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Topos Uranos
Deutsch

Matrizen als Abbildungen der Ebene

Zusammenfassung

Diese Lektion deutet jede Matrix mit zwei Zeilen und zwei Spalten als Abbildung der Ebene, nämlich als diejenige, die jedes v⃗\vec{v}, als Spalte geschrieben, auf den Vektor Av⃗A\vec{v} abbildet. Sie beweist, dass diese Abbildungen genau die linearen sind und dass jede durch die Bilder der beiden Standardbasisvektoren bestimmt ist, die die Spalten ihrer Matrix sind. Mit diesem Prinzip gewinnt sie die Matrizen der Drehungen, der Projektionen auf Geraden durch den Ursprung und der Spiegelungen an ihnen, der zentrischen Streckungen und der Scherungen. Sie beweist, dass das Verketten von Abbildungen dem Multiplizieren ihrer Matrizen entspricht, woraus sich die Addition der Winkel zweier Drehungen ergibt, die Tatsache, dass zwei verkettete Spiegelungen eine Drehung um das Doppelte des Winkels zwischen ihren Geraden bilden, und die Tatsache, dass Spiegelungen im Allgemeinen nicht vertauschbar sind. Sie deutet die Determinante als den Faktor, mit dem die Abbildung Flächeninhalte multipliziert, mit negativem Vorzeichen, wenn sie die Orientierung umkehrt, und charakterisiert die bijektiven Abbildungen als die mit von null verschiedener Determinante. Zum Schluss schreibt sie die Achsendrehung der allgemeinen Gleichung zweiten Grades in Matrizenform.

Lernziele

  1. Eine Matrix als lineare Abbildung der Ebene erkennen und die Matrix einer Abbildung aus den Bildern der Standardbasisvektoren gewinnen.
  2. Die Matrizen der Drehungen, Projektionen, Spiegelungen, zentrischen Streckungen und Scherungen aufschreiben und herleiten und die Wirkung einer gegebenen Matrix geometrisch beschreiben.
  3. Beweisen, dass die Verkettung von Abbildungen dem Matrizenprodukt entspricht, und dies auf die Verkettung von Drehungen und von Spiegelungen anwenden.
  4. Die Determinante als Flächen- und Orientierungsfaktor deuten, entscheiden, wann eine Abbildung invertierbar ist, und die Achsendrehung einer Gleichung zweiten Grades mit Matrizen ausdrücken.

Matrizen als Abbildungen

In der Lektion des Kurses Algebra und Geometrie I über Vektoren in der Ebene wurde ein Vektor als geordnetes Paar reeller Zahlen definiert, und in der Lektion über Matrizen und Matrizenoperationen wurde das Produkt einer Matrix mit einer anderen, Zeile mal Spalte, definiert. Schreibt man das Paar (x,y)(x, y) als Spalte, also als Matrix mit zwei Zeilen und einer Spalte, so kann eine Matrix AA mit zwei Zeilen und zwei Spalten es multiplizieren, und das Ergebnis ist eine andere Spalte mit zwei Einträgen, also ein anderer Vektor. Auf diese Weise bewegt jede Matrix die Punkte der Ebene, und die Algebra der Matrizen erhält eine geometrische Bedeutung. Im Folgenden identifizieren wir das Paar (x,y)(x, y) mit der Spalte mit den Einträgen xx und yy, und wir nennen e⃗1=(1,0)\vec{e}_1 = (1, 0) und e⃗2=(0,1)\vec{e}_2 = (0, 1) die Standardbasisvektoren, sodass sich jeder Vektor als v⃗=xe⃗1+ye⃗2\vec{v} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 schreibt.

Eine Abbildung der Ebene ist eine Funktion, die jedem Vektor der Ebene einen Vektor der Ebene zuordnet. Ist AA eine Matrix mit zwei Zeilen und zwei Spalten, so ist die Abbildung mit der Matrix AA diejenige, die jedem v⃗\vec{v} das Produkt Av⃗A\vec{v} zuordnet.
T(v⃗)=Av⃗=(abcd)(xy)=(ax+bycx+dy)T(\vec{v}) = A\vec{v} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}

Zum Beispiel bildet die Matrix mit den Einträgen 22, 00, 00 und 33 den Punkt (x,y)(x, y) auf den Punkt (2x,3y)(2x, 3y) ab: Sie streckt die Ebene in horizontaler Richtung auf das Doppelte und in vertikaler auf das Dreifache. Die Abbildungen mit einer Matrix haben eine Eigenschaft, die sie von den übrigen Funktionen der Ebene unterscheidet und die sich mit der folgenden Definition ausdrückt.

Eine Abbildung TT der Ebene heißt linear, wenn sie die Summe von Vektoren und das Produkt eines Vektors mit einer Zahl erhält: Für alle u⃗\vec{u} und v⃗\vec{v} der Ebene und jede reelle Zahl tt gelten die beiden folgenden Gleichungen.
T(u⃗+v⃗)=T(u⃗)+T(v⃗),T(tv⃗)=tT(v⃗)T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v}), \qquad T(t\vec{v}) = tT(\vec{v})
SatzDie Spalten der Matrix

Jede Abbildung mit einer Matrix ist linear, und die Spalten ihrer Matrix sind die Bilder der Standardbasisvektoren: Die erste ist das Bild von e⃗1\vec{e}_1, die zweite das von e⃗2\vec{e}_2. Umgekehrt ist jede lineare Abbildung der Ebene die Abbildung einer eindeutig bestimmten Matrix, nämlich derjenigen mit den Spalten T(e⃗1)T(\vec{e}_1) und T(e⃗2)T(\vec{e}_2).

Verwendet werden die Distributivität des Matrizenprodukts und seine Verträglichkeit mit der Multiplikation mit einer Zahl, bewiesen in der Lektion über Matrizen und Matrizenoperationen. Die Figur verfolgt die Abbildung mit der Matrix AA mit den Spalten (2,1)(2, 1) und (−1,1)(-1, 1).

Beweis

  1. T(u⃗+v⃗)=A⋅(u⃗+v⃗)=Au⃗+Av⃗,T(tv⃗)=A⋅(tv⃗)=tAv⃗T(\vec{u} + \vec{v}) = \resaltar{A \cdot \left( \vec{u} + \vec{v} \right)} = \resaltar{A\vec{u} + A\vec{v}}, \qquad T(t\vec{v}) = \resaltar{A \cdot \left( t\vec{v} \right)} = \resaltar{tA\vec{v}}

    Sei AA eine Matrix und TT ihre Abbildung. Die Distributivität und die Verträglichkeit mit der Multiplikation mit einer Zahl liefern die beiden Bedingungen der Linearität; in der Figur geht das von u⃗\vec{u} und v⃗\vec{v} aufgespannte Parallelogramm in das von ihren Bildern aufgespannte über.

  2. T(e⃗1)=(abcd)(10)=(ac)T(\vec{e}_1) = \resaltar{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = \dato{c1}{\resaltar{\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}}}

    Wir berechnen das Bild von e⃗1\vec{e}_1: Beim Multiplizieren Zeile mal Spalte zählt von jeder Zeile von AA nur der erste Eintrag.

  3. T(e⃗2)=(abcd)(01)=(bd)T(\vec{e}_2) = \resaltar{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}} = \dato{c2}{\resaltar{\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}}}

    Ebenso zählt im Bild von e⃗2\vec{e}_2 nur der zweite Eintrag jeder Zeile.

  4. T(v⃗)=T(xe⃗1+ye⃗2)=xT(e⃗1)+yT(e⃗2)=xAe⃗1+yAe⃗2=Av⃗T(\vec{v}) = \resaltar{T(x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2)} = xT(\vec{e}_1) + yT(\vec{e}_2) = \resaltar{xA\vec{e}_1 + yA\vec{e}_2} = A\vec{v}

    Sei nun TT eine beliebige lineare Abbildung, und sei AA die Matrix mit den Spalten T(e⃗1)T(\vec{e}_1) und T(e⃗2)T(\vec{e}_2). Wir schreiben v⃗=xe⃗1+ye⃗2\vec{v} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 und wenden die Linearität an; nach den beiden obigen Schritten gilt T(e⃗1)=Ae⃗1T(\vec{e}_1) = A\vec{e}_1 und T(e⃗2)=Ae⃗2T(\vec{e}_2) = A\vec{e}_2. In der Figur geht das Gitter der Ebene in ein Gitter aus Parallelogrammen über.

  5. Be⃗1=T(e⃗1)=Ae⃗1,Be⃗2=T(e⃗2)=Ae⃗2→B=AB\vec{e}_1 = T(\vec{e}_1) = A\vec{e}_1, \quad B\vec{e}_2 = T(\vec{e}_2) = A\vec{e}_2 \rightarrow B = A

    Erfüllte eine andere Matrix BB ebenfalls T(v⃗)=Bv⃗T(\vec{v}) = B\vec{v} für alle v⃗\vec{v}, so stimmten die Spalten von BB, also Be⃗1B\vec{e}_1 und Be⃗2B\vec{e}_2, mit denen von AA überein; die Matrix ist eindeutig.

Der Satz reduziert das Studium einer linearen Abbildung auf das zweier Vektoren: Um die Matrix zu kennen, genügt es zu wissen, wohin e⃗1\vec{e}_1 und e⃗2\vec{e}_2 gehen, und um zu wissen, was eine Matrix bewirkt, genügt es, ihre Spalten zu lesen. Aus der Linearität folgen außerdem mehrere geometrische Eigenschaften. Der Ursprung bleibt fest, denn es gilt A0⃗=0⃗A\vec{0} = \vec{0}; deshalb sind Verschiebungen, die den Ursprung bewegen, nicht linear. Die Gerade mit der Vektorgleichung p⃗+td⃗\vec{p} + t\vec{d}, untersucht in der Lektion von Kurs I über Vektoren, geht in die Menge der Punkte Ap⃗+tAd⃗A\vec{p} + tA\vec{d} über, die eine Gerade ist, wenn Ad⃗A\vec{d} nicht null ist, und ein einzelner Punkt, wenn er null ist. Ebenso geht eine Strecke in eine Strecke oder einen Punkt über, parallele Geraden gehen in parallele Geraden oder Punkte über, und das Quadrat mit den Ecken 0⃗\vec{0}, e⃗1\vec{e}_1, e⃗1+e⃗2\vec{e}_1 + \vec{e}_2 und e⃗2\vec{e}_2, das wir Einheitsquadrat nennen, geht in das vielleicht plattgedrückte Parallelogramm über, das die beiden Spalten der Matrix aufspannen.