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Topos Uranos
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व्युत्क्रम आव्यूह

सारांश

यह पाठ व्युत्क्रम आव्यूह का अध्ययन करता है, जो वर्ग आव्यूहों के साथ वही करता है जो शून्येतर संख्याओं के साथ गुणात्मक प्रतिलोम करता है। यह सिद्ध करता है कि व्युत्क्रम, जब उसका अस्तित्व हो, अद्वितीय होता है; कि कोई आव्यूह व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि उसका सारणिक शून्य नहीं है, और उस स्थिति में व्युत्क्रम सहखंडों से बना सहखंडज आव्यूह है, जिसे सारणिक से भाग दिया गया हो; इससे यह कोटि दो के व्युत्क्रम का सूत्र प्राप्त करता है। यह गुणनफल, परिवर्त और घातों के व्युत्क्रम के गुणधर्म सिद्ध करता है, प्रत्येक प्रारंभिक पंक्ति संक्रिया को किसी प्रारंभिक आव्यूह से गुणन में बदलता है और उससे गाउस-जॉर्डन विधि निगमित करता है, जो आव्यूह (A,I)\left( A, I \right) को (I,A−1)\left( I, A^{-1} \right) में बदलकर व्युत्क्रम प्राप्त करती है। अंत में, यह आव्यूह समीकरणों को हल करता है और व्युत्क्रमणीयता की तुल्य शर्तों को, जो व्युत्क्रम को सारणिक, जाति और रैखिक समीकरण निकायों से जोड़ती हैं, एक ही प्रमेय में एकत्र करता है; उनसे यह निगमित करता है कि परिभाषा के दो गुणनफलों में से एक की जाँच पर्याप्त है, और प्रारंभिक आव्यूहों से यह सिद्ध करता है कि गुणनफल का सारणिक सारणिकों का गुणनफल है।

अधिगम उद्देश्य

  1. व्युत्क्रम आव्यूह को परिभाषित करना, उसकी अद्वितीयता सिद्ध करना और सारणिक द्वारा तय करना कि कोई आव्यूह व्युत्क्रमणीय है या नहीं।
  2. सहखंडज आव्यूह द्वारा, विशेष रूप से कोटि दो के सूत्र से, और गाउस-जॉर्डन विधि द्वारा व्युत्क्रम का परिकलन करना, दोनों प्रक्रियाओं का औचित्य देते हुए।
  3. गुणनफल, परिवर्त और घातों के व्युत्क्रम के गुणधर्मों को लागू करना, और गुणनखंडों का क्रम बनाए रखते हुए आव्यूह समीकरणों को हल करना।
  4. किसी आव्यूह की व्युत्क्रमणीयता को जाति से, प्रारंभिक आव्यूहों से और रैखिक निकायों के हलों के अस्तित्व और अद्वितीयता से जोड़ना, और प्रारंभिक आव्यूहों से सिद्ध करना कि गुणनफल का सारणिक सारणिकों का गुणनफल है।

व्युत्क्रम आव्यूह

बीजगणित और ज्यामिति I पाठ्यक्रम के संख्या समुच्चयों वाले पाठ में देखा गया कि प्रत्येक शून्येतर संख्या aa का एक गुणात्मक प्रतिलोम a−1a^{-1} होता है, जिससे समीकरण ax=bax = b को उसके दोनों पक्षों को a−1a^{-1} से गुणा करके हल किया जा सकता है। आव्यूह और आव्यूहों पर संक्रियाएँ वाले पाठ में रैखिक समीकरण निकाय को एक ही समीकरण AX=BAX = B के रूप में लिखा गया, और तत्समक आव्यूह II गुणन का तत्समक अवयव सिद्ध हुआ। यदि ऐसा है, तो स्वाभाविक प्रश्न यह है कि क्या कोई ऐसा आव्यूह है जो AA के संदर्भ में गुणात्मक प्रतिलोम की भूमिका निभाए, ताकि निकाय एक ही गुणन से हल हो जाए। परंतु आव्यूहों का गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, इसलिए परिभाषा को दोनों समताओं की माँग करनी चाहिए; और ABAB तथा BABA का आकार II के आकार जितना हो, इसके लिए आव्यूह AA का वर्ग होना आवश्यक है।

एक वर्ग आव्यूह AA (कोटि nn का) व्युत्क्रमणीय होता है जब कोई आव्यूह BB (कोटि nn का) ऐसा हो कि AB=BA=IAB = BA = I, जहाँ II कोटि nn का तत्समक आव्यूह है। इस गुण वाले आव्यूह BB को AA का व्युत्क्रम कहते हैं।

उदाहरण के लिए, नीचे के दो आव्यूह एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं, जैसा उन्हें दोनों क्रमों में गुणा करके जाँचा जा सकता है:

(2153)(3−1−52)=(3−1−52)(2153)=(1001)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

प्रत्येक शून्येतर आव्यूह व्युत्क्रमणीय नहीं होता, और इसमें आव्यूह संख्याओं से अलग हो जाते हैं। शून्य पंक्ति वाला आव्यूह व्युत्क्रमणीय नहीं है, क्योंकि उस पंक्ति और किसी भी स्तंभ का गुणनफल 00 है, इसलिए ABAB में प्रत्येक BB के लिए एक शून्य पंक्ति होती है और वह तत्समक नहीं हो सकता। न ही ऐसा आव्यूह AA व्युत्क्रमणीय है जिसके लिए कोई शून्येतर CC हो जिसके साथ AC=0AC = 0 हो, जो आव्यूहों वाले पाठ के शून्य भाजकों में से एक है: यदि AA का व्युत्क्रम BB होता, तो C=(BA)C=B⋅(AC)=0C = (BA)C = B \cdot (AC) = 0 होता; और न ही CC व्युत्क्रमणीय है, क्योंकि यदि उसका व्युत्क्रम BB होता तो A=A⋅(CB)=(AC)B=0A = A \cdot (CB) = (AC)B = 0 होता। उदाहरण के लिए, पंक्तियों 1,11, 1 और 1,11, 1 वाले आव्यूह को पंक्तियों 1,−11, -1 और −1,1-1, 1 वाले आव्यूह से गुणा करने पर शून्य आव्यूह मिलता है, और दोनों में से कोई भी व्युत्क्रमणीय नहीं है।

उपप्रमेयव्युत्क्रम की अद्वितीयता

किसी वर्ग आव्यूह का अधिक से अधिक एक व्युत्क्रम होता है: यदि AB=BA=IAB = BA = I और AD=DA=IAD = DA = I, तो B=DB = D।

उपपत्ति वही है जो पाठ्यक्रम I के संख्या समुच्चयों वाले पाठ में योज्य प्रतिलोम और गुणात्मक प्रतिलोम की अद्वितीयता की थी, इस अंतर के साथ कि क्रमविनिमेयता का उपयोग नहीं किया जा सकता; उसके स्थान पर प्रत्येक ओर की एक समता का उपयोग होता है, साथ ही आव्यूहों के गुणन की साहचर्यता और तत्समक के तत्समक अवयव होने के गुण का, जो आव्यूहों वाले पाठ में सिद्ध किए गए। आकृति प्रत्येक गुणनफल को गुणनखंडों की एक कतार के रूप में लिखती है और उन दो को चिह्नित करती है जिन्हें साथ रखा जाता है।

प्रमाण

  1. AB=BA=I,AD=DA=I\dato{b}{AB = BA = I}, \qquad \dato{d}{AD = DA = I}

    हम दोनों परिकल्पनाओं से आरंभ करते हैं: BB और DD में से प्रत्येक परिभाषा की दोनों समताओं को संतुष्ट करता है।

  2. B=BI=B⋅(AD)B = B \resaltar{I} = B \cdot \resaltar{(AD)}

    चूँकि II गुणन का तत्समक अवयव है, B=BIB = BI; हम II के स्थान पर ADAD रखते हैं, जो DD की दाईं ओर की समता है।

  3. B⋅(AD)=(BA)D=ID=DB \cdot (AD) = \resaltar{(BA)} D = \resaltar{I} D = D

    साहचर्यता से हम दूसरे ढंग से कोष्ठक लगाते हैं, और BB की बाईं ओर की समता, BA=IBA = I, का उपयोग करते हैं। साथ रखे जाने वाले दो गुणनखंड बदलते हैं, पर तीनों आव्यूहों का क्रम नहीं बदलता।

AA का अद्वितीय व्युत्क्रम, जब उसका अस्तित्व हो, A−1A^{-1} से निरूपित किया जाता है। इसे भिन्न 1A\frac{1}{A} के रूप में नहीं लिखना चाहिए, न ही गुणनफल BA−1BA^{-1} को भागफल BA\frac{B}{A} के रूप में: चूँकि BA−1BA^{-1} और A−1BA^{-1}B सामान्यतः अलग होते हैं, वह लेखन यह नहीं बताएगा कि किस ओर से गुणा किया जाता है। आर्थर केली ने, जिन्होंने 1858 में आव्यूहों से परिकलन की नींव रखी, “सारणिक और व्युत्क्रमणीयता” वाले भाग के सहखंडज आव्यूह द्वारा ही व्युत्क्रम को परिभाषित किया था।