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Topos Uranos
Français

Déterminants : propriétés et règle de Cramer

Résumé

Cette leçon étend aux matrices carrées de tout ordre le nombre qui, dans la leçon sur les systèmes linéaires du cours Algèbre et géométrie I, décidait si un système de deux équations à deux inconnues admet une unique solution. Elle interprète le déterminant d’ordre deux comme l’aire orientée du parallélogramme construit sur les colonnes de la matrice ; elle définit celui d’ordre trois par le développement selon la première ligne et montre qu’il coïncide avec la règle de Sarrus ; et elle définit celui d’ordre nn par récurrence. Elle démontre par récurrence sur l’ordre, à partir de cette définition, les propriétés du déterminant (la linéarité par rapport à chaque ligne, l’échange de lignes, les lignes nulles ou égales, l’ajout d’un multiple d’une autre ligne, la transposée et les matrices triangulaires), et les applique au calcul par réduction et à la relation entre le déterminant et le rang. Elle démontre le théorème du déterminant d’un produit à l’ordre deux, dont la démonstration générale est donnée dans la leçon sur la matrice inverse, et la règle de Cramer à tout ordre ; les problèmes appliquent les déterminants à l’aire d’un triangle, au déterminant de Vandermonde, à l’identité de Cassini des nombres de Fibonacci et au cercle passant par trois points.

Objectifs d’apprentissage

  1. Calculer des déterminants d’ordre deux et trois par le développement selon une ligne et par la règle de Sarrus, et interpréter celui d’ordre deux comme une aire orientée.
  2. Démontrer par récurrence sur l’ordre les propriétés du déterminant et s’en servir pour calculer des déterminants de tout ordre par réduction à une matrice triangulaire.
  3. Relier le déterminant au rang et au produit matriciel, et décider grâce à lui si une matrice est singulière.
  4. Résoudre des systèmes de nn équations à nn inconnues au moyen de la règle de Cramer, et appliquer les déterminants à des problèmes de géométrie analytique et de suites.

Le déterminant d’ordre deux et l’aire orientée

Dans la leçon du cours I sur les équations du premier degré et les systèmes linéaires, le nombre D=a1b2−a2b1D = a_1 b_2 - a_2 b_1 a été appelé déterminant d’un système de deux équations, et la règle de Cramer a été démontrée : si DD n’est pas nul, le système admet exactement une solution. Dans la leçon sur les vecteurs du plan, le même nombre, formé avec les composantes de deux vecteurs, décidait s’ils sont colinéaires. Or, dans la leçon sur les matrices et les opérations sur les matrices ont été introduites les matrices carrées, et dans la leçon sur la méthode de Gauss-Jordan tout système linéaire a été écrit sous la forme AX=BAX = B. S’il en est ainsi, il convient de considérer ce nombre comme une fonction de la matrice des coefficients, et de l’étendre aux matrices carrées de tout ordre.

Le déterminant d’une matrice carrée AA d’ordre deux est le produit des coefficients de sa diagonale principale moins le produit des coefficients de l’autre diagonale. Il s’écrit det⁡A\det A, ou bien avec les coefficients de la matrice entre deux barres verticales.
A=(abcd),det⁡A=∣abcd∣=ad−bcA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Le déterminant d’un système de deux équations est celui de sa matrice des coefficients, qui contient dans la première colonne les coefficients de xx et dans la seconde ceux de yy : son déterminant est a1b2−a2b1=Da_1 b_2 - a_2 b_1 = D. Les barres ne désignent pas ici une valeur absolue, car le déterminant peut être strictement négatif ; par exemple :

∣3112∣=6−1=5,∣1321∣=1−6=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 1 = 5, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5

Les deux colonnes d’une matrice d’ordre deux sont des vecteurs du plan, et le théorème de l’aire orientée, énoncé ci-dessous, donne au déterminant une signification géométrique qui explique au passage le critère de colinéarité de la leçon du cours I sur les vecteurs.

ThéorèmeAire orientée

Soient u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) et v⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right) des vecteurs du plan, et soit AA la matrice dont les colonnes sont u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v}. L’aire du parallélogramme construit sur les flèches de u⃗\vec{u} et de v⃗\vec{v} tracées depuis une même origine est la valeur absolue de det⁡A\det A. De plus, si les vecteurs ne sont ni nuls ni colinéaires, det⁡A\det A est strictement positif lorsque la rotation de moins d’un demi-tour qui amène la direction de u⃗\vec{u} sur celle de v⃗\vec{v} se fait dans le sens direct, et strictement négatif lorsqu’elle se fait dans le sens des aiguilles d’une montre.

det⁡A=∣u1v1u2v2∣=u1v2−u2v1\det A = \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix} = u_1 v_2 - u_2 v_1

Si u⃗\vec{u} est nul, le parallélogramme se réduit à un segment et le déterminant est nul ; nous supposons donc que u⃗\vec{u} ne l’est pas. La démonstration utilise la distance d’un point à une droite, obtenue dans la leçon du cours I sur les vecteurs, les coordonnées polaires de la leçon sur les coordonnées polaires et la formule du sinus d’une différence de la leçon sur les formules d’addition. La figure l’accompagne avec u⃗=(3,1)\vec{u} = \left( 3, 1 \right) et v⃗=(1,2)\vec{v} = \left( 1, 2 \right).

Démonstration

  1. n⃗=(−u2,u1),n⃗⋅u⃗=−u2u1+u1u2=0,∥n⃗∥=∥u⃗∥\vec{n} = \left( -u_2, u_1 \right), \qquad \vec{n} \cdot \vec{u} = \resaltar{-u_2 u_1 + u_1 u_2} = \resaltar{0}, \qquad \dato{n}{\norma{\vec{n}} = \norma{\vec{u}}}

    Nous admettons, comme en géométrie élémentaire, que l’aire d’un parallélogramme est le produit d’une base par la hauteur correspondante. Nous prenons pour base le côté qui représente u⃗\vec{u}, sur la droite passant par l’origine avec cette direction ; son équation est −u2x+u1y=0-u_2 x + u_1 y = 0, que vérifient l’origine et l’extrémité de u⃗\vec{u}. D’après le théorème du vecteur normal, le vecteur n⃗\vec{n} est orthogonal à cette droite, et sa norme est celle de u⃗\vec{u}.

  2. h=∣v⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣u1v2−u2v1∣∥n⃗∥h = \frac{\abs{\resaltar{\vec{v} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \dato{h}{\frac{\abs{\resaltar{u_1 v_2 - u_2 v_1}}}{\norma{\vec{n}}}}

    La hauteur est la distance de l’extrémité de v⃗\vec{v} à cette droite. Dans la formule de la distance, nous prenons l’origine comme point de la droite, de sorte que le vecteur qui va de la droite au point est v⃗\vec{v} lui-même.

  3. ∥u⃗∥⋅h=∣u1v2−u2v1∣=∣det⁡A∣,∣3⋅2−1⋅1∣=5\resaltar{\norma{\vec{u}}} \cdot h = \resaltar{\abs{u_1 v_2 - u_2 v_1}} = \abs{\det A}, \qquad \abs{3 \cdot 2 - 1 \cdot 1} = 5

    L’aire est la base fois la hauteur, et la norme de u⃗\vec{u} se simplifie avec celle de n⃗\vec{n}. Sur la figure, la base mesure 10\sqrt{10}, la hauteur 510\frac{5}{\sqrt{10}}, et l’aire vaut 55.

  4. det⁡A=(rcos⁡α)(ssin⁡β)−(rsin⁡α)(scos⁡β)=rs(sin⁡βcos⁡α−cos⁡βsin⁡α)=rssin⁡(β−α)\det A = (r \cos \alpha)(s \sin \beta) - (r \sin \alpha)(s \cos \beta) = rs \resaltar{(\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha)} = \dato{s}{rs \resaltar{\sin(\beta - \alpha)}}

    Pour le signe, nous écrivons les vecteurs en coordonnées polaires : rr et ss sont leurs normes, et α\alpha et β\beta les angles qu’ils forment avec le demi-axe des abscisses positives, de sorte que u⃗=(rcos⁡α,rsin⁡α)\vec{u} = \left( r \cos \alpha, r \sin \alpha \right) et v⃗=(scos⁡β,ssin⁡β)\vec{v} = \left( s \cos \beta, s \sin \beta \right). D’après la formule du sinus d’une différence, le déterminant est rsrs fois le sinus de l’angle qui va de u⃗\vec{u} à v⃗\vec{v}.

  5. ∣3112∣=5,∣1321∣=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{5}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-5}

    Comme rs>0rs > 0, le déterminant a le signe de sin⁡(β−α)\sin(\beta - \alpha), qui est strictement positif si β−α\beta - \alpha est compris entre 0∘0^\circ et 180∘180^\circ, à un multiple de 360∘360^\circ près, c’est-à-dire si v⃗\vec{v} est atteint à partir de u⃗\vec{u} en tournant dans le sens direct de moins d’un demi-tour, et strictement négatif dans le cas contraire. Il est nul si et seulement si β−α\beta - \alpha est un multiple de 180∘180^\circ, c’est-à-dire si les vecteurs sont colinéaires. Sur la figure, β−α=45∘\beta - \alpha = 45^\circ ; quand les colonnes sont échangées, la rotation qui amène v⃗\vec{v} sur u⃗\vec{u} se fait dans le sens des aiguilles d’une montre, et le signe change.

Le théorème justifie que le déterminant d’ordre deux soit appelé aire orientée : sa valeur absolue mesure l’aire, et son signe, le sens de la rotation qui amène la première colonne sur la seconde. Le critère de colinéarité de la leçon du cours I sur les vecteurs est le cas de l’aire nulle : deux vecteurs sont colinéaires exactement lorsque le parallélogramme qu’ils construisent s’aplatit sur une droite. La relation entre le déterminant et les aires de figures quelconques, lorsque la matrice agit comme une transformation du plan, sera étudiée dans la leçon sur les matrices comme transformations du plan.