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Topos Uranos
日本語

行列式：性質とクラメルの公式

要約

この課では、コース 代数と幾何 I の連立一次方程式の課で、二つの未知数をもつ二つの方程式からなる連立方程式がただ一つの解をもつかどうかを判定した数を、任意の次数の正方行列に拡張する。二次の行列式を行列の列が定める平行四辺形の符号付き面積として解釈し、三次の行列式を第一行に関する展開で定義してサラスの方法と一致することを示し、nn 次の行列式を漸化的に定義する。この定義から出発して、次数に関する帰納法で行列式の性質（各行に関する線形性、行の入れ替え、零行または等しい行、ほかの行の定数倍の加法、転置、三角行列）を証明し、それらを掃き出しによる計算と、行列式と階数の関係に応用する。積の行列式の定理を二次の場合に証明し（一般の証明は逆行列の課で与える）、クラメルの公式を任意の次数で証明する。問題では、行列式を三角形の面積、ヴァンデルモンドの行列式、フィボナッチ数のカッシーニの恒等式、三点を通る円に応用する。

学習目標

  1. 二次と三次の行列式を一つの行に関する展開とサラスの方法で計算し、二次の行列式を符号付き面積として解釈する。
  2. 次数に関する帰納法で行列式の性質を証明し、それを用いて任意の次数の行列式を三角行列への変形によって計算する。
  3. 行列式を階数および行列の積と関係づけ、それを用いて行列が特異かどうかを判定する。
  4. nn 個の方程式と nn 個の未知数からなる連立方程式をクラメルの公式で解き、行列式を解析幾何と数列の問題に応用する。

二次の行列式と符号付き面積

コース I の一次方程式・一次不等式と連立一次方程式の課では、二つの方程式からなる連立方程式の行列式を数 D=a1b2−a2b1D = a_1 b_2 - a_2 b_1 と呼び、クラメルの公式を証明した。すなわち、DD が零でなければ、連立方程式はちょうど一つの解をもつ。平面ベクトルの課では、二つのベクトルの成分から作った同じ数が、それらが平行かどうかを判定した。さて、行列と行列の演算の課では正方行列を導入し、ガウス・ジョルダンの消去法の課ではすべての連立一次方程式を AX=BAX = B の形に書いた。そうであれば、あの数を係数行列の関数とみなし、任意の次数の正方行列に拡張するのが自然である。

正方行列 AA が二次のとき、その行列式は、主対角線上の成分の積から他方の対角線上の成分の積を引いたものである。det⁡A\det A と書くか、または行列の成分を二本の縦線で挟んで書く。
A=(abcd),det⁡A=∣abcd∣=ad−bcA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

二つの方程式からなる連立方程式の行列式は、その係数行列の行列式である。係数行列は第一列に xx の係数を、第二列に yy の係数をもち、その行列式は a1b2−a2b1=Da_1 b_2 - a_2 b_1 = D である。ここでの縦線は絶対値を表さない。行列式は負になりうるからである。例えば次のとおりである。

∣3112∣=6−1=5,∣1321∣=1−6=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 1 = 5, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5

二次の行列の二つの列は平面のベクトルであり、すぐあとに述べる符号付き面積の定理は、行列式に幾何学的な意味を与え、ついでにコース I のベクトルの課の平行条件を説明する。

定理符号付き面積

u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) と v⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right) を平面のベクトルとし、AA を列が u⃗\vec{u} と v⃗\vec{v} である行列とする。同じ始点から描いた u⃗\vec{u} と v⃗\vec{v} の矢印が定める平行四辺形の面積は、det⁡A\det A の絶対値である。さらに、二つのベクトルが零ベクトルでも平行でもないとき、det⁡A\det A は次のような符号をもつ。u⃗\vec{u} の向きを v⃗\vec{v} の向きに移す半回転未満の回転が時計の針と逆の向きならば正、時計の針の向きならば負である。

det⁡A=∣u1v1u2v2∣=u1v2−u2v1\det A = \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix} = u_1 v_2 - u_2 v_1

u⃗\vec{u} が零ベクトルならば、平行四辺形は線分に退化し、行列式は零である。そこで、u⃗\vec{u} は零ベクトルでないとする。証明には、コース I のベクトルの課で得た点と直線の距離、極座標の課の極座標、加法定理の課の差の正弦の公式を用いる。図は u⃗=(3,1)\vec{u} = \left( 3, 1 \right) と v⃗=(1,2)\vec{v} = \left( 1, 2 \right) で証明をたどる。

証明

  1. n⃗=(−u2,u1),n⃗⋅u⃗=−u2u1+u1u2=0,∥n⃗∥=∥u⃗∥\vec{n} = \left( -u_2, u_1 \right), \qquad \vec{n} \cdot \vec{u} = \resaltar{-u_2 u_1 + u_1 u_2} = \resaltar{0}, \qquad \dato{n}{\norma{\vec{n}} = \norma{\vec{u}}}

    初等幾何と同じく、平行四辺形の面積は一つの底辺とそれに対応する高さの積であると認める。u⃗\vec{u} を表す辺を底辺とする。これは原点を通りその向きをもつ直線上にある。この直線の方程式は −u2x+u1y=0-u_2 x + u_1 y = 0 であり、原点と u⃗\vec{u} の終点がこれを満たす。法線ベクトルの定理により、ベクトル n⃗\vec{n} はこの直線に垂直であり、その大きさは u⃗\vec{u} の大きさに等しい。

  2. h=∣v⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣u1v2−u2v1∣∥n⃗∥h = \frac{\abs{\resaltar{\vec{v} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \dato{h}{\frac{\abs{\resaltar{u_1 v_2 - u_2 v_1}}}{\norma{\vec{n}}}}

    高さは、v⃗\vec{v} の終点からこの直線までの距離である。距離の公式で直線上の点として原点をとると、直線から点へ向かうベクトルは v⃗\vec{v} そのものになる。

  3. ∥u⃗∥⋅h=∣u1v2−u2v1∣=∣det⁡A∣,∣3⋅2−1⋅1∣=5\resaltar{\norma{\vec{u}}} \cdot h = \resaltar{\abs{u_1 v_2 - u_2 v_1}} = \abs{\det A}, \qquad \abs{3 \cdot 2 - 1 \cdot 1} = 5

    面積は底辺と高さの積であり、u⃗\vec{u} の大きさは n⃗\vec{n} の大きさと約分される。図では、底辺は 10\sqrt{10}、高さは 510\frac{5}{\sqrt{10}}、面積は 55 である。

  4. det⁡A=(rcos⁡α)(ssin⁡β)−(rsin⁡α)(scos⁡β)=rs(sin⁡βcos⁡α−cos⁡βsin⁡α)=rssin⁡(β−α)\det A = (r \cos \alpha)(s \sin \beta) - (r \sin \alpha)(s \cos \beta) = rs \resaltar{(\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha)} = \dato{s}{rs \resaltar{\sin(\beta - \alpha)}}

    符号を調べるため、二つのベクトルを極座標で書く。rr と ss はそれらの大きさ、α\alpha と β\beta はそれらが横軸の正の半軸となす角であり、u⃗=(rcos⁡α,rsin⁡α)\vec{u} = \left( r \cos \alpha, r \sin \alpha \right)、v⃗=(scos⁡β,ssin⁡β)\vec{v} = \left( s \cos \beta, s \sin \beta \right) となる。差の正弦の公式により、行列式は rsrs と、u⃗\vec{u} から v⃗\vec{v} への角の正弦との積である。

  5. ∣3112∣=5,∣1321∣=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{5}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-5}

    rs>0rs > 0 であるから、行列式は sin⁡(β−α)\sin(\beta - \alpha) と同じ符号をもつ。これは、β−α\beta - \alpha が 0∘0^\circ と 180∘180^\circ の間にあるとき（360∘360^\circ の整数倍の差を除いて）、すなわち v⃗\vec{v} が u⃗\vec{u} から時計の針と逆の向きに半回転未満回して得られるとき正であり、そうでないとき負である。これが零になるのは、β−α\beta - \alpha が 180∘180^\circ の倍数のとき、すなわち二つのベクトルが平行のときに限る。図では β−α=45∘\beta - \alpha = 45^\circ である。列を入れ替えると、v⃗\vec{v} を u⃗\vec{u} に移す回転は時計の針の向きになり、符号が変わる。

この定理により、二次の行列式を符号付き面積と呼ぶことが正当化される。その絶対値は面積を測り、その符号は第一列を第二列に移す回転の向きを表す。コース I のベクトルの課の平行条件は、面積が零の場合である。二つのベクトルが平行であるのは、それらが定める平行四辺形が一本の直線上につぶれるときにちょうど限られる。行列が平面の変換として作用するときの、行列式と任意の図形の面積との関係は、平面の変換としての行列の課で学ぶ。