Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Ορίζουσες: ιδιότητες και κανόνας του Κράμερ

Περίληψη

Το μάθημα αυτό επεκτείνει στους τετραγωνικούς πίνακες κάθε τάξης τον αριθμό που, στο μάθημα του κύκλου μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I για τα γραμμικά συστήματα, έκρινε αν ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους έχει μοναδική λύση. Ερμηνεύει την ορίζουσα τάξης δύο ως το προσανατολισμένο εμβαδόν του παραλληλογράμμου που ορίζουν οι στήλες του πίνακα· ορίζει την ορίζουσα τάξης τρία με ανάπτυγμα κατά την πρώτη γραμμή και δείχνει ότι συμπίπτει με τον κανόνα του Σαρρύς· και ορίζει την ορίζουσα τάξης nn αναδρομικά. Αποδεικνύει με επαγωγή ως προς την τάξη, με βάση αυτόν τον ορισμό, τις ιδιότητες της ορίζουσας (τη γραμμικότητα ως προς κάθε γραμμή, την εναλλαγή γραμμών, τις μηδενικές ή ίσες γραμμές, την πρόσθεση πολλαπλασίου άλλης γραμμής, τον ανάστροφο και τους τριγωνικούς πίνακες) και τις εφαρμόζει στον υπολογισμό με αναγωγή και στη σχέση ανάμεσα στην ορίζουσα και τη βαθμίδα. Αποδεικνύει το θεώρημα της ορίζουσας του γινομένου σε τάξη δύο, του οποίου η γενική απόδειξη δίνεται στο μάθημα για τον αντίστροφο πίνακα, και τον κανόνα του Κράμερ σε κάθε τάξη· τα προβλήματα εφαρμόζουν τις ορίζουσες στο εμβαδόν τριγώνου, στην ορίζουσα του Βαντερμόντ, στην ταυτότητα του Κασσίνι για τους αριθμούς Φιμπονάτσι και στον κύκλο που διέρχεται από τρία σημεία.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να υπολογίζει ορίζουσες τάξης δύο και τρία με ανάπτυγμα κατά μια γραμμή και με τον κανόνα του Σαρρύς, και να ερμηνεύει την ορίζουσα τάξης δύο ως προσανατολισμένο εμβαδόν.
  2. Να αποδεικνύει με επαγωγή ως προς την τάξη τις ιδιότητες της ορίζουσας και να τις χρησιμοποιεί για να υπολογίζει ορίζουσες οποιασδήποτε τάξης με αναγωγή σε τριγωνικό πίνακα.
  3. Να συσχετίζει την ορίζουσα με τη βαθμίδα και με το γινόμενο πινάκων, και να κρίνει με αυτήν αν ένας πίνακας είναι ιδιάζων.
  4. Να λύνει συστήματα nn εξισώσεων με nn αγνώστους με τον κανόνα του Κράμερ, και να εφαρμόζει τις ορίζουσες σε προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας και ακολουθιών.

Η ορίζουσα τάξης δύο και το προσανατολισμένο εμβαδόν

Στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τις εξισώσεις, τις ανισώσεις και τα γραμμικά συστήματα ονομάστηκε ορίζουσα ενός συστήματος δύο εξισώσεων ο αριθμός D=a1b2−a2b1D = a_1 b_2 - a_2 b_1, και αποδείχθηκε ο κανόνας του Κράμερ: αν η DD δεν είναι μηδέν, το σύστημα έχει ακριβώς μία λύση. Στο μάθημα για τα διανύσματα στο επίπεδο, ο ίδιος αριθμός, σχηματισμένος με τις συντεταγμένες δύο διανυσμάτων, έκρινε αν αυτά είναι συγγραμμικά. Όμως στο μάθημα για τους πίνακες και τις πράξεις με πίνακες εισήχθησαν οι τετραγωνικοί πίνακες, και στο μάθημα για τη μέθοδο Γκάους-Ζορντάν κάθε γραμμικό σύστημα γράφτηκε στη μορφή AX=BAX = B. Αν αυτό ισχύει, συμφέρει να θεωρήσουμε εκείνον τον αριθμό ως συνάρτηση του πίνακα των συντελεστών, και να τον επεκτείνουμε στους τετραγωνικούς πίνακες οποιασδήποτε τάξης.

Η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα AA τάξης δύο είναι το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του μείον το γινόμενο των στοιχείων της άλλης διαγωνίου. Γράφεται det⁡A\det A, ή με τα στοιχεία του πίνακα ανάμεσα σε δύο κατακόρυφες ράβδους.
A=(abcd),det⁡A=∣abcd∣=ad−bcA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Η ορίζουσα ενός συστήματος δύο εξισώσεων είναι η ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών του, που έχει στην πρώτη στήλη τους συντελεστές του xx και στη δεύτερη τους συντελεστές του yy: η ορίζουσά του είναι a1b2−a2b1=Da_1 b_2 - a_2 b_1 = D. Οι ράβδοι δεν δηλώνουν εδώ απόλυτη τιμή, γιατί η ορίζουσα μπορεί να είναι αρνητική· για παράδειγμα:

∣3112∣=6−1=5,∣1321∣=1−6=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 1 = 5, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5

Οι δύο στήλες ενός πίνακα τάξης δύο είναι διανύσματα του επιπέδου, και το θεώρημα του προσανατολισμένου εμβαδού, που διατυπώνεται αμέσως παρακάτω, δίνει στην ορίζουσα μια γεωμετρική σημασία που εξηγεί, παρεμπιπτόντως, το κριτήριο συγγραμμικότητας του μαθήματος του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τα διανύσματα.

ΘεώρημαΠροσανατολισμένο εμβαδόν

Έστω u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) και v⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right) διανύσματα του επιπέδου, και έστω AA ο πίνακας με στήλες τα u⃗\vec{u} και v⃗\vec{v}. Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που ορίζουν τα βέλη των u⃗\vec{u} και v⃗\vec{v}, σχεδιασμένα από την ίδια αρχή, είναι η απόλυτη τιμή της det⁡A\det A. Επιπλέον, αν τα διανύσματα δεν είναι μηδενικά ούτε συγγραμμικά, η det⁡A\det A είναι θετική όταν η στροφή μικρότερη από μισή περιστροφή που φέρνει τη διεύθυνση του u⃗\vec{u} στη διεύθυνση του v⃗\vec{v} έχει φορά αντίθετη προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού, και αρνητική όταν έχει τη φορά των δεικτών του ρολογιού.

det⁡A=∣u1v1u2v2∣=u1v2−u2v1\det A = \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix} = u_1 v_2 - u_2 v_1

Αν το u⃗\vec{u} είναι μηδενικό, το παραλληλόγραμμο εκφυλίζεται σε ευθύγραμμο τμήμα και η ορίζουσα είναι μηδέν· υποθέτουμε λοιπόν ότι το u⃗\vec{u} δεν είναι μηδενικό. Η απόδειξη χρησιμοποιεί την απόσταση σημείου από ευθεία, που βρέθηκε στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τα διανύσματα, τις πολικές συντεταγμένες από το μάθημα για τις πολικές συντεταγμένες και τον τύπο του ημιτόνου της διαφοράς από το μάθημα για τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς. Το σχήμα την παρακολουθεί με u⃗=(3,1)\vec{u} = \left( 3, 1 \right) και v⃗=(1,2)\vec{v} = \left( 1, 2 \right).

Απόδειξη

  1. n⃗=(−u2,u1),n⃗⋅u⃗=−u2u1+u1u2=0,∥n⃗∥=∥u⃗∥\vec{n} = \left( -u_2, u_1 \right), \qquad \vec{n} \cdot \vec{u} = \resaltar{-u_2 u_1 + u_1 u_2} = \resaltar{0}, \qquad \dato{n}{\norma{\vec{n}} = \norma{\vec{u}}}

    Δεχόμαστε, όπως στη στοιχειώδη γεωμετρία, ότι το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι το γινόμενο μιας βάσης επί το αντίστοιχο ύψος. Παίρνουμε ως βάση την πλευρά που παριστάνει το u⃗\vec{u}, πάνω στην ευθεία που διέρχεται από την αρχή με αυτή τη διεύθυνση· η εξίσωσή της είναι −u2x+u1y=0-u_2 x + u_1 y = 0, την οποία ικανοποιούν η αρχή και το πέρας του u⃗\vec{u}. Από το θεώρημα του κάθετου διανύσματος, το διάνυσμα n⃗\vec{n} είναι κάθετο σε αυτή την ευθεία, και το μέτρο του είναι ίσο με το μέτρο του u⃗\vec{u}.

  2. h=∣v⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣u1v2−u2v1∣∥n⃗∥h = \frac{\abs{\resaltar{\vec{v} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \dato{h}{\frac{\abs{\resaltar{u_1 v_2 - u_2 v_1}}}{\norma{\vec{n}}}}

    Το ύψος είναι η απόσταση του πέρατος του v⃗\vec{v} από αυτή την ευθεία. Στον τύπο της απόστασης παίρνουμε την αρχή ως σημείο της ευθείας, ώστε το διάνυσμα που πηγαίνει από την ευθεία στο σημείο να είναι το ίδιο το v⃗\vec{v}.

  3. ∥u⃗∥⋅h=∣u1v2−u2v1∣=∣det⁡A∣,∣3⋅2−1⋅1∣=5\resaltar{\norma{\vec{u}}} \cdot h = \resaltar{\abs{u_1 v_2 - u_2 v_1}} = \abs{\det A}, \qquad \abs{3 \cdot 2 - 1 \cdot 1} = 5

    Το εμβαδόν είναι η βάση επί το ύψος, και το μέτρο του u⃗\vec{u} απλοποιείται με το μέτρο του n⃗\vec{n}. Στο σχήμα, η βάση είναι 10\sqrt{10}, το ύψος 510\frac{5}{\sqrt{10}} και το εμβαδόν 55.

  4. det⁡A=(rcos⁡α)(ssin⁡β)−(rsin⁡α)(scos⁡β)=rs(sin⁡βcos⁡α−cos⁡βsin⁡α)=rssin⁡(β−α)\det A = (r \cos \alpha)(s \sin \beta) - (r \sin \alpha)(s \cos \beta) = rs \resaltar{(\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha)} = \dato{s}{rs \resaltar{\sin(\beta - \alpha)}}

    Για το πρόσημο, γράφουμε τα διανύσματα σε πολικές συντεταγμένες: rr και ss είναι τα μέτρα τους, και α\alpha και β\beta οι γωνίες που σχηματίζουν με τον θετικό ημιάξονα των τετμημένων, ώστε u⃗=(rcos⁡α,rsin⁡α)\vec{u} = \left( r \cos \alpha, r \sin \alpha \right) και v⃗=(scos⁡β,ssin⁡β)\vec{v} = \left( s \cos \beta, s \sin \beta \right). Από τον τύπο του ημιτόνου της διαφοράς, η ορίζουσα είναι rsrs επί το ημίτονο της γωνίας από το u⃗\vec{u} προς το v⃗\vec{v}.

  5. ∣3112∣=5,∣1321∣=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{5}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-5}

    Αφού rs>0rs > 0, η ορίζουσα έχει το πρόσημο του sin⁡(β−α)\sin(\beta - \alpha), που είναι θετικό αν η β−α\beta - \alpha βρίσκεται μεταξύ 0∘0^\circ και 180∘180^\circ, αφού αφαιρεθεί, αν χρειάζεται, ένα πολλαπλάσιο των 360∘360^\circ, δηλαδή αν το v⃗\vec{v} προκύπτει από το u⃗\vec{u} με στροφή αντίθετη προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού μικρότερη από μισή περιστροφή, και αρνητικό στην αντίθετη περίπτωση. Είναι μηδέν αν και μόνο αν η β−α\beta - \alpha είναι πολλαπλάσιο των 180∘180^\circ, δηλαδή αν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά. Στο σχήμα, β−α=45∘\beta - \alpha = 45^\circ· όταν εναλλάσσουμε τις στήλες, η στροφή που φέρνει το v⃗\vec{v} στο u⃗\vec{u} έχει τη φορά των δεικτών του ρολογιού, και το πρόσημο αλλάζει.

Το θεώρημα δικαιολογεί την ονομασία προσανατολισμένο εμβαδόν για την ορίζουσα τάξης δύο: η απόλυτη τιμή της μετρά το εμβαδόν, και το πρόσημό της τη φορά της στροφής που φέρνει την πρώτη στήλη στη δεύτερη. Το κριτήριο συγγραμμικότητας του μαθήματος του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τα διανύσματα είναι η περίπτωση του μηδενικού εμβαδού: δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά ακριβώς όταν το παραλληλόγραμμο που ορίζουν συνθλίβεται πάνω σε μια ευθεία. Η σχέση ανάμεσα στην ορίζουσα και τα εμβαδά οποιωνδήποτε χωρίων, όταν ο πίνακας δρα ως μετασχηματισμός του επιπέδου, θα μελετηθεί στο μάθημα για τους πίνακες ως μετασχηματισμούς του επιπέδου.