Vai al contenuto
Topos Uranos
Italiano

Determinanti: proprietà e regola di Cramer

Riepilogo

Questa lezione estende alle matrici quadrate di qualsiasi ordine il numero che, nella lezione sui sistemi lineari del corso Algebra e Geometria I, decideva se un sistema di due equazioni in due incognite ha un’unica soluzione. Interpreta il determinante di ordine due come l’area orientata del parallelogramma individuato dalle colonne della matrice; definisce quello di ordine tre mediante lo sviluppo secondo la prima riga e mostra che coincide con la regola di Sarrus; e definisce quello di ordine nn per ricorrenza. Dimostra per induzione sull’ordine, a partire da questa definizione, le proprietà del determinante (la linearità in ogni riga, lo scambio di righe, le righe nulle o uguali, la somma di un multiplo di un’altra riga, la trasposta e le matrici triangolari), e le applica al calcolo per riduzione e alla relazione tra il determinante e il rango. Dimostra il teorema di Binet in ordine due, la cui dimostrazione generale è data nella lezione sulla matrice inversa, e la regola di Cramer in ogni ordine; i problemi applicano i determinanti all’area di un triangolo, al determinante di Vandermonde, all’identità di Cassini dei numeri di Fibonacci e alla circonferenza per tre punti.

Obiettivi di apprendimento

  1. Calcolare determinanti di ordine due e tre mediante lo sviluppo secondo una riga e mediante la regola di Sarrus, e interpretare quello di ordine due come un’area orientata.
  2. Dimostrare per induzione sull’ordine le proprietà del determinante e usarle per calcolare determinanti di qualsiasi ordine per riduzione a una matrice triangolare.
  3. Mettere in relazione il determinante con il rango e con il prodotto di matrici, e decidere con esso se una matrice è singolare.
  4. Risolvere sistemi di nn equazioni in nn incognite mediante la regola di Cramer, e applicare i determinanti a problemi di geometria analitica e di successioni.

Il determinante di ordine due e l’area orientata

Nella lezione del corso I su equazioni di primo grado e sistemi lineari si è chiamato determinante di un sistema di due equazioni il numero D=a1b2−a2b1D = a_1 b_2 - a_2 b_1, e si è dimostrata la regola di Cramer: se DD non è nullo, il sistema ha esattamente una soluzione. Nella lezione su vettori nel piano, lo stesso numero, formato con le componenti di due vettori, decideva se essi sono paralleli. Ora, nella lezione su matrici e operazioni con le matrici si sono introdotte le matrici quadrate, e nella lezione su il metodo di Gauss-Jordan ogni sistema lineare è stato scritto nella forma AX=BAX = B. Se è così, conviene considerare quel numero come una funzione della matrice dei coefficienti, ed estenderlo alle matrici quadrate di qualsiasi ordine.

Il determinante di una matrice quadrata AA di ordine due è il prodotto degli elementi della sua diagonale principale meno il prodotto degli elementi dell’altra diagonale. Si scrive det⁡A\det A, oppure con gli elementi della matrice tra due barre verticali.
A=(abcd),det⁡A=∣abcd∣=ad−bcA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Il determinante di un sistema di due equazioni è quello della sua matrice dei coefficienti, che ha nella prima colonna i coefficienti di xx e nella seconda quelli di yy: il suo determinante è a1b2−a2b1=Da_1 b_2 - a_2 b_1 = D. Le barre non indicano qui un valore assoluto, perché il determinante può essere negativo; per esempio:

∣3112∣=6−1=5,∣1321∣=1−6=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 1 = 5, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5

Le due colonne di una matrice di ordine due sono vettori del piano, e il teorema dell’area orientata, enunciato qui sotto, dà al determinante un significato geometrico che spiega, di passaggio, il criterio di parallelismo della lezione del corso I sui vettori.

TeoremaArea orientata

Siano u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) e v⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right) vettori del piano, e sia AA la matrice le cui colonne sono u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v}. L’area del parallelogramma individuato dalle frecce di u⃗\vec{u} e di v⃗\vec{v} tracciate da una stessa origine è il valore assoluto di det⁡A\det A. Inoltre, se i vettori non sono nulli né paralleli, det⁡A\det A è positivo quando la rotazione di meno di mezzo giro che porta la direzione di u⃗\vec{u} su quella di v⃗\vec{v} è antioraria, e negativo quando è oraria.

det⁡A=∣u1v1u2v2∣=u1v2−u2v1\det A = \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix} = u_1 v_2 - u_2 v_1

Se u⃗\vec{u} è nullo, il parallelogramma si riduce a un segmento e il determinante è nullo; supponiamo quindi che u⃗\vec{u} non lo sia. La dimostrazione usa la distanza di un punto da una retta, ottenuta nella lezione del corso I sui vettori, le coordinate polari della lezione su coordinate polari e la formula del seno della differenza della lezione su formule di addizione e sottrazione. La figura la accompagna con u⃗=(3,1)\vec{u} = \left( 3, 1 \right) e v⃗=(1,2)\vec{v} = \left( 1, 2 \right).

Dimostrazione

  1. n⃗=(−u2,u1),n⃗⋅u⃗=−u2u1+u1u2=0,∥n⃗∥=∥u⃗∥\vec{n} = \left( -u_2, u_1 \right), \qquad \vec{n} \cdot \vec{u} = \resaltar{-u_2 u_1 + u_1 u_2} = \resaltar{0}, \qquad \dato{n}{\norma{\vec{n}} = \norma{\vec{u}}}

    Si ammette, come nella geometria elementare, che l’area di un parallelogramma è il prodotto di una base per l’altezza corrispondente. Prendiamo come base il lato che rappresenta u⃗\vec{u}, sulla retta passante per l’origine con quella direzione; la sua equazione è −u2x+u1y=0-u_2 x + u_1 y = 0, che l’origine e l’estremo di u⃗\vec{u} soddisfano. Per il teorema del vettore normale, il vettore n⃗\vec{n} è perpendicolare a quella retta, e la sua norma è quella di u⃗\vec{u}.

  2. h=∣v⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣u1v2−u2v1∣∥n⃗∥h = \frac{\abs{\resaltar{\vec{v} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \dato{h}{\frac{\abs{\resaltar{u_1 v_2 - u_2 v_1}}}{\norma{\vec{n}}}}

    L’altezza è la distanza dell’estremo di v⃗\vec{v} da quella retta. Nella formula della distanza prendiamo l’origine come punto della retta, in modo che il vettore che va dalla retta al punto è proprio v⃗\vec{v}.

  3. ∥u⃗∥⋅h=∣u1v2−u2v1∣=∣det⁡A∣,∣3⋅2−1⋅1∣=5\resaltar{\norma{\vec{u}}} \cdot h = \resaltar{\abs{u_1 v_2 - u_2 v_1}} = \abs{\det A}, \qquad \abs{3 \cdot 2 - 1 \cdot 1} = 5

    L’area è la base per l’altezza, e la norma di u⃗\vec{u} si semplifica con quella di n⃗\vec{n}. Nella figura, la base misura 10\sqrt{10}, l’altezza 510\frac{5}{\sqrt{10}}, e l’area è 55.

  4. det⁡A=(rcos⁡α)(ssin⁡β)−(rsin⁡α)(scos⁡β)=rs(sin⁡βcos⁡α−cos⁡βsin⁡α)=rssin⁡(β−α)\det A = (r \cos \alpha)(s \sin \beta) - (r \sin \alpha)(s \cos \beta) = rs \resaltar{(\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha)} = \dato{s}{rs \resaltar{\sin(\beta - \alpha)}}

    Per il segno, scriviamo i vettori in coordinate polari: rr e ss sono le loro norme, e α\alpha e β\beta gli angoli che essi formano con il semiasse positivo delle ascisse, in modo che u⃗=(rcos⁡α,rsin⁡α)\vec{u} = \left( r \cos \alpha, r \sin \alpha \right) e v⃗=(scos⁡β,ssin⁡β)\vec{v} = \left( s \cos \beta, s \sin \beta \right). Per la formula del seno della differenza, il determinante è rsrs per il seno dell’angolo che va da u⃗\vec{u} a v⃗\vec{v}.

  5. ∣3112∣=5,∣1321∣=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{5}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-5}

    Poiché rs>0rs > 0, il determinante ha il segno di sin⁡(β−α)\sin(\beta - \alpha), che è positivo se β−α\beta - \alpha è compreso tra 0∘0^\circ e 180∘180^\circ, a meno di un multiplo di 360∘360^\circ, cioè se v⃗\vec{v} si raggiunge da u⃗\vec{u} ruotando in senso antiorario di meno di mezzo giro, e negativo nel caso contrario. È nullo se e solo se β−α\beta - \alpha è multiplo di 180∘180^\circ, cioè se i vettori sono paralleli. Nella figura, β−α=45∘\beta - \alpha = 45^\circ; scambiando le colonne, la rotazione che porta v⃗\vec{v} su u⃗\vec{u} è oraria, e il segno cambia.

Il teorema giustifica che il determinante di ordine due si chiami area orientata: il suo valore assoluto misura l’area, e il suo segno il verso della rotazione che porta la prima colonna sulla seconda. Il criterio di parallelismo della lezione del corso I sui vettori è il caso dell’area nulla: due vettori sono paralleli esattamente quando il parallelogramma che individuano si schiaccia su una retta. La relazione tra il determinante e le aree di figure qualsiasi, quando la matrice agisce come una trasformazione del piano, sarà studiata nella lezione su matrici come trasformazioni del piano.