Matrizen und Matrizenoperationen

Matrizen

In der Lektion des Kurses Algebra und Geometrie I über lineare Gleichungen und Gleichungssysteme wurde das gaußsche Eliminationsverfahren in einer Tabelle durchgeführt, die die Koeffizienten jeder Gleichung zusammenfasste: Die Unbekannten spielten bei der Rechnung keine Rolle, und die ganze Arbeit wurde mit den Zahlen der Tabelle erledigt. Diese Beobachtung ist alt; die Neun Kapitel der Rechenkunst, eine chinesische Abhandlung, die vor etwa zweitausend Jahren zusammengestellt wurde, lösten bereits Gleichungssysteme, indem sie die Koeffizienten in Spalten anordneten. Das Wort Matrix führte James Joseph Sylvester 1850 ein, und Arthur Cayley veröffentlichte 1858 die erste Theorie der Matrizenoperationen, die diese Lektion behandelt.

Seien $m$ und $n$ natürliche Zahlen. Eine Matrix des Formats $m \times n$ ist eine Tabelle aus $mn$ Zahlen, die in $m$ Zeilen und $n$ Spalten angeordnet sind. Die Zahl in Zeile $i$ und Spalte $j$ heißt Eintrag $(i, j)$ der Matrix; wird die Matrix mit einem Großbuchstaben bezeichnet, etwa $A$, so bezeichnet man den Eintrag mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben und zwei Indizes, $a_{ij}$, deren erster stets die Zeile angibt. Man schreibt auch $A = (a_{ij})$. Eine $2 \times 3$-Matrix hat zum Beispiel die folgende Gestalt:

Die Einträge sind reelle Zahlen, sofern nichts anderes gesagt wird; alles hier Gesagte gilt unverändert für Matrizen aus komplexen Zahlen, denn die Beweise verwenden nur die Eigenschaften der Addition und der Multiplikation von Zahlen, die $\mathbb{C}$ mit $\mathbb{R}$ gemeinsam hat. Zwei Matrizen sind gleich, wenn sie dasselbe Format und an denselben Stellen dieselben Einträge haben: Eine Gleichung zwischen $m \times n$-Matrizen ist gleichwertig mit $mn$ Gleichungen zwischen Zahlen.

Typen von Matrizen

Einige Formen kommen so häufig vor, dass sie einen eigenen Namen tragen.

• Eine Zeilenmatrix ist eine $1 \times n$-Matrix und eine Spaltenmatrix eine $m \times 1$-Matrix. Die Vektoren in der Ebene aus der Lektion von Kurs I über Vektoren in der Ebene lassen sich als $2 \times 1$-Spaltenmatrizen schreiben.
• Die Nullmatrix eines gegebenen Formats hat lauter Einträge gleich $0$; sie wird ebenfalls mit $0$ bezeichnet, und der Zusammenhang gibt ihr Format an.
• Eine Matrix ist quadratisch, wenn sie ebenso viele Zeilen wie Spalten hat; eine $n \times n$-Matrix heißt auch Matrix der Ordnung $n$. Ihre Einträge $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}$ bilden die Hauptdiagonale.
• Eine quadratische Matrix ist eine Diagonalmatrix, wenn alle ihre Einträge außerhalb der Hauptdiagonale null sind. Die Einheitsmatrix der Ordnung $n$, die man $I_n$ schreibt, oder $I$, wenn die Ordnung klar ist, ist die Diagonalmatrix, deren Diagonaleinträge gleich $1$ sind.
• Eine quadratische Matrix ist eine obere Dreiecksmatrix, wenn alle Einträge unterhalb der Hauptdiagonale null sind, das heißt, wenn $a_{ij} = 0$ immer dann gilt, wenn $i > j$; sie ist eine untere Dreiecksmatrix, wenn die Einträge oberhalb von ihr null sind.
• Eine quadratische Matrix ist symmetrisch, wenn $a_{ij} = a_{ji}$ für alle Indizes gilt: Die Hauptdiagonale ist eine Symmetrieachse der Tabelle.

Von den vier folgenden Matrizen etwa ist die erste die Einheitsmatrix der Ordnung $3$, die zweite eine Diagonalmatrix, die dritte eine obere Dreiecksmatrix und die vierte symmetrisch.