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Topos Uranos
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Determinantes: propriedades e regra de Cramer

Resumo

Esta aula estende às matrizes quadradas de qualquer ordem o número que, na aula sobre os sistemas lineares do curso Álgebra e Geometria I, decidia se um sistema de duas equações com duas incógnitas tem uma única solução. Interpreta o determinante de ordem dois como a área orientada do paralelogramo determinado pelas colunas da matriz; define o de ordem três pelo desenvolvimento segundo a primeira linha e mostra que coincide com a regra de Sarrus; e define o de ordem nn por recorrência. Demonstra por indução sobre a ordem, a partir dessa definição, as propriedades do determinante (a linearidade em cada linha, a troca de linhas, as linhas nulas ou iguais, a soma de um múltiplo de outra linha, a transposta e as matrizes triangulares), e as aplica ao cálculo por redução e à relação entre o determinante e o posto. Demonstra o teorema de Binet em ordem dois, cuja demonstração geral é dada na aula sobre a matriz inversa, e a regra de Cramer em toda ordem; os problemas aplicam os determinantes à área de um triângulo, ao determinante de Vandermonde, à identidade de Cassini dos números de Fibonacci e à circunferência que passa por três pontos.

Objetivos de aprendizagem

  1. Calcular determinantes de ordem dois e três pelo desenvolvimento segundo uma linha e pela regra de Sarrus, e interpretar o de ordem dois como uma área orientada.
  2. Demonstrar por indução sobre a ordem as propriedades do determinante e usá-las para calcular determinantes de qualquer ordem por redução a uma matriz triangular.
  3. Relacionar o determinante com o posto e com o produto de matrizes, e decidir com ele se uma matriz é singular.
  4. Resolver sistemas de nn equações com nn incógnitas mediante a regra de Cramer, e aplicar os determinantes a problemas de geometria analítica e de sequências.

O determinante de ordem dois e a área orientada

Na aula do curso I sobre as equações do primeiro grau e os sistemas lineares chamou-se determinante de um sistema de duas equações o número D=a1b2−a2b1D = a_1 b_2 - a_2 b_1, e demonstrou-se a regra de Cramer: se DD não é nulo, o sistema tem exatamente uma solução. Na aula sobre os vetores no plano, o mesmo número, formado com as componentes de dois vetores, decidia se eles são paralelos. Ora, na aula sobre matrizes e operações com matrizes foram introduzidas as matrizes quadradas, e na aula sobre o método de Gauss-Jordan todo sistema linear foi escrito na forma AX=BAX = B. Se isso é assim, convém considerar aquele número como uma função da matriz dos coeficientes, e estendê-lo às matrizes quadradas de qualquer ordem.

O determinante de uma matriz quadrada AA de ordem dois é o produto dos elementos de sua diagonal principal menos o produto dos elementos da outra diagonal. Escreve-se det⁡A\det A, ou então com os elementos da matriz entre duas barras verticais.
A=(abcd),det⁡A=∣abcd∣=ad−bcA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

O determinante de um sistema de duas equações é o de sua matriz dos coeficientes, que tem na primeira coluna os coeficientes de xx e na segunda os de yy: seu determinante é a1b2−a2b1=Da_1 b_2 - a_2 b_1 = D. As barras não indicam aqui um valor absoluto, porque o determinante pode ser negativo; por exemplo:

∣3112∣=6−1=5,∣1321∣=1−6=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 1 = 5, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5

As duas colunas de uma matriz de ordem dois são vetores do plano, e o teorema da área orientada, enunciado logo abaixo, dá ao determinante um significado geométrico que explica, de passagem, o critério de paralelismo da aula do curso I sobre os vetores.

TeoremaÁrea orientada

Sejam u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) e v⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right) vetores do plano, e seja AA a matriz cujas colunas são u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v}. A área do paralelogramo determinado pelas setas de u⃗\vec{u} e de v⃗\vec{v} traçadas a partir de uma mesma origem é o valor absoluto de det⁡A\det A. Além disso, se os vetores não são nulos nem paralelos, det⁡A\det A é positivo quando o giro de menos de meia volta que leva a direção de u⃗\vec{u} à de v⃗\vec{v} é anti-horário, e negativo quando é horário.

det⁡A=∣u1v1u2v2∣=u1v2−u2v1\det A = \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix} = u_1 v_2 - u_2 v_1

Se u⃗\vec{u} é nulo, o paralelogramo se reduz a um segmento e o determinante é nulo; supomos, portanto, que u⃗\vec{u} não o é. A demonstração usa a distância de um ponto a uma reta, obtida na aula do curso I sobre os vetores, as coordenadas polares da aula sobre as coordenadas polares e a fórmula do seno da diferença da aula sobre as fórmulas de adição e subtração. A figura a acompanha com u⃗=(3,1)\vec{u} = \left( 3, 1 \right) e v⃗=(1,2)\vec{v} = \left( 1, 2 \right).

Demonstração

  1. n⃗=(−u2,u1),n⃗⋅u⃗=−u2u1+u1u2=0,∥n⃗∥=∥u⃗∥\vec{n} = \left( -u_2, u_1 \right), \qquad \vec{n} \cdot \vec{u} = \resaltar{-u_2 u_1 + u_1 u_2} = \resaltar{0}, \qquad \dato{n}{\norma{\vec{n}} = \norma{\vec{u}}}

    Admite-se, como na geometria elementar, que a área de um paralelogramo é o produto de uma base pela altura correspondente. Tomamos como base o lado que representa u⃗\vec{u}, sobre a reta que passa pela origem com essa direção; sua equação é −u2x+u1y=0-u_2 x + u_1 y = 0, que a origem e a extremidade de u⃗\vec{u} satisfazem. Pelo teorema do vetor normal, o vetor n⃗\vec{n} é perpendicular a essa reta, e sua norma é a de u⃗\vec{u}.

  2. h=∣v⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣u1v2−u2v1∣∥n⃗∥h = \frac{\abs{\resaltar{\vec{v} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \dato{h}{\frac{\abs{\resaltar{u_1 v_2 - u_2 v_1}}}{\norma{\vec{n}}}}

    A altura é a distância da extremidade de v⃗\vec{v} a essa reta. Na fórmula da distância tomamos a origem como ponto da reta, de modo que o vetor que vai da reta ao ponto é o próprio v⃗\vec{v}.

  3. ∥u⃗∥⋅h=∣u1v2−u2v1∣=∣det⁡A∣,∣3⋅2−1⋅1∣=5\resaltar{\norma{\vec{u}}} \cdot h = \resaltar{\abs{u_1 v_2 - u_2 v_1}} = \abs{\det A}, \qquad \abs{3 \cdot 2 - 1 \cdot 1} = 5

    A área é a base pela altura, e a norma de u⃗\vec{u} se simplifica com a de n⃗\vec{n}. Na figura, a base mede 10\sqrt{10}, a altura 510\frac{5}{\sqrt{10}}, e a área é 55.

  4. det⁡A=(rcos⁡α)(ssin⁡β)−(rsin⁡α)(scos⁡β)=rs(sin⁡βcos⁡α−cos⁡βsin⁡α)=rssin⁡(β−α)\det A = (r \cos \alpha)(s \sin \beta) - (r \sin \alpha)(s \cos \beta) = rs \resaltar{(\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha)} = \dato{s}{rs \resaltar{\sin(\beta - \alpha)}}

    Para o sinal, escrevemos os vetores em coordenadas polares: rr e ss são suas normas, e α\alpha e β\beta os ângulos que formam com o semieixo positivo das abscissas, de modo que u⃗=(rcos⁡α,rsin⁡α)\vec{u} = \left( r \cos \alpha, r \sin \alpha \right) e v⃗=(scos⁡β,ssin⁡β)\vec{v} = \left( s \cos \beta, s \sin \beta \right). Pela fórmula do seno da diferença, o determinante é rsrs vezes o seno do ângulo que vai de u⃗\vec{u} a v⃗\vec{v}.

  5. ∣3112∣=5,∣1321∣=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{5}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-5}

    Como rs>0rs > 0, o determinante tem o sinal de sin⁡(β−α)\sin(\beta - \alpha), que é positivo se β−α\beta - \alpha está entre 0∘0^\circ e 180∘180^\circ, a menos de um múltiplo de 360∘360^\circ, isto é, se v⃗\vec{v} é alcançado a partir de u⃗\vec{u} girando no sentido anti-horário menos de meia volta, e negativo no caso contrário. É nulo se e somente se β−α\beta - \alpha é múltiplo de 180∘180^\circ, isto é, se os vetores são paralelos. Na figura, β−α=45∘\beta - \alpha = 45^\circ; ao trocar as colunas, o giro que leva de v⃗\vec{v} a u⃗\vec{u} é horário, e o sinal muda.

O teorema justifica que o determinante de ordem dois se chame área orientada: seu valor absoluto mede a área, e seu sinal, o sentido do giro que leva da primeira coluna à segunda. O critério de paralelismo da aula do curso I sobre os vetores é o caso da área nula: dois vetores são paralelos exatamente quando o paralelogramo que determinam se achata sobre uma reta. A relação entre o determinante e as áreas de figuras quaisquer, quando a matriz atua como uma transformação do plano, será estudada na aula sobre as matrizes como transformações do plano.