行列と行列の演算

行列

コース 代数と幾何 I の一次方程式・一次不等式と連立一次方程式の課では、ガウスの消去法を各方程式の係数を集めた表の上で進めた。未知数は計算に関与せず、すべての作業は表の数で行われた。この観察は古い。約二千年前に編まれた中国の書物『九章算術』は、すでに係数を列に並べて連立方程式を解いていた。行列（matrix）という語はジェームズ・ジョセフ・シルベスターが 1850 年に導入し、アーサー・ケイリーが 1858 年に行列の演算の最初の理論を発表した。それがこの課で学ぶ理論である。

$m$ と $n$ を自然数とする。行列（型 $m \times n$）とは、$mn$ 個の数を $m$ 行 $n$ 列に並べた表である。第 $i$ 行、第 $j$ 列にある数を、行列の成分 $(i, j)$ という。行列を $A$ のような大文字で表すとき、成分は対応する小文字に二つの添字をつけて $a_{ij}$ と表し、その第一の添字はつねに行を示す。$A = (a_{ij})$ とも書く。たとえば、$2 \times 3$ 型の行列は次の形をしている。

特に断らない限り、成分は実数とする。以下のことはすべて複素数を成分とする行列でもそのまま成り立つ。証明は数の和と積の性質しか使わず、それらは $\mathbb{C}$ と $\mathbb{R}$ に共通だからである。二つの行列が等しいとは、型が同じで、同じ位置に同じ成分をもつことである。$m \times n$ 型の行列の間の等式は、$mn$ 個の数の等式と同値である。

行列の種類

ある形はとても頻繁に現れるので、固有の名前をもっている。

• $1 \times n$ 型の行列を行ベクトル、$m \times 1$ 型の行列を列ベクトルという。コース I の平面ベクトルの課の平面ベクトルは、$2 \times 1$ 型の列ベクトルとして書くことができる。
• 与えられた型の零行列は、すべての成分が $0$ に等しい行列である。これも $0$ で表し、型は文脈から分かる。
• 行の数と列の数が等しい行列を正方行列という。$n \times n$ 型の行列は $n$ 次正方行列ともいう。その成分 $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}$ は主対角線をなす。
• 主対角線の外の成分がすべて零である正方行列を対角行列という。単位行列（次数 $n$、記号 $I_n$、次数が明らかなときは $I$）は、対角成分がすべて $1$ に等しい対角行列である。
• 主対角線より下にある成分がすべて零であるとき、すなわち $a_{ij} = 0$ が $i > j$ を満たすすべての添字について成り立つとき、正方行列は上三角行列であるという。主対角線より上にある成分がすべて零であるとき、下三角行列であるという。
• すべての添字について $a_{ij} = a_{ji}$ が成り立つとき、正方行列は対称行列であるという。主対角線が表の対称軸になっている。

たとえば、次の四つの行列のうち、第一は $3$ 次の単位行列、第二は対角行列、第三は上三角行列、第四は対称行列である。