Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Geometria analytica spatii: introdvctio

Svmmarivm

Haec lectio partem qvintam et vltimam cvrsvs aperit, geometriae analyticae spatii dicatam. Qvattvor lectiones qvae eam componvnt praesentat et filvm qvo conivngvntvr: vectores plani, in cvrsv I tractati, in terniones nvmerorvm vertvntvr cvm prodvcto scalari qvod longitvdines et angvlos metitvr; determinans ordinis tertii partis qvartae novvm prodvctvm dat, vectoriale, et cvm eo prodvctvm mixtvm, qvod areas et volvmina metitvr; rectae et plana aeqvationibvs linearibvs describvntvr, et positiones earvm mvtvae rango et theoremate Rovché-Frobenii decernvntvr; et haec omnia conivngvntvr vt distantiae et angvli inter pvncta, rectas et plana metiantvr. Memoriam historicam harvm notionvm percvrrit, a coordinatis Cartesii et Fermatii, qvae saecvlo septimo decimo vix e plano exiervnt, vsqve ad calcvlvm vectorialem Gibbsii et Heavisidii et crystallographiam; qvaestionem vnde ortae svnt accvrate format, per dvos cvnicvlos retis ferriviae svbterraneae, scilicet decernere vtrvm dvae rectae spatii se secent et metiri qvantvm distent cvm se non secant; et indicat vbi itervm adhibeantvr in hoc cvrsv, in aliis cvrsibvs sitvs et in scientia et arte.

Proposita discendi

  1. Ordinem lectionvm partis describere et explicare qvod instrvmentvm qvaeqve afferat et qvae a parte de matricibvs et a geometria plani cvrsvs I svmat.
  2. Coordinatas spatii, prodvctvm scalare, prodvctvm vectoriale et calcvlvm vectorialem in svo contextv historico collocare, qvaestionem nominando qvam qvaeqve notio solvere venit.
  3. Qvaestionem vtrvm dvae rectae spatii se secent vt systema lineare ponere, eam rango matricis avctae decernere et minimam distantiam inter dvas rectas non coplanares compvtare.
  4. Vsvs geometriae analyticae spatii in physica, in graphice compvtatoria, in robotica, in geodaesia, in locatione per satellites et in chemia agnoscere.

Probatio initialis

Anteqvam pars percvrratvr, initivm metiri expedit. Octo primae qvaestiones qvattvor lectiones partis binae attingvnt, et nona est problema exemplaris mathematici constrvendi, qvod postvlat vt res in contextv posita distantia pvncti a recta exprimatvr; eaedem facvltates in fine itervm explorantvr, in lectione synthesis. Tres postremae explorant qvae pars e parte de matricibvs et e cvrsv I nota esse ponit. Nvlla nota datvr: valet ad cognoscendvm qvid teneatvr et vbi morandvm sit.

Probatio initialis

Antequam vnitatem incipias, pvnctvm vnde proficisceris metire. Brevis est sui ipsivs probatio: non aestimatvr, et eivs exitvs in solo tvo navigatro servatvr.

  1. Qvaestio 1Distantiam inter pvncta P=(1,−2,3)P = (1, -2, 3) et Q=(3,1,9)Q = (3, 1, 9) compvtare.

  2. Qvaestio 2Qvem angvlvm vectores u⃗=(1,1,0)\vec{u} = \left( 1, 1, 0 \right) et v⃗=(1,0,1)\vec{v} = \left( 1, 0, 1 \right) efficivnt?

  3. Qvaestio 3Compvtare (1,2,0)×(0,1,3)\left( 1, 2, 0 \right) \times \left( 0, 1, 3 \right).

  4. Qvaestio 4Volvmen tetraedri cvivs vertices svnt O=(0,0,0)O = (0, 0, 0), A=(1,2,0)A = (1, 2, 0), B=(0,1,3)B = (0, 1, 3) et C=(2,0,1)C = (2, 0, 1) compvtare.

  5. Qvaestio 5Qvae est aeqvatio plani per A=(1,0,0)A = (1, 0, 0), B=(0,2,0)B = (0, 2, 0) et C=(0,0,2)C = (0, 0, 2)?

  6. Qvaestio 6Qvae est positio mvtva rectarvm (1,0,0)+t(1,1,0)\left( 1, 0, 0 \right) + t \left( 1, 1, 0 \right) et (0,1,1)+s(1,−1,0)\left( 0, 1, 1 \right) + s \left( 1, -1, 0 \right)?

  7. Qvaestio 7Distantiam pvncti P=(1,2,3)P = (1, 2, 3) a plano 2x−y+2z=12x - y + 2z = 1 compvtare.

  8. Qvaestio 8Qvem angvlvm recta cvivs vector directionis est (1,0,1)\left( 1, 0, 1 \right) cvm plano x+y=0x + y = 0 efficit?

  9. Qvaestio 9Fvcvs volans e pvncto O=(0,0,0)O = (0, 0, 0) horti pvblici evolat et linea recta ascendit secvndvm vectorem (2,2,1)\left( 2, 2, 1 \right), distantiis in metris expressis. In pvncto P=(12,6,0)P = (12, 6, 0) soli homo sedet. Qva minima distantia ab eo fvcvs volans praeterit, in metris?

  10. Qvaestio 10Ex vnitatibvs prioribvsDeterminans matricis cvivs ordines svnt (1,2,0)\left( 1, 2, 0 \right), (3,1,2)\left( 3, 1, 2 \right) et (0,1,1)\left( 0, 1, 1 \right) compvtare.

  11. Qvaestio 11Ex vnitatibvs prioribvsSystema trivm aeqvationvm linearivm dvarvm incognitarvm matricem coefficientivm rangi 22 et matricem avctam rangi 33 habet. Qvot solvtiones habet?

  12. Qvaestio 12Ex vnitatibvs prioribvsPro qvo valore ipsivs kk vectores (3,−1)\left( 3, -1 \right) et (2,k)\left( 2, k \right) plani perpendicvlares svnt?