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Topos Uranos
Deutsch

Die inverse Matrix

Zusammenfassung

Diese Lektion untersucht die inverse Matrix, die für quadratische Matrizen leistet, was das Inverse für die von null verschiedenen Zahlen leistet. Sie beweist, dass die Inverse, wenn sie existiert, eindeutig ist; dass eine Matrix genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante nicht null ist, und dass die Inverse in diesem Fall die aus den Kofaktoren gebildete Adjunkte, dividiert durch die Determinante, ist; daraus gewinnt sie die Formel für die Inverse der Ordnung zwei. Sie beweist die Eigenschaften der Inversen des Produkts, der Transponierten und der Potenzen, übersetzt jede elementare Zeilenumformung in die Multiplikation mit einer Elementarmatrix und leitet daraus das Gauß-Jordan-Verfahren ab, das die Inverse gewinnt, indem es die Matrix (A,I)\left( A, I \right) in (I,A−1)\left( I, A^{-1} \right) umformt. Schließlich löst sie Matrixgleichungen und fasst in einem einzigen Satz die zur Invertierbarkeit äquivalenten Bedingungen zusammen, die die Inverse mit der Determinante, mit dem Rang und mit den linearen Gleichungssystemen verbinden; aus ihnen folgert sie, dass es genügt, eines der beiden Produkte der Definition zu prüfen, und mit den Elementarmatrizen beweist sie, dass die Determinante eines Produkts das Produkt der Determinanten ist.

Lernziele

  1. Die inverse Matrix definieren, ihre Eindeutigkeit beweisen und mithilfe der Determinante entscheiden, ob eine Matrix invertierbar ist.
  2. Die Inverse mithilfe der Adjunkte, insbesondere mit der Formel für die Ordnung zwei, und mithilfe des Gauß-Jordan-Verfahrens berechnen und beide Verfahren begründen.
  3. Die Eigenschaften der Inversen des Produkts, der Transponierten und der Potenzen anwenden und Matrixgleichungen unter Beachtung der Reihenfolge der Faktoren lösen.
  4. Die Invertierbarkeit einer Matrix mit dem Rang, mit den Elementarmatrizen und mit der Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen linearer Gleichungssysteme in Beziehung setzen und mit den Elementarmatrizen beweisen, dass die Determinante eines Produkts das Produkt der Determinanten ist.

Die inverse Matrix

In der Lektion des Kurses Algebra und Geometrie I über die Zahlbereiche haben wir gesehen, dass jede von null verschiedene Zahl aa ein Inverses a−1a^{-1} besitzt, mit dem sich die Gleichung ax=bax = b lösen lässt, indem man ihre beiden Seiten mit a−1a^{-1} multipliziert. In der Lektion über Matrizen und Matrizenoperationen wurde ein lineares Gleichungssystem als eine einzige Gleichung AX=BAX = B geschrieben, und die Einheitsmatrix II erwies sich als das neutrale Element des Produkts. Wenn dem so ist, lautet die natürliche Frage, ob es eine Matrix gibt, die bezüglich AA die Rolle des Inversen spielt, sodass sich das System mit einer einzigen Multiplikation lösen lässt. Nun ist das Matrizenprodukt nicht kommutativ, sodass die Definition beide Gleichungen verlangen muss; und damit ABAB und BABA dasselbe Format haben wie II, muss die Matrix AA quadratisch sein.

Eine quadratische Matrix AA der Ordnung nn heißt invertierbar, wenn es eine Matrix BB der Ordnung nn gibt mit AB=BA=IAB = BA = I, wobei II die Einheitsmatrix der Ordnung nn ist. Eine Matrix BB mit dieser Eigenschaft heißt Inverse von AA.

Zum Beispiel sind die beiden folgenden Matrizen zueinander invers, wie man durch Multiplikation in beiden Reihenfolgen nachprüft:

(2153)(3−1−52)=(3−1−52)(2153)=(1001)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Nicht jede von der Nullmatrix verschiedene Matrix ist invertierbar, und darin unterscheiden sich die Matrizen von den Zahlen. Eine Matrix mit einer Nullzeile ist es nicht, denn das Produkt dieser Zeile mit einer beliebigen Spalte ist 00, sodass ABAB für jedes BB eine Nullzeile hat und nicht die Einheitsmatrix sein kann. Ebenso wenig ist es eine Matrix AA, zu der es ein von der Nullmatrix verschiedenes CC mit AC=0AC = 0 gibt, einer der Nullteiler aus der Lektion über Matrizen: Hätte AA eine Inverse BB, so wäre C=(BA)C=B⋅(AC)=0C = (BA)C = B \cdot (AC) = 0; und auch CC ist es nicht, denn hätte es eine Inverse BB, so wäre A=A⋅(CB)=(AC)B=0A = A \cdot (CB) = (AC)B = 0. Zum Beispiel ergibt die Matrix mit den Zeilen 1,11, 1 und 1,11, 1, multipliziert mit der Matrix mit den Zeilen 1,−11, -1 und −1,1-1, 1, die Nullmatrix, und keine der beiden ist invertierbar.

LemmaEindeutigkeit der Inversen

Eine quadratische Matrix hat höchstens eine Inverse: Gilt AB=BA=IAB = BA = I und AD=DA=IAD = DA = I, so gilt B=DB = D.

Der Beweis ist der der Eindeutigkeit der Gegenzahl und des Inversen aus der Lektion von Kurs I über die Zahlbereiche, mit dem Vorbehalt, dass die Kommutativität nicht benutzt werden darf; an ihre Stelle tritt je eine Gleichung auf jeder Seite, zusammen mit der Assoziativität des Matrizenprodukts und der Neutralität der Einheitsmatrix, die in der Lektion über Matrizen bewiesen wurden. Die Abbildung schreibt jedes Produkt als eine Reihe von Faktoren und markiert die beiden, die zusammengefasst werden.

Beweis

  1. AB=BA=I,AD=DA=I\dato{b}{AB = BA = I}, \qquad \dato{d}{AD = DA = I}

    Wir gehen von den beiden Voraussetzungen aus: BB und DD erfüllen jeweils die beiden Gleichungen der Definition.

  2. B=BI=B⋅(AD)B = B \resaltar{I} = B \cdot \resaltar{(AD)}

    Da II das neutrale Element des Produkts ist, gilt B=BIB = BI; wir ersetzen II durch ADAD, die Gleichung von DD von rechts.

  3. B⋅(AD)=(BA)D=ID=DB \cdot (AD) = \resaltar{(BA)} D = \resaltar{I} D = D

    Mit der Assoziativität fassen wir anders zusammen und benutzen die Gleichung von BB von links, BA=IBA = I. Die beiden zusammengefassten Faktoren ändern sich, die Reihenfolge der drei Matrizen aber nicht.

Die einzige Inverse von AA wird, wenn sie existiert, mit A−1A^{-1} bezeichnet. Man darf sie nicht als Bruch 1A\frac{1}{A} schreiben, noch das Produkt BA−1BA^{-1} als Quotienten BA\frac{B}{A}: Da BA−1BA^{-1} und A−1BA^{-1}B im Allgemeinen verschieden sind, gäbe diese Schreibweise nicht an, von welcher Seite multipliziert wird. Arthur Cayley, der 1858 das Rechnen mit Matrizen begründete, definierte die Inverse bereits mithilfe der Adjunkte aus dem Teil „Determinante und Invertierbarkeit“.