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Topos Uranos
Deutsch

Lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Jordan-Verfahren

Zusammenfassung

Diese Lektion untersucht lineare Gleichungssysteme mit beliebig vielen Gleichungen und Unbekannten. Sie schreibt jedes System als Matrixgleichung AX=BAX = B und stellt es durch seine erweiterte Koeffizientenmatrix dar; sie beweist, dass die drei elementaren Zeilenumformungen ein System in ein anderes mit denselben Lösungen überführen und dass sich jede Matrix mit ihnen auf eine reduzierte Zeilenstufenform bringen lässt, an der man die Lösungen unmittelbar abliest: Das ist das Gauß-Jordan-Verfahren. Danach beweist sie, dass diese Form eindeutig ist, gleichgültig welche Umformungen man verwendet, und definiert mit ihr den Rang einer Matrix; sie beweist den Satz von Kronecker-Capelli (im spanischsprachigen Raum Satz von Rouché-Frobenius genannt), der entscheidet, ob ein System eine Lösung hat und wie viele freie Parameter seine Lösungen haben, und wendet ihn auf homogene Gleichungssysteme an. Damit wird die Untersuchung der Gleichungssysteme abgeschlossen, die in der Einheit über die Zahlbereiche begonnen wurde.

Lernziele

  1. Ein lineares Gleichungssystem in Matrixform schreiben, seine erweiterte Koeffizientenmatrix bilden und begründen, warum die elementaren Zeilenumformungen seine Lösungen erhalten.
  2. Eine Matrix mit dem Gauß-Jordan-Verfahren auf ihre reduzierte Zeilenstufenform bringen, beweisen, dass diese Form eindeutig ist, und an ihr die Lösungen des Systems ablesen.
  3. Den Rang einer Matrix berechnen und den Satz von Kronecker-Capelli anwenden, um ein System zu klassifizieren, auch wenn seine Koeffizienten von einem Parameter abhängen.
  4. Aufgaben der Interpolation, des chemischen Ausgleichs, der Flussnetze und der magischen Quadrate als lineare Gleichungssysteme ansetzen und ihre Lösungen mit freien Parametern beschreiben.

Die Matrixform eines Gleichungssystems

In der Lektion des Kurses Algebra und Geometrie I über lineare Gleichungen und lineare Gleichungssysteme wurden Systeme aus zwei und aus drei Gleichungen mit dem Einsetzungs-, dem Additions- und dem Gleichsetzungsverfahren gelöst, und die Systeme aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten wurden mithilfe ihrer Determinante klassifiziert. Offen blieb dort der allgemeine Fall, dessen Klassifikation ohne Beweis angenommen wurde. Diese Lektion erledigt ihn mit den Werkzeugen der Lektion über Matrizen und Matrizenoperationen.

Ein lineares Gleichungssystem mit mm Gleichungen und nn Unbekannten x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n ist eine Menge von mm Gleichungen der unten angegebenen Form, die gleichzeitig erfüllt sein müssen; die Zahl aija_{ij} ist der Koeffizient der Unbekannten xjx_j in der Gleichung ii, und bib_i ist der konstante Term dieser Gleichung.

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases}

Eine Lösung des Systems ist eine geordnete Liste von nn Zahlen (s1,s2,…,sn)(s_1, s_2, \ldots, s_n), die, an die Stelle der Unbekannten gesetzt, die mm Gleichungen erfüllen. Es sei AA die Koeffizientenmatrix, mit mm Zeilen und nn Spalten, deren Eintrag in der Zeile ii und der Spalte jj gleich aija_{ij} ist; es seien XX die Spalte der Unbekannten und BB die der konstanten Terme. Wie schon in jener Lektion bemerkt, ist nach der Definition des Matrizenprodukts der Eintrag ii der Spalte AXAX genau die linke Seite der Gleichung ii. Daraus folgt, dass sich das ganze System als eine einzige Gleichheit zwischen Spaltenmatrizen schreibt, AX=BAX = B. Zum Beispiel schreibt sich das System, das etwas später gelöst wird, so:

{2y+z=0x+y+z=22x+3y−z=−3(02111123−1)(xyz)=(02−3)\begin{cases} 2y + z = 0 \\ x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - z = -3 \end{cases} \qquad \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}

Um das System zu lösen, genügt es, die Zahlen aija_{ij} und bib_i zu kennen: Die Namen der Unbekannten spielen bei den Rechnungen keine Rolle. Die erweiterte Koeffizientenmatrix des Systems ist die Matrix MM, mit mm Zeilen und n+1n + 1 Spalten, die man erhält, wenn man an AA die Spalte BB als letzte Spalte anfügt; wir schreiben sie M=(A,B)M = \left( A, B \right). Jede Zeile von MM fasst eine Gleichung zusammen: Ihre ersten nn Einträge sind die Koeffizienten, und der letzte ist der konstante Term. Im Beispiel:

M=(0210111223−1−3)M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}

Ein System heißt lösbar, wenn es mindestens eine Lösung hat, und unlösbar, wenn es keine hat; ein lösbares System heißt eindeutig lösbar, wenn es genau eine hat, und mehrdeutig lösbar, wenn es mehr als eine hat. Zwei Systeme mit denselben Unbekannten sind äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben. In der Lektion von Kurs I wurde gezeigt, dass ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten keine, eine oder unendlich viele Lösungen hat; am Ende dieser Lektion wird man wissen, dass dasselbe für jedes lineare Gleichungssystem gilt, und ein Kriterium haben, um zu entscheiden, welcher der Fälle vorliegt.