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Topos Uranos
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La matrice inversa

Riepilogo

Questa lezione studia la matrice inversa, che fa con le matrici quadrate ciò che l’inverso fa con i numeri non nulli. Dimostra che l’inversa, quando esiste, è unica; che una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante non è nullo, e che in tal caso l’inversa è la matrice aggiunta, formata dai complementi algebrici, divisa per il determinante; da ciò ricava la formula dell’inversa di ordine due. Dimostra le proprietà dell’inversa del prodotto, della trasposta e delle potenze, traduce ogni operazione elementare di riga nel prodotto per una matrice elementare e ne deduce il metodo di Gauss-Jordan, che ottiene l’inversa trasformando la matrice (A,I)\left( A, I \right) in (I,A−1)\left( I, A^{-1} \right). Infine, risolve le equazioni matriciali e riunisce in un solo teorema le condizioni equivalenti all’invertibilità, che collegano l’inversa con il determinante, con il rango e con i sistemi di equazioni lineari; da esse deduce che basta verificare uno dei due prodotti della definizione, e con le matrici elementari dimostra che il determinante di un prodotto è il prodotto dei determinanti.

Obiettivi di apprendimento

  1. Definire la matrice inversa, dimostrarne l’unicità e decidere se una matrice è invertibile mediante il suo determinante.
  2. Calcolare l’inversa mediante la matrice aggiunta, specialmente con la formula di ordine due, e mediante il metodo di Gauss-Jordan, giustificando entrambi i procedimenti.
  3. Applicare le proprietà dell’inversa del prodotto, della trasposta e delle potenze, e risolvere equazioni matriciali rispettando l’ordine dei fattori.
  4. Collegare l’invertibilità di una matrice con il rango, con le matrici elementari e con l’esistenza e l’unicità delle soluzioni dei sistemi lineari, e dimostrare con le matrici elementari che il determinante di un prodotto è il prodotto dei determinanti.

La matrice inversa

Nella lezione del corso Algebra e Geometria I su insiemi numerici si è visto che ogni numero aa non nullo ha un inverso a−1a^{-1}, che permette di risolvere l’equazione ax=bax = b moltiplicandone i due membri per a−1a^{-1}. Nella lezione su matrici e operazioni con le matrici, un sistema di equazioni lineari è stato scritto come un’unica equazione AX=BAX = B, e la matrice identità II è risultata essere l’elemento neutro del prodotto. Se è così, la domanda naturale è se esista una matrice che svolga, rispetto ad AA, il ruolo dell’inverso, in modo che il sistema si risolva con una sola moltiplicazione. Ora, il prodotto di matrici non è commutativo, quindi la definizione deve esigere entrambe le uguaglianze; e perché ABAB e BABA abbiano la stessa dimensione di II, la matrice AA deve essere quadrata.

Una matrice quadrata AA di ordine nn è invertibile quando esiste una matrice BB di ordine nn tale che AB=BA=IAB = BA = I, dove II è l’identità di ordine nn. Una matrice BB con questa proprietà si chiama inversa di AA.

Per esempio, le due matrici qui sotto sono l’una l’inversa dell’altra, come si verifica moltiplicandole nei due ordini:

(2153)(3−1−52)=(3−1−52)(2153)=(1001)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Non ogni matrice non nulla è invertibile, e in questo le matrici si separano dai numeri. Una matrice con una riga nulla non lo è, perché il prodotto di quella riga per qualunque colonna è 00, sicché ABAB ha una riga nulla per ogni BB e non può essere l’identità. Non lo è neppure una matrice AA per la quale esista CC non nulla con AC=0AC = 0, uno dei divisori dello zero della lezione sulle matrici: se AA avesse inversa BB, si avrebbe C=(BA)C=B⋅(AC)=0C = (BA)C = B \cdot (AC) = 0; e non lo è neppure CC, perché se avesse inversa BB si avrebbe A=A⋅(CB)=(AC)B=0A = A \cdot (CB) = (AC)B = 0. Per esempio, la matrice di righe 1,11, 1 e 1,11, 1 moltiplicata per quella di righe 1,−11, -1 e −1,1-1, 1 dà la matrice nulla, e nessuna delle due è invertibile.

LemmaUnicità dell’inversa

Una matrice quadrata ha al più un’inversa: se AB=BA=IAB = BA = I e AD=DA=IAD = DA = I, allora B=DB = D.

La dimostrazione è quella dell’unicità dell’opposto e dell’inverso della lezione del corso I sugli insiemi numerici, con la differenza che non si può usare la commutatività; al suo posto si usa un’uguaglianza per ciascun lato, con l’associatività del prodotto di matrici e il carattere neutro dell’identità, dimostrati nella lezione sulle matrici. La figura scrive ogni prodotto come una fila di fattori e segnala i due che si raggruppano.

Dimostrazione

  1. AB=BA=I,AD=DA=I\dato{b}{AB = BA = I}, \qquad \dato{d}{AD = DA = I}

    Muoviamo dalle due ipotesi: BB e DD soddisfano, ciascuna, le due uguaglianze della definizione.

  2. B=BI=B⋅(AD)B = B \resaltar{I} = B \cdot \resaltar{(AD)}

    Poiché II è l’elemento neutro del prodotto, B=BIB = BI; sostituiamo II con ADAD, che è l’uguaglianza di DD a destra.

  3. B⋅(AD)=(BA)D=ID=DB \cdot (AD) = \resaltar{(BA)} D = \resaltar{I} D = D

    Per l’associatività raggruppiamo in un altro modo, e usiamo l’uguaglianza di BB a sinistra, BA=IBA = I. I due fattori che si raggruppano cambiano, ma l’ordine delle tre matrici no.

L’unica inversa di AA, quando esiste, si denota con A−1A^{-1}. Non va scritta come una frazione 1A\frac{1}{A}, né il prodotto BA−1BA^{-1} come un quoziente BA\frac{B}{A}: poiché BA−1BA^{-1} e A−1BA^{-1}B sono, in generale, diverse, quella scrittura non indicherebbe da quale lato si moltiplica. Arthur Cayley, che nel 1858 fondò il calcolo con le matrici, definì già l’inversa mediante la matrice aggiunta della sezione «Determinante e invertibilità».