Géométrie analytique de l’espace : introduction

Résumé

Cette leçon ouvre la cinquième et dernière unité du cours, consacrée à la géométrie analytique de l’espace. Elle présente les quatre leçons qui la composent et le fil qui les unit : les vecteurs du plan, étudiés dans le cours I, deviennent des triplets de nombres munis d’un produit scalaire qui mesure longueurs et angles ; le déterminant d’ordre trois de l’unité qui précède fournit un produit nouveau, le produit vectoriel, et avec lui le produit mixte, qui mesure aires et volumes ; les droites et les plans se décrivent par des équations linéaires, et leurs positions relatives se décident par le rang et le théorème de Rouché-Fontené (appelé théorème de Rouché-Frobenius dans le monde hispanophone) ; et tout cela se réunit pour mesurer distances et angles entre points, droites et plans. Elle parcourt le contexte historique de ces idées, depuis les coordonnées de Descartes et de Fermat, qui au XVIIe siècle sortirent à peine du plan, jusqu’au calcul vectoriel de Gibbs et de Heaviside et à la cristallographie ; elle formule avec précision, au moyen de deux tunnels d’un réseau de métro, le problème à leur origine, celui de décider si deux droites de l’espace se coupent et de mesurer leur écart lorsqu’elles ne se coupent pas ; et elle indique où elles servent de nouveau dans ce cours, dans d’autres cours du site et dans la science et la technique.

Objectifs d’apprentissage

Décrire la succession des leçons de l’unité et expliquer quel instrument apporte chacune et lesquels elle emprunte à l’unité sur les matrices et à la géométrie plane du cours I.
Situer dans leur contexte historique les coordonnées de l’espace, le produit scalaire, le produit vectoriel et le calcul vectoriel, en nommant le problème que chaque idée est venue résoudre.
Poser comme un système linéaire la question de savoir si deux droites de l’espace se coupent, la trancher par le rang de la matrice augmentée et calculer la plus courte distance entre deux droites non coplanaires.
Identifier des usages de la géométrie analytique de l’espace en physique, en infographie, en robotique, en géodésie, dans le positionnement par satellite et en chimie.

Évaluation d’entrée

Avant de parcourir l’unité, il convient de mesurer le point de départ. Les huit premières questions portent, deux par deux, sur les quatre leçons de l’unité, et la neuvième est un problème de modélisation, qui demande de mettre en équation une situation concrète au moyen de la distance d’un point à une droite ; les mêmes compétences sont mesurées de nouveau à la fin, dans la leçon de synthèse. Les trois dernières vérifient ce que l’unité tient pour acquis de l’unité sur les matrices et du cours I. Il n’y a pas de note : il s’agit de savoir ce que l’on maîtrise et où s’attarder.