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Topos Uranos
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Determinanten: Eigenschaften und cramersche Regel

Zusammenfassung

Diese Lektion überträgt auf quadratische Matrizen beliebiger Ordnung die Zahl, die in der Lektion über lineare Gleichungssysteme des Kurses Algebra und Geometrie I entschied, ob ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten genau eine Lösung hat. Sie deutet die Determinante der Ordnung zwei als den orientierten Flächeninhalt des Parallelogramms, das die Spalten der Matrix aufspannen; sie definiert die Determinante der Ordnung drei durch Entwicklung nach der ersten Zeile und zeigt, dass sie mit der Regel von Sarrus übereinstimmt; und sie definiert die Determinante der Ordnung nn rekursiv. Sie beweist durch Induktion über die Ordnung, ausgehend von dieser Definition, die Eigenschaften der Determinante (die Linearität in jeder Zeile, die Vertauschung von Zeilen, Nullzeilen und gleiche Zeilen, die Addition eines Vielfachen einer anderen Zeile, die Transponierte und die Dreiecksmatrizen) und wendet sie auf die Berechnung durch Umformung und auf den Zusammenhang zwischen Determinante und Rang an. Sie beweist den Determinantenmultiplikationssatz in der Ordnung zwei, dessen allgemeiner Beweis in der Lektion über die inverse Matrix geführt wird, und die cramersche Regel in jeder Ordnung; die Aufgaben wenden die Determinanten auf den Flächeninhalt eines Dreiecks, auf die Vandermonde-Determinante, auf die Cassini-Identität der Fibonacci-Zahlen und auf den Kreis durch drei Punkte an.

Lernziele

  1. Determinanten der Ordnung zwei und drei durch Entwicklung nach einer Zeile und mit der Regel von Sarrus berechnen und die Determinante der Ordnung zwei als orientierten Flächeninhalt deuten.
  2. Die Eigenschaften der Determinante durch Induktion über die Ordnung beweisen und mit ihnen Determinanten beliebiger Ordnung durch Umformung auf eine Dreiecksmatrix berechnen.
  3. Die Determinante mit dem Rang und mit dem Matrizenprodukt in Beziehung setzen und mit ihr entscheiden, ob eine Matrix singulär ist.
  4. Systeme aus nn Gleichungen mit nn Unbekannten mit der cramerschen Regel lösen und die Determinanten auf Aufgaben der analytischen Geometrie und der Folgen anwenden.

Die Determinante der Ordnung zwei und der orientierte Flächeninhalt

In der Lektion von Kurs I über lineare Gleichungen und lineare Gleichungssysteme wurde die Zahl D=a1b2−a2b1D = a_1 b_2 - a_2 b_1 Determinante eines Systems aus zwei Gleichungen genannt, und es wurde die cramersche Regel bewiesen: Ist DD nicht null, so hat das System genau eine Lösung. In der Lektion über Vektoren in der Ebene entschied dieselbe Zahl, gebildet aus den Komponenten zweier Vektoren, ob diese parallel sind. Nun wurden in der Lektion über Matrizen und Matrizenoperationen die quadratischen Matrizen eingeführt, und in der Lektion über das Gauß-Jordan-Verfahren wurde jedes lineare Gleichungssystem in der Form AX=BAX = B geschrieben. Ist dem so, dann empfiehlt es sich, jene Zahl als Funktion der Koeffizientenmatrix aufzufassen und sie auf quadratische Matrizen beliebiger Ordnung auszudehnen.

Die Determinante einer quadratischen Matrix AA der Ordnung zwei ist das Produkt der Einträge ihrer Hauptdiagonale minus das Produkt der Einträge der anderen Diagonale. Man schreibt det⁡A\det A oder setzt die Einträge der Matrix zwischen zwei senkrechte Striche.
A=(abcd),det⁡A=∣abcd∣=ad−bcA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Die Determinante eines Systems aus zwei Gleichungen ist die seiner Koeffizientenmatrix, die in der ersten Spalte die Koeffizienten von xx und in der zweiten die von yy enthält: Ihre Determinante ist a1b2−a2b1=Da_1 b_2 - a_2 b_1 = D. Die Striche bezeichnen hier keinen Betrag, denn die Determinante kann negativ sein; zum Beispiel:

∣3112∣=6−1=5,∣1321∣=1−6=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 1 = 5, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5

Die beiden Spalten einer Matrix der Ordnung zwei sind Vektoren der Ebene, und der unten stehende Satz über den orientierten Flächeninhalt gibt der Determinante eine geometrische Bedeutung, die nebenbei das Parallelitätskriterium aus der Lektion von Kurs I über Vektoren erklärt.

SatzOrientierter Flächeninhalt

Seien u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) und v⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right) Vektoren der Ebene, und sei AA die Matrix mit den Spalten u⃗\vec{u} und v⃗\vec{v}. Der Flächeninhalt des Parallelogramms, das die von einem gemeinsamen Anfangspunkt aus gezeichneten Pfeile von u⃗\vec{u} und von v⃗\vec{v} aufspannen, ist der Betrag von det⁡A\det A. Sind die Vektoren außerdem weder null noch parallel, so ist det⁡A\det A positiv, wenn die Drehung um weniger als eine halbe Umdrehung, welche die Richtung von u⃗\vec{u} in die von v⃗\vec{v} überführt, gegen den Uhrzeigersinn erfolgt, und negativ, wenn sie im Uhrzeigersinn erfolgt.

det⁡A=∣u1v1u2v2∣=u1v2−u2v1\det A = \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix} = u_1 v_2 - u_2 v_1

Ist u⃗\vec{u} null, so entartet das Parallelogramm zu einer Strecke, und die Determinante ist null; wir setzen daher voraus, dass u⃗\vec{u} nicht null ist. Der Beweis verwendet den Abstand eines Punktes von einer Geraden aus der Lektion von Kurs I über Vektoren, die Polarkoordinaten aus der Lektion über Polarkoordinaten und die Formel für den Sinus einer Differenz aus der Lektion über die Additionstheoreme. Die Abbildung begleitet ihn mit u⃗=(3,1)\vec{u} = \left( 3, 1 \right) und v⃗=(1,2)\vec{v} = \left( 1, 2 \right).

Beweis

  1. n⃗=(−u2,u1),n⃗⋅u⃗=−u2u1+u1u2=0,∥n⃗∥=∥u⃗∥\vec{n} = \left( -u_2, u_1 \right), \qquad \vec{n} \cdot \vec{u} = \resaltar{-u_2 u_1 + u_1 u_2} = \resaltar{0}, \qquad \dato{n}{\norma{\vec{n}} = \norma{\vec{u}}}

    Wir setzen, wie in der elementaren Geometrie, voraus, dass der Flächeninhalt eines Parallelogramms das Produkt aus einer Grundseite und der zugehörigen Höhe ist. Als Grundseite nehmen wir die Seite, die u⃗\vec{u} darstellt, auf der Geraden durch den Ursprung mit dieser Richtung; ihre Gleichung ist −u2x+u1y=0-u_2 x + u_1 y = 0, die der Ursprung und der Endpunkt von u⃗\vec{u} erfüllen. Nach dem Satz über den Normalenvektor ist der Vektor n⃗\vec{n} orthogonal zu dieser Geraden, und seine Norm ist die von u⃗\vec{u}.

  2. h=∣v⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣u1v2−u2v1∣∥n⃗∥h = \frac{\abs{\resaltar{\vec{v} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \dato{h}{\frac{\abs{\resaltar{u_1 v_2 - u_2 v_1}}}{\norma{\vec{n}}}}

    Die Höhe ist der Abstand des Endpunkts von v⃗\vec{v} von dieser Geraden. In der Abstandsformel nehmen wir den Ursprung als Punkt der Geraden, sodass der Vektor von der Geraden zum Punkt v⃗\vec{v} selbst ist.

  3. ∥u⃗∥⋅h=∣u1v2−u2v1∣=∣det⁡A∣,∣3⋅2−1⋅1∣=5\resaltar{\norma{\vec{u}}} \cdot h = \resaltar{\abs{u_1 v_2 - u_2 v_1}} = \abs{\det A}, \qquad \abs{3 \cdot 2 - 1 \cdot 1} = 5

    Der Flächeninhalt ist Grundseite mal Höhe, und die Norm von u⃗\vec{u} kürzt sich mit der von n⃗\vec{n}. In der Abbildung misst die Grundseite 10\sqrt{10}, die Höhe 510\frac{5}{\sqrt{10}}, und der Flächeninhalt ist 55.

  4. det⁡A=(rcos⁡α)(ssin⁡β)−(rsin⁡α)(scos⁡β)=rs(sin⁡βcos⁡α−cos⁡βsin⁡α)=rssin⁡(β−α)\det A = (r \cos \alpha)(s \sin \beta) - (r \sin \alpha)(s \cos \beta) = rs \resaltar{(\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha)} = \dato{s}{rs \resaltar{\sin(\beta - \alpha)}}

    Für das Vorzeichen schreiben wir die Vektoren in Polarkoordinaten: rr und ss sind ihre Normen, und α\alpha und β\beta die Winkel, die sie mit der positiven horizontalen Halbachse bilden, sodass u⃗=(rcos⁡α,rsin⁡α)\vec{u} = \left( r \cos \alpha, r \sin \alpha \right) und v⃗=(scos⁡β,ssin⁡β)\vec{v} = \left( s \cos \beta, s \sin \beta \right). Nach der Formel für den Sinus einer Differenz ist die Determinante rsrs mal der Sinus des Winkels von u⃗\vec{u} nach v⃗\vec{v}.

  5. ∣3112∣=5,∣1321∣=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{5}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-5}

    Wegen rs>0rs > 0 hat die Determinante das Vorzeichen von sin⁡(β−α)\sin(\beta - \alpha), das positiv ist, wenn β−α\beta - \alpha zwischen 0∘0^\circ und 180∘180^\circ liegt, bis auf ein Vielfaches von 360∘360^\circ, das heißt, wenn v⃗\vec{v} von u⃗\vec{u} aus durch eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn um weniger als eine halbe Umdrehung erreicht wird, und andernfalls negativ. Sie ist genau dann null, wenn β−α\beta - \alpha ein Vielfaches von 180∘180^\circ ist, das heißt, wenn die Vektoren parallel sind. In der Abbildung ist β−α=45∘\beta - \alpha = 45^\circ; vertauscht man die Spalten, so erfolgt die Drehung von v⃗\vec{v} nach u⃗\vec{u} im Uhrzeigersinn, und das Vorzeichen ändert sich.

Der Satz rechtfertigt es, die Determinante der Ordnung zwei orientierten Flächeninhalt zu nennen: Ihr Betrag misst den Flächeninhalt, und ihr Vorzeichen den Drehsinn, der die erste Spalte in die zweite überführt. Das Parallelitätskriterium aus der Lektion von Kurs I über Vektoren ist der Fall des Flächeninhalts null: Zwei Vektoren sind genau dann parallel, wenn das von ihnen aufgespannte Parallelogramm zu einer Geraden zusammenfällt. Der Zusammenhang zwischen der Determinante und den Flächeninhalten beliebiger Figuren, wenn die Matrix als Abbildung der Ebene wirkt, wird in der Lektion über Matrizen als Abbildungen der Ebene untersucht.