Geometria analitica dello spazio: introduzione

Riepilogo

Questa lezione apre la quinta e ultima unità del corso, dedicata alla geometria analitica dello spazio. Presenta le quattro lezioni che la compongono e il filo che le unisce: i vettori del piano, studiati nel corso I, diventano terne di numeri con un prodotto scalare che misura lunghezze e angoli; il determinante di ordine tre della quarta unità dà un prodotto nuovo, il prodotto vettoriale, e con esso il prodotto misto, che misura aree e volumi; le rette e i piani si descrivono con equazioni lineari, e le loro posizioni reciproche si decidono con il rango e il teorema di Rouché-Capelli (nel mondo ispanofono, teorema di Rouché-Frobenius); e tutto ciò si riunisce per misurare distanze e angoli tra punti, rette e piani. Ripercorre il contesto storico di queste idee, dalle coordinate di Descartes e di Fermat, che nel XVII secolo uscirono appena dal piano, fino al calcolo vettoriale di Gibbs e di Heaviside e alla cristallografia; formula con precisione, mediante due gallerie di una rete metropolitana, il problema che diede loro origine, quello di decidere se due rette dello spazio si intersecano e di misurare quanto distano quando non lo fanno; e indica dove tornano a essere usate in questo corso, in altri corsi del sito e nella scienza e nella tecnica.

Obiettivi di apprendimento

Descrivere la sequenza delle lezioni dell’unità e spiegare quale strumento apporta ciascuna e quali prende dall’unità sulle matrici e dalla geometria del piano del corso I.
Collocare nel loro contesto storico le coordinate dello spazio, il prodotto scalare, il prodotto vettoriale e il calcolo vettoriale, nominando il problema che ciascuna idea venne a risolvere.
Impostare come un sistema lineare la domanda se due rette dello spazio si intersecano, deciderla con il rango della matrice completa e calcolare la distanza minima tra due rette sghembe.
Riconoscere usi della geometria analitica dello spazio nella fisica, nella computer grafica, nella robotica, nella geodesia, nel posizionamento satellitare e nella chimica.

Valutazione d’ingresso

Prima di percorrere l’unità conviene misurare il punto di partenza. Le prime otto domande toccano, due a due, le quattro lezioni dell’unità, e la nona è un problema di modellizzazione, che chiede di impostare con la distanza di un punto da una retta una situazione concreta; le stesse abilità si misurano di nuovo alla fine, nella lezione di sintesi. Le ultime tre verificano ciò che l’unità dà per noto dell’unità sulle matrici e del corso I. Non ci sono voti: serve a sapere che cosa si padroneggia e dove soffermarsi.