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Topos Uranos
Italiano

Geometria analitica dello spazio: introduzione

Riepilogo

Questa lezione apre la quinta e ultima unità del corso, dedicata alla geometria analitica dello spazio. Presenta le quattro lezioni che la compongono e il filo che le unisce: i vettori del piano, studiati nel corso I, diventano terne di numeri con un prodotto scalare che misura lunghezze e angoli; il determinante di ordine tre della quarta unità dà un prodotto nuovo, il prodotto vettoriale, e con esso il prodotto misto, che misura aree e volumi; le rette e i piani si descrivono con equazioni lineari, e le loro posizioni reciproche si decidono con il rango e il teorema di Rouché-Capelli (nel mondo ispanofono, teorema di Rouché-Frobenius); e tutto ciò si riunisce per misurare distanze e angoli tra punti, rette e piani. Ripercorre il contesto storico di queste idee, dalle coordinate di Descartes e di Fermat, che nel XVII secolo uscirono appena dal piano, fino al calcolo vettoriale di Gibbs e di Heaviside e alla cristallografia; formula con precisione, mediante due gallerie di una rete metropolitana, il problema che diede loro origine, quello di decidere se due rette dello spazio si intersecano e di misurare quanto distano quando non lo fanno; e indica dove tornano a essere usate in questo corso, in altri corsi del sito e nella scienza e nella tecnica.

Obiettivi di apprendimento

  1. Descrivere la sequenza delle lezioni dell’unità e spiegare quale strumento apporta ciascuna e quali prende dall’unità sulle matrici e dalla geometria del piano del corso I.
  2. Collocare nel loro contesto storico le coordinate dello spazio, il prodotto scalare, il prodotto vettoriale e il calcolo vettoriale, nominando il problema che ciascuna idea venne a risolvere.
  3. Impostare come un sistema lineare la domanda se due rette dello spazio si intersecano, deciderla con il rango della matrice completa e calcolare la distanza minima tra due rette sghembe.
  4. Riconoscere usi della geometria analitica dello spazio nella fisica, nella computer grafica, nella robotica, nella geodesia, nel posizionamento satellitare e nella chimica.

Valutazione d’ingresso

Prima di percorrere l’unità conviene misurare il punto di partenza. Le prime otto domande toccano, due a due, le quattro lezioni dell’unità, e la nona è un problema di modellizzazione, che chiede di impostare con la distanza di un punto da una retta una situazione concreta; le stesse abilità si misurano di nuovo alla fine, nella lezione di sintesi. Le ultime tre verificano ciò che l’unità dà per noto dell’unità sulle matrici e del corso I. Non ci sono voti: serve a sapere che cosa si padroneggia e dove soffermarsi.

Valutazione d’ingresso

Prima di iniziare l’unità, misura il tuo punto di partenza. È un’autovalutazione breve: non riceve voto e il risultato resta solo nel tuo browser.

  1. Domanda 1Calcolare la distanza tra i punti P=(1,−2,3)P = (1, -2, 3) e Q=(3,1,9)Q = (3, 1, 9).

  2. Domanda 2Quale angolo formano i vettori u⃗=(1,1,0)\vec{u} = \left( 1, 1, 0 \right) e v⃗=(1,0,1)\vec{v} = \left( 1, 0, 1 \right)?

  3. Domanda 3Calcolare (1,2,0)×(0,1,3)\left( 1, 2, 0 \right) \times \left( 0, 1, 3 \right).

  4. Domanda 4Calcolare il volume del tetraedro di vertici O=(0,0,0)O = (0, 0, 0), A=(1,2,0)A = (1, 2, 0), B=(0,1,3)B = (0, 1, 3) e C=(2,0,1)C = (2, 0, 1).

  5. Domanda 5Qual è l’equazione del piano per A=(1,0,0)A = (1, 0, 0), B=(0,2,0)B = (0, 2, 0) e C=(0,0,2)C = (0, 0, 2)?

  6. Domanda 6Qual è la posizione reciproca delle rette (1,0,0)+t(1,1,0)\left( 1, 0, 0 \right) + t \left( 1, 1, 0 \right) e (0,1,1)+s(1,−1,0)\left( 0, 1, 1 \right) + s \left( 1, -1, 0 \right)?

  7. Domanda 7Calcolare la distanza del punto P=(1,2,3)P = (1, 2, 3) dal piano 2x−y+2z=12x - y + 2z = 1.

  8. Domanda 8Quale angolo forma la retta di vettore direttore (1,0,1)\left( 1, 0, 1 \right) con il piano x+y=0x + y = 0?

  9. Domanda 9Un drone decolla dal punto O=(0,0,0)O = (0, 0, 0) di un parco e sale in linea retta nella direzione del vettore (2,2,1)\left( 2, 2, 1 \right), con le distanze in metri. Nel punto P=(12,6,0)P = (12, 6, 0) del suolo c’è una persona seduta. A quale distanza minima da lei vola il drone, in metri?

  10. Domanda 10Dalle unità precedentiCalcolare il determinante della matrice di righe (1,2,0)\left( 1, 2, 0 \right), (3,1,2)\left( 3, 1, 2 \right) e (0,1,1)\left( 0, 1, 1 \right).

  11. Domanda 11Dalle unità precedentiUn sistema di tre equazioni lineari in due incognite ha una matrice dei coefficienti di rango 22 e una matrice completa di rango 33. Quante soluzioni ha?

  12. Domanda 12Dalle unità precedentiPer quale valore di kk sono perpendicolari i vettori (3,−1)\left( 3, -1 \right) e (2,k)\left( 2, k \right) del piano?