コンテンツへスキップ
Topos Uranos
日本語

連立一次方程式とガウス・ジョルダンの消去法

要約

この課では、方程式と未知数の個数が任意の連立一次方程式を学ぶ。各連立方程式を一つの行列方程式 AX=BAX = B として書き、その拡大係数行列で表す。三つの行基本変形が連立方程式を同じ解をもつ別の連立方程式に変えること、そしてどんな行列もそれらによって簡約階段形に変形でき、そこから解を直接読み取れることを証明する。これがガウス・ジョルダンの消去法である。次に、この形は用いた変形によらず一意であることを証明し、それを用いて行列の階数を定義する。さらに、連立方程式が解をもつかどうか、その解にいくつの自由なパラメータがあるかを判定するルーシェ・フロベニウスの定理を証明し、それを同次連立一次方程式に応用する。これにより、数の集合についての単元で始まった連立方程式の研究が完結する。

学習目標

  1. 連立一次方程式を行列の形で書き、その拡大係数行列をつくり、行基本変形が解を保つ理由を説明する。
  2. ガウス・ジョルダンの消去法で行列を簡約階段形に変形し、その形が一意であることを証明し、そこから連立方程式の解を読み取る。
  3. 行列の階数を計算し、ルーシェ・フロベニウスの定理を用いて連立方程式を分類する。係数がパラメータに依存する場合も扱う。
  4. 補間、化学平衡、流れのネットワーク、魔方陣の問題を連立一次方程式として定式化し、その解を自由なパラメータで記述する。

連立方程式の行列表示

コース 代数と幾何 I の一次方程式・一次不等式と連立一次方程式の課では、二つおよび三つの方程式からなる連立方程式を代入法、加減法、等置法で解き、二つの方程式と二つの未知数からなる連立方程式をその行列式によって分類した。そこでは一般の場合が未解決のまま残され、その分類は証明なしに認められた。この課では、行列と行列の演算の課の道具を用いてそれを解決する。

mm 個の方程式と nn 個の未知数からなる連立一次方程式 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n とは、同時に成り立たなければならない、次の形の mm 個の方程式の集まりである。数 aija_{ij} は未知数 xjx_j の係数（第 ii 式における）であり、bib_i はその方程式の定数項である。

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases}

連立方程式の解とは、nn 個の数の順序のついた組 (s1,s2,…,sn)(s_1, s_2, \ldots, s_n) であって、未知数に代入するとき mm 個の方程式をすべて満たすものである。AA を係数行列とし、それは mm 行 nn 列で、第 ii 行第 jj 列の成分が aija_{ij} であるとする。XX を未知数の列、BB を定数項の列とする。その課ですでに述べたように、行列の積の定義により、第 ii 成分（列 AXAX の）はちょうど第 ii 式の左辺である。したがって、連立方程式全体は列行列の間の一つの等式 AX=BAX = B として書ける。たとえば、あとで解く連立方程式は次のように書ける：

{2y+z=0x+y+z=22x+3y−z=−3(02111123−1)(xyz)=(02−3)\begin{cases} 2y + z = 0 \\ x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - z = -3 \end{cases} \qquad \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}

連立方程式を解くには数 aija_{ij} と bib_i を知れば十分である。未知数の名前は計算に関与しない。連立方程式の拡大係数行列とは行列 MM のことで、mm 行 n+1n + 1 列からなり、AA に列 BB を最後の列として付け加えて得られる。これを M=(A,B)M = \left( A, B \right) と書く。MM の各行は一つの方程式を要約している。最初の nn 個の成分が係数で、最後の成分が定数項である。例では次のとおり：

M=(0210111223−1−3)M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}

連立方程式は、少なくとも一つの解をもつとき解をもつといい、解を一つももたないとき解をもたないという。解をもつ連立方程式は、解がちょうど一つのとき解がただ一つの連立方程式といい、二つ以上のとき解が無数にある連立方程式という。同じ未知数をもつ二つの連立方程式は、解の集合が同じであるとき同値であるという。コース I の課では、二つの方程式と二つの未知数からなる連立方程式の解は、ない、一つ、無数、のいずれかであることを見た。この課の終わりには、同じことがどんな連立一次方程式についても成り立つことがわかり、どの場合にあたるかを判定する基準が得られる。