Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Matrix inversa

Svmmarivm

Haec lectio matricem inversam tractat, qvae in matricibvs qvadratis id efficit qvod inversvm in nvmeris non nvllis. Ostendit inversam, si exstat, vnicam esse; matricem invertibilem esse si et solvm si determinans eivs non nvllvm sit, et tvm inversam esse matricem adivnctam, ex cofactoribvs formatam, per determinans divisam; inde formvlam inversae ordinis secvndi elicit. Ostendit proprietates inversae prodvcti, transpositae et potentiarvm, vnamqvamqve operationem elementarem in versibvs in prodvctvm per matricem elementarem vertit et inde methodvm Gavssii et Iordani dedvcit, qvae inversam obtinet matricem (A,I)\left( A, I \right) in (I,A−1)\left( I, A^{-1} \right) transformando. Postremo aeqvationes matriciales solvit et vno theoremate condiciones invertibilitati aeqvivalentes complectitvr, qvae inversam cvm determinante, cvm rango et cvm systematibvs aeqvationvm linearivm conivngvnt; ex eis colligit satis esse altervm ex dvobvs prodvctis definitionis confirmare, et matricibvs elementaribvs ostendit determinans prodvcti esse prodvctvm determinantivm.

Proposita discendi

  1. Matricem inversam definire, eivs vnicitatem ostendere et ope determinantis decernere nvm matrix invertibilis sit.
  2. Inversam compvtare ope matricis adivnctae, praesertim formvla ordinis secvndi, et ope methodi Gavssii et Iordani, vtramqve rationem ivstificando.
  3. Proprietates inversae prodvcti, transpositae et potentiarvm adhibere, et aeqvationes matriciales solvere ordine factorvm servato.
  4. Invertibilitatem matricis cvm rango, cvm matricibvs elementaribvs et cvm exsistentia et vnicitate solvtionvm systematvm linearivm conivngere, et matricibvs elementaribvs ostendere determinans prodvcti esse prodvctvm determinantivm.

Matrix inversa

In lectione cvrsvs Algebra et Geometria I de generibvs nvmerorvm visvm est omnem nvmervm aa non nvllvm inversvm a−1a^{-1} habere, qvo aeqvatio ax=bax = b solvi potest vtroqve eivs membro per a−1a^{-1} mvltiplicato. In lectione de matricibvs et operationibvs cvm matricibvs systema aeqvationvm linearivm vt vna aeqvatio AX=BAX = B scriptvm est, et matrix identitatis II elementvm nevtrvm prodvcti esse apparvit. Qvod si ita est, natvralis qvaestio est nvm exstet matrix qvae, respectv AA, mvnvs inversi gerat, ita vt systema vna mvltiplicatione solvatvr. Atqvi prodvctvm matricvm non est commvtativvm, itaqve definitio ambas aeqvalitates exigere debet; et vt ABAB et BABA eandem magnitvdinem habeant ac II, matrix AA qvadrata esse debet.

Matrix qvadrata AA ordinis nn invertibilis est cvm exstat matrix BB ordinis nn talis vt AB=BA=IAB = BA = I, vbi II est identitas ordinis nn. Matrix BB hac proprietate praedita inversa ipsivs AA vocatvr.

Exempli gratia, dvae matrices infra positae inter se inversae svnt, vt confirmatvr eas in vtroqve ordine mvltiplicando:

(2153)(3−1−52)=(3−1−52)(2153)=(1001)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Non omnis matrix non nvlla invertibilis est, et hac in re matrices a nvmeris discedvnt. Matrix cvm versv nvllo non est, qvia prodvctvm hvivs versvs per qvamlibet colvmnam est 00, ita vt ABAB versvm nvllvm habeat pro omni BB nec identitas esse possit. Neqve est matrix AA ad qvam exstet CC non nvlla cvm AC=0AC = 0, vnvs ex divisoribvs nihili lectionis de matricibvs: si AA inversam BB haberet, esset C=(BA)C=B⋅(AC)=0C = (BA)C = B \cdot (AC) = 0; neqve est CC, qvia si inversam BB haberet, esset A=A⋅(CB)=(AC)B=0A = A \cdot (CB) = (AC)B = 0. Exempli gratia, matrix versvvm 1,11, 1 et 1,11, 1 per matricem versvvm 1,−11, -1 et −1,1-1, 1 mvltiplicata matricem nvllam dat, et nevtra invertibilis est.

LemmaVnicitas inversae

Matrix qvadrata svmmvm vnam inversam habet: si AB=BA=IAB = BA = I et AD=DA=IAD = DA = I, tvm B=DB = D.

Demonstratio est ea vnicitatis oppositi et inversi lectionis cvrsvs I de generibvs nvmerorvm, hoc excepto qvod commvtativitate vti non licet; eivs loco aeqvalitas ab vtroqve latere adhibetvr, cvm associativitate prodvcti matricvm et natvra nevtra identitatis, qvae in lectione de matricibvs ostensae svnt. Figvra vnvmqvodqve prodvctvm vt ordinem factorvm scribit et dvos qvi conivngvntvr notat.

Demonstratio

  1. AB=BA=I,AD=DA=I\dato{b}{AB = BA = I}, \qquad \dato{d}{AD = DA = I}

    Ab dvabvs hypothesibvs incipimvs: BB et DD vtraqve dvas aeqvalitates definitionis implent.

  2. B=BI=B⋅(AD)B = B \resaltar{I} = B \cdot \resaltar{(AD)}

    Cvm II sit elementvm nevtrvm prodvcti, B=BIB = BI; II per ADAD svbstitvimvs, qvae est aeqvalitas ipsivs DD a dextra.

  3. B⋅(AD)=(BA)D=ID=DB \cdot (AD) = \resaltar{(BA)} D = \resaltar{I} D = D

    Associativitate aliter conivngimvs, et aeqvalitate ipsivs BB a sinistra vtimvr, BA=IBA = I. Dvo factores qvi conivngvntvr mvtantvr, ordo avtem trivm matricvm non mvtatvr.

Vnica inversa ipsivs AA, si exstat, signo A−1A^{-1} notatvr. Non est vt fractio 1A\frac{1}{A} scribenda, neqve prodvctvm BA−1BA^{-1} vt qvotvs BA\frac{B}{A}: cvm BA−1BA^{-1} et A−1BA^{-1}B plervmqve diversae sint, haec scriptvra non indicaret a qvo latere mvltiplicetvr. Arthvrvs Cayley, qvi anno 1858 calcvlvm matricvm condidit, iam inversam ope matricis adivnctae definivit, qvae in capite «Determinans et invertibilitas» tractatvr.