette, delle omotetie e delle trasformazioni di taglio. Dimostra che comporre trasformazioni equivale a moltiplicare le loro matrici, da cui seguono la somma degli angoli di due rotazioni, il fatto che due simmetrie assiali composte formano una rotazione del doppio dell’angolo fra i loro assi e il fatto che le simmetrie assiali non commutano in generale. Interpreta il determinante come il fattore per cui la trasformazione moltiplica le aree, con segno negativo quando inverte l’orientamento, e caratterizza le trasformazioni biiettive come quelle con determinante non nullo. Termina riscrivendo in forma matriciale la rotazione degli assi dell’equazione generale di secondo grado.

Obiettivi di apprendimento

  1. Riconoscere una matrice come trasformazione lineare del piano e ottenere la matrice di una trasformazione a partire dalle immagini dei versori fondamentali.
  2. Scrivere e ricavare le matrici delle rotazioni, proiezioni, simmetrie assiali, omotetie e trasformazioni di taglio, e descrivere geometricamente l’effetto di una matrice data.
  3. Dimostrare che la composizione di trasformazioni corrisponde al prodotto di matrici e applicarlo alla composizione di rotazioni e di simmetrie assiali.
  4. Interpretare il determinante come fattore d’area e di orientamento, decidere quando una trasformazione è invertibile ed esprimere con matrici la rotazione degli assi di un’equazione di secondo grado.

Le matrici come trasformazioni

Nella lezione del corso Algebra e Geometria I sui vettori nel piano un vettore è stato definito come una coppia ordinata di numeri reali, e nella lezione su matrici e operazioni con le matrici è stato definito il prodotto di una matrice per un’altra, righe per colonne. Se la coppia (x,y)(x, y) si scrive come una colonna, cioè come una matrice con due righe e una colonna, una matrice AA con due righe e due colonne può moltiplicarla, e il risultato è un’altra colonna con due elementi, cioè un altro vettore. In questo modo ogni matrice muove i punti del piano, e l’algebra delle matrici acquista un significato geometrico. D’ora in poi identifichiamo la coppia (x,y)(x, y) con la colonna di elementi xx e yy, e chiamiamo e⃗1=(1,0)\vec{e}_1 = (1, 0) e e⃗2=(0,1)\vec{e}_2 = (0, 1) versori fondamentali, così che ogni vettore si scrive v⃗=xe⃗1+ye⃗2\vec{v} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2.

Una trasformazione del piano è una funzione che associa a ogni vettore del piano un altro vettore del piano. Se AA è una matrice con due righe e due colonne, la trasformazione di matrice AA è quella che associa a ogni v⃗\vec{v} il prodotto Av⃗A\vec{v}.
T(v⃗)=Av⃗=(abcd)(xy)=(ax+bycx+dy)T(\vec{v}) = A\vec{v} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}

Per esempio, la matrice di elementi 22, 00, 00 e 33 porta il punto (x,y)(x, y) nel punto (2x,3y)(2x, 3y): allunga il piano del doppio nella direzione orizzontale e del triplo in quella verticale. Le trasformazioni di matrice hanno una proprietà che le distingue dalle altre funzioni del piano, e che si esprime con la definizione seguente.

Una trasformazione TT del piano è lineare se conserva la somma di vettori e il prodotto di un vettore per un numero: per tutti i vettori u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} del piano e ogni numero reale tt valgono le due uguaglianze seguenti.
T(u⃗+v⃗)=T(u⃗)+T(v⃗),T(tv⃗)=tT(v⃗)T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v}), \qquad T(t\vec{v}) = tT(\vec{v})
TeoremaLe colonne della matrice

Ogni trasformazione di matrice è lineare, e le colonne della sua matrice sono le immagini dei versori fondamentali: la prima è l’immagine di e⃗1\vec{e}_1 e la seconda quella di e⃗2\vec{e}_2. Viceversa, ogni trasformazione lineare del piano è la trasformazione di un’unica matrice, cioè quella che ha per colonne T(e⃗1)T(\vec{e}_1) e T(e⃗2)T(\vec{e}_2).

Si usano la distributività del prodotto di matrici e la sua compatibilità con il prodotto per un numero, dimostrate nella lezione sulle matrici e le loro operazioni. La figura segue la trasformazione di matrice AA con colonne (2,1)(2, 1) e (−1,1)(-1, 1).

Dimostrazione

  1. T(u⃗+v⃗)=A⋅(u⃗+v⃗)=Au⃗+Av⃗,T(tv⃗)=A⋅(tv⃗)=tAv⃗T(\vec{u} + \vec{v}) = \resaltar{A \cdot \left( \vec{u} + \vec{v} \right)} = \resaltar{A\vec{u} + A\vec{v}}, \qquad T(t\vec{v}) = \resaltar{A \cdot \left( t\vec{v} \right)} = \resaltar{tA\vec{v}}

    Sia AA una matrice e TT la sua trasformazione. La distributività e la compatibilità con il prodotto per un numero danno le due condizioni della linearità; nella figura, il parallelogramma formato da u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} va a finire in quello formato dalle loro immagini.

  2. T(e⃗1)=(abcd)(10)=(ac)T(\vec{e}_1) = \resaltar{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = \dato{c1}{\resaltar{\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}}}

    Calcoliamo l’immagine di e⃗1\vec{e}_1: moltiplicando righe per colonne, di ogni riga di AA conta solo il primo elemento.

  3. T(e⃗2)=(abcd)(01)=(bd)T(\vec{e}_2) = \resaltar{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}} = \dato{c2}{\resaltar{\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}}}

    Allo stesso modo, nell’immagine di e⃗2\vec{e}_2 conta solo il secondo elemento di ogni riga.

  4. T(v⃗)=T(xe⃗1+ye⃗2)=xT(e⃗1)+yT(e⃗2)=xAe⃗1+yAe⃗2=Av⃗T(\vec{v}) = \resaltar{T(x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2)} = xT(\vec{e}_1) + yT(\vec{e}_2) = \resaltar{xA\vec{e}_1 + yA\vec{e}_2} = A\vec{v}

    Sia ora TT una trasformazione lineare qualsiasi, e sia AA la matrice le cui colonne sono T(e⃗1)T(\vec{e}_1) e T(e⃗2)T(\vec{e}_2). Scriviamo v⃗=xe⃗1+ye⃗2\vec{v} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 e applichiamo la linearità; per i due passi appena visti, T(e⃗1)=Ae⃗1T(\vec{e}_1) = A\vec{e}_1 e T(e⃗2)=Ae⃗2T(\vec{e}_2) = A\vec{e}_2. Nella figura, la griglia del piano va a finire in una griglia di parallelogrammi.

  5. Be⃗1=T(e⃗1)=Ae⃗1,Be⃗2=T(e⃗2)=Ae⃗2→B=AB\vec{e}_1 = T(\vec{e}_1) = A\vec{e}_1, \quad B\vec{e}_2 = T(\vec{e}_2) = A\vec{e}_2 \rightarrow B = A

    Se un’altra matrice BB soddisfacesse anch’essa T(v⃗)=Bv⃗T(\vec{v}) = B\vec{v} per ogni v⃗\vec{v}, le colonne di BB, che sono Be⃗1B\vec{e}_1 e Be⃗2B\vec{e}_2, coinciderebbero con quelle di AA; la matrice è unica.

Il teorema riduce lo studio di una trasformazione lineare a quello di due vettori: per conoscere la matrice basta sapere dove vanno e⃗1\vec{e}_1 e e⃗2\vec{e}_2, e per sapere che cosa fa una matrice basta leggerne le colonne. Dalla linearità seguono inoltre varie proprietà geometriche. L’origine resta fissa, perché A0⃗=0⃗A\vec{0} = \vec{0}; per questo le traslazioni, che muovono l’origine, non sono lineari. La retta di equazione vettoriale p⃗+td⃗\vec{p} + t\vec{d}, studiata nella lezione del corso I sui vettori, va a finire nell’insieme dei punti Ap⃗+tAd⃗A\vec{p} + tA\vec{d}, che è una retta se Ad⃗A\vec{d} non è nullo e un solo punto se lo è. Allo stesso modo, un segmento va a finire in un segmento o in un punto, rette parallele vanno a finire in rette parallele o in punti, e il quadrato di vertici 0⃗\vec{0}, e⃗1\vec{e}_1, e⃗1+e⃗2\vec{e}_1 + \vec{e}_2 e e⃗2\vec{e}_2, che chiameremo quadrato unitario, va a finire nel parallelogramma, forse schiacciato, formato dalle due colonne della matrice.