Sistemi lineari e il metodo di Gauss-Jordan

Riepilogo

Questa lezione studia i sistemi di equazioni lineari con un numero qualsiasi di equazioni e di incognite. Scrive ogni sistema come un’equazione matriciale $AX = B$ e lo rappresenta mediante la sua matrice completa; dimostra che le tre operazioni elementari di riga trasformano un sistema in un altro con le stesse soluzioni, e che ogni matrice può essere portata per mezzo di esse a una forma a scala ridotta, dalla quale le soluzioni si leggono direttamente: è il metodo di Gauss-Jordan. Dimostra poi che questa forma è unica, quali che siano le operazioni impiegate, e definisce con essa il rango di una matrice; dimostra il teorema di Rouché-Capelli (nel mondo ispanofono, teorema di Rouché-Frobenius), che decide se un sistema ha soluzioni e quanti parametri liberi hanno le sue soluzioni, e lo applica ai sistemi omogenei. Con ciò si completa lo studio dei sistemi iniziato nell’unità sugli insiemi numerici.

Obiettivi di apprendimento

Scrivere un sistema lineare in forma matriciale, formarne la matrice completa e giustificare perché le operazioni elementari di riga ne conservano le soluzioni.
Ridurre una matrice alla sua forma a scala ridotta con il metodo di Gauss-Jordan, dimostrare che tale forma è unica e leggervi le soluzioni del sistema.
Calcolare il rango di una matrice e applicare il teorema di Rouché-Capelli per classificare un sistema, anche quando i suoi coefficienti dipendono da un parametro.
Impostare come sistemi lineari problemi di interpolazione, di bilanciamento chimico, di reti di flusso e di quadrati magici, e descriverne le soluzioni con parametri liberi.

La forma matriciale di un sistema

Nella lezione del corso Algebra e Geometria I su equazioni di primo grado e sistemi lineari si sono risolti sistemi di due e di tre equazioni per sostituzione, riduzione e confronto, e si sono classificati quelli di due equazioni in due incognite mediante il loro determinante. Lì rimase in sospeso il caso generale, la cui classificazione fu ammessa senza dimostrazione. Questa lezione lo risolve con gli strumenti della lezione su matrici e operazioni con le matrici.

Un sistema di $m$ equazioni lineari in $n$ incognite $x_1, x_2, \ldots, x_n$ è un insieme di $m$ equazioni della forma qui sotto, che devono essere soddisfatte simultaneamente; il numero $a_{ij}$ è il coefficiente dell’incognita $x_j$ nell’equazione $i$ , e $b_i$ è il termine noto di quell’equazione.

\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases}

Una soluzione del sistema è una lista ordinata di $n$ numeri $(s_1, s_2, \ldots, s_n)$ che, sostituiti alle incognite, soddisfano le $m$ equazioni. Sia $A$ la matrice dei coefficienti, con $m$ righe e $n$ colonne, il cui elemento della riga $i$ e della colonna $j$ è $a_{ij}$ ; siano $X$ la colonna delle incognite e $B$ quella dei termini noti. Come già osservato in quella lezione, per la definizione del prodotto di matrici l’elemento $i$ della colonna $AX$ è proprio il primo membro dell’equazione $i$ . Ne segue che l’intero sistema si scrive come un’unica uguaglianza tra matrici colonna, $AX = B$ . Per esempio, il sistema che verrà risolto più avanti si scrive così:

\begin{cases} 2y + z = 0 \\ x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - z = -3 \end{cases} \qquad \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}

Per risolvere il sistema basta conoscere i numeri $a_{ij}$ e $b_i$ : i nomi delle incognite non intervengono nei calcoli. La matrice completa del sistema è la matrice $M$ , con $m$ righe e $n + 1$ colonne, che si ottiene aggiungendo ad $A$ la colonna $B$ come ultima colonna; la scriveremo $M = \left( A, B \right)$ . Ogni riga di $M$ riassume un’equazione: i suoi primi $n$ elementi sono i coefficienti, e l’ultimo è il termine noto. Nell’esempio:

M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}

Un sistema è compatibile se ha almeno una soluzione, e incompatibile se non ne ha nessuna; un sistema compatibile è determinato se ne ha esattamente una, e indeterminato se ne ha più di una. Due sistemi con le stesse incognite sono equivalenti quando hanno lo stesso insieme delle soluzioni. Nella lezione del corso I si è visto che un sistema di due equazioni in due incognite ha nessuna, una o infinite soluzioni; alla fine di questa lezione si saprà che lo stesso accade con qualsiasi sistema lineare, e si avrà un criterio per decidere in quale dei casi ci si trova.