Matrizen und algebraische Strukturen: Synthese und Herausforderungen

Zusammenfassung

Diese Lektion schließt die Einheit über Matrizen und algebraische Strukturen ab. Sie fasst in einer deduktiven Kette zusammen, was in ihren sieben Lektionen erreicht wurde: das Matrizenprodukt, entstanden aus der Hintereinanderausführung linearer Substitutionen; die vollständige Lösung linearer Gleichungssysteme mit dem Gauß-Jordan-Verfahren und den Satz von Kronecker-Capelli (im spanischsprachigen Raum Satz von Rouché-Frobenius genannt); die Determinante als orientierter Flächeninhalt und als Kriterium der Eindeutigkeit; die inverse Matrix und die zur Invertierbarkeit äquivalenten Bedingungen; die Deutung der Matrizen als Abbildungen der Ebene; das getreue Abbild der komplexen Zahlen innerhalb der Matrizen; und die Begriffe Gruppe, Ring im algebraischen Sinn, Körper und Isomorphismus, die dem Gemeinsamen all dieser Rechnungen einen Namen geben. Sie erklärt, wie die Einheit Ergebnisse der früheren Einheiten und des Kurses Algebra und Geometrie I aufgreift, was ohne Beweis vorausgesetzt wurde und wie sie die folgende Einheit über die analytische Geometrie des Raumes und den Kurs Analysis I vorbereitet. Sie endet mit zehn Herausforderungen, die schwieriger sind als die Aufgaben der Lektionen und mehrere von ihnen verbinden.

Lernziele

Die Kette der Definitionen und Sätze der Einheit vom Matrizenprodukt bis zu den Isomorphismen rekonstruieren und erklären, welches Ergebnis auf welchem beruht.
Die Ergebnisse der Einheit mit denen der früheren Einheiten und des Kurses I in Beziehung setzen, insbesondere mit den linearen Gleichungssystemen, den Vektoren, der Achsendrehung, der Polarform und der Arithmetik der Reste, das Bewiesene vom Vorausgesetzten unterscheiden und ihre Verwendung in der Geometrie des Raumes vorwegnehmen.
Aufgaben lösen, die Determinanten, Inverse, Abbildungen, Matrizen komplexer Zahlen und algebraische Strukturen verbinden, und dabei jeweils das geeignete Werkzeug wählen.
Eine Aufgabe mithilfe einer Zuordnung, die die Verknüpfungen erhält, von einer Struktur in eine andere übertragen und mit den Invarianten eines Isomorphismus entscheiden, ob zwei Gruppen dieselbe sind.

Was die Einheit erreicht hat

Die Algebra der Matrizen und die linearen Gleichungssysteme

Den Ausgangspunkt bildete eine Beobachtung über lineare Substitutionen. In der Lektion über Matrizen und Matrizenoperationen ergab sich die Tabelle der zusammengesetzten Substitution, indem man die Tabellen der beiden Substitutionen Zeile mal Spalte multiplizierte, und diese Regel wurde als Definition des Produkts genommen. Aus ihr folgten die Assoziativität, durch Vertauschen der Summationsreihenfolge, die Distributivität und die Neutralität der Einheitsmatrix; und in umgekehrter Richtung zeigte sich, dass das Produkt nicht kommutativ ist, dass es Nullteiler zulässt und dass es von null verschiedene Matrizen gibt, von denen eine Potenz null ist. Die Transponierte kehrt die Reihenfolge der Faktoren um, $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ , und die Spur unterscheidet die Reihenfolge nicht, $\operatorname{Spur}(AB) = \operatorname{Spur}(BA)$ , weshalb die Gleichung $AB - BA = I$ in keiner Ordnung eine Lösung hat.

Mit dem Produkt wurde jedes lineare Gleichungssystem als eine einzige Gleichung $AX = B$ geschrieben. Die Lektion über lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Jordan-Verfahren bewies, dass die elementaren Zeilenumformungen die Lösungen erhalten und dass sich jede Matrix auf eine reduzierte Zeilenstufenform bringen lässt; sie bewies durch Induktion nach der Anzahl der Spalten, dass diese Form eindeutig ist, weshalb der Rang nicht vom Weg der Elimination abhängt, und sie bewies den Satz von Kronecker-Capelli: Das System ist genau dann lösbar, wenn $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(M)$ , und in diesem Fall hängen seine Lösungen von $n - r$ freien Parametern ab. Daraus folgte, dass ein lineares Gleichungssystem nie genau zwei Lösungen hat und dass ein homogenes Gleichungssystem mit weniger Gleichungen als Unbekannten nichttriviale Lösungen hat.

Die Determinante und die Inverse

Für quadratische Systeme möchte man nun die Eindeutigkeit entscheiden, ohne die ganze Elimination zu durchlaufen. Die Lektion über die Determinanten, ihre Eigenschaften und die cramersche Regel deutete die Determinante der Ordnung zwei als orientierten Flächeninhalt, definierte sie für jede Ordnung rekursiv, bewies durch Induktion nach der Ordnung ihre sechs Eigenschaften und benutzte sie, um sie durch Umformung zu berechnen. Wenn dem so ist, multipliziert jede elementare Umformung die Determinante mit einer von null verschiedenen Zahl, und daraus folgte, dass genau dann $\det A \neq 0$ gilt, wenn $\operatorname{rg}(A) = n$ . Der Determinantenmultiplikationssatz, $\det(AB) = \det A \det B$ , wurde dort in der Ordnung zwei durch direkte Rechnung bewiesen, und die cramersche Regel, in jeder Ordnung mit den Kofaktoren einer Spalte bewiesen, drückte jede Unbekannte als Quotienten von Determinanten aus.

Die Lektion über die inverse Matrix schloss dieses Thema ab. Sie bewies, dass die Inverse eindeutig ist, dass sie genau dann existiert, wenn die Determinante nicht null ist, und dass sie die durch die Determinante dividierte Adjunkte ist; dass die Inverse eines Produkts die Reihenfolge der Faktoren umkehrt; und dass jede elementare Umformung die Multiplikation mit einer Elementarmatrix ist, weshalb das Gauß-Jordan-Verfahren $\left( A, I \right)$ in $\left( I, A^{-1} \right)$ überführt, ohne Determinanten zu berechnen. All dies wurde in einem einzigen Äquivalenzsatz zusammengefasst, der die vier vorangehenden Lektionen verbindet; aus ihm wurde gefolgert, dass es genügt, eines der beiden Produkte der Definition zu prüfen, und mit den Elementarmatrizen wurde der Determinantenmultiplikationssatz für jede Ordnung bewiesen:

\exists A^{-1} \leftrightarrow \det A \neq 0 \leftrightarrow \operatorname{rg}(A) = n \leftrightarrow \left( AX = 0 \rightarrow X = 0 \right)

Die Geometrie der Matrizen

Die Lektion über Matrizen als Abbildungen der Ebene gab dieser Rechnung eine geometrische Bedeutung. Nach dem Satz über die Spalten sind die Matrizen der Ordnung zwei genau die linearen Abbildungen der Ebene, und jede ist durch die Bilder der beiden Standardbasisvektoren bestimmt; mit diesem Prinzip ergaben sich die Matrizen der Drehungen, der Projektionen, der Spiegelungen, der zentrischen Streckungen und der Scherungen. Abbildungen zu verketten erwies sich als Multiplizieren ihrer Matrizen, woraus $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ und $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ folgen; die Determinante erwies sich als der Faktor, mit dem die Flächeninhalte multipliziert werden, mit negativem Vorzeichen, wenn die Orientierung umgekehrt wird; und die Achsendrehung der Gleichung zweiten Grades wurde als Übergang von $M$ zu $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ geschrieben, mit Spur und Determinante als Invarianten.

Die Lektion über komplexe Zahlen als Matrizen wandte diese Deutung auf die Multiplikation mit einer komplexen Zahl an. Die Zuordnung $M(a + bi) = aI + bJ$ ist injektiv und erhält Addition und Multiplikation; unter ihr ist das Quadrat des Betrags die Determinante, die Konjugierte die Transponierte, das Inverse die inverse Matrix und die Polarform eine Drehung, gefolgt von einer zentrischen Streckung, $M(z) = r R_\theta$ . Daraus folgte, dass die Formeln von Euler und de Moivre die Regel für die Verkettung von Drehungen sind, dass die Matrizen der komplexen Zahlen genau die mit $J$ vertauschbaren sind und dass auch die hamiltonschen Quaternionen eine Darstellung durch Matrizen zulassen, deren Produkt nicht mehr kommutiert.

Die Strukturen

Schließlich isolierte die Lektion über algebraische Strukturen das Gemeinsame. Eine Gruppe ist eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung, mit neutralem Element und mit inversen Elementen; in jeder Gruppe sind das neutrale Element und die Inversen eindeutig, es gilt die Kürzungsregel und $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ , ohne die Kommutativität zu benutzen. Die zyklischen Untergruppen und die Nebenklassen führten zum Satz von Lagrange: Die Ordnung einer Untergruppe ist ein Teiler der Ordnung der Gruppe. Ringe im algebraischen Sinn und Körper fügten eine zweite Verknüpfung hinzu, und ausgehend vom Satz über die invertierbaren Reste aus der Lektion von Kurs I über die Kongruenzen wurde bewiesen, dass $\mathbb{Z}_n$ genau dann ein Körper ist, wenn $n$ eine Primzahl ist. Die Isomorphismen schließlich präzisierten die Vorstellung, dass zwei Systeme mit derselben Verknüpfungstafel dasselbe System sind.

Folglich bildet die Einheit eine Kette: Die Hintereinanderausführung motiviert das Produkt; das Produkt erlaubt, die Systeme als Gleichungen $AX = B$ zu schreiben; die Elimination löst sie, und der Rang klassifiziert sie; die Determinante entscheidet über die Eindeutigkeit, und die Inverse drückt sie aus; die Verkettung von Abbildungen verleiht dem Produkt wieder seinen geometrischen Sinn; die komplexen Zahlen erscheinen als eine Familie von Abbildungen, die unter Addition und Verkettung abgeschlossen ist; und der Gruppenbegriff zeigt, dass die Eindeutigkeit des Inversen einer Matrix, die des Inversen einer Zahl und die der Drehung, die eine andere rückgängig macht, ein einziger Satz sind. Die folgende Abbildung fasst die vier Abschnitte in einer einzigen Kette zusammen. Jeder Knoten der Säule ist eine Definition oder ein Satz, nach der logischen Ordnung nummeriert und durch einen Bogen mit den früheren Gliedern verbunden, die sein Beweis verwendet; ringsum schweben die Stützen, das heißt die Prinzipien und Werkzeuge, auf die die Kette immer wieder angewiesen ist, jede durch eine durchgezogene Linie mit den Gliedern verbunden, die sich auf sie stützen, und durch eine gepunktete mit dem Glied, in dem sie begründet wird, außer denen, die ohne Beweis vorausgesetzt werden oder aus früheren Einheiten oder aus Kurs I stammen und als Ringe gezeichnet sind. Ein Klick auf eine Stütze hebt alle Glieder hervor, die sie verwenden, und jedes Glied verweist auf die Lektion, in der es bewiesen wird.

Stützen der Kette

AInduktion. Wenn eine Eigenschaft im ersten Fall gilt und sich von jedem Fall auf den nächsten überträgt, gilt sie in allen; in Einheit 1 von Kurs I bewiesen, dient sie hier für die Doppelsummen, die Elimination, die Potenzen und die Drehungen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
BAssoziativität des Produkts. Es gilt $(AB)C = A(BC)$ , sofern die Produkte definiert sind, so dass sich ein Produkt mehrerer Matrizen beliebig klammern lässt, ohne die Reihenfolge der Faktoren zu ändern. Begründet in: 2. Eigenschaften des Produkts.
CSatz über die Spalten. Jede lineare Abbildung der Ebene ist die einer eindeutigen Matrix, deren Spalten die Bilder von $\vec{e}_1$ und von $\vec{e}_2$ sind. Begründet in: 16. Die Spalten der Matrix.
DAdditionstheoreme. Sinus und Kosinus einer Summe, einer Differenz und des doppelten Winkels, bewiesen in Einheit 2 über die analytische Trigonometrie. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
EVektoren der Ebene. Der Abstand eines Punktes von einer Geraden, die Orthogonalprojektion und das Parallelitätskriterium, bewiesen in Einheit 4 von Kurs I über die analytische Geometrie der Ebene. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
FFlächeninhalt des Parallelogramms. Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist das Produkt einer Grundseite mit der zugehörigen Höhe; er wird, wie in der elementaren Geometrie, im Beweis des Satzes über den orientierten Flächeninhalt vorausgesetzt. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
GReste und Kongruenzen. Die Division mit Rest, die Kongruenz modulo $n$ , ihre Verträglichkeit mit Addition und Multiplikation, die Restklassen und der Satz über die invertierbaren Reste, nach dem $a$ genau dann ein Inverses modulo $n$ hat, wenn $\operatorname{ggT}(a, n) = 1$ , bewiesen in Einheit 1 von Kurs I, in den Lektionen über die Teilbarkeit und über die Kongruenzen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.

Abschnitt 1 Die Algebra der Matrizen und die linearen Gleichungssysteme
- Das Matrizenprodukt aus der Hintereinanderausführung linearer Substitutionen definieren und jedes lineare Gleichungssystem als eine Gleichung $AX = B$ schreiben.
- Die Assoziativität, die Distributivität und die Neutralität der Einheitsmatrix beweisen und erkennen, dass das Produkt nicht kommutativ ist und Nullteiler zulässt.
- Beweisen, dass die Transponierte die Reihenfolge der Faktoren umkehrt und dass die Spur die Reihenfolge nicht unterscheidet.
- Beweisen, dass die reduzierte Zeilenstufenform eindeutig ist, und mit ihr den Rang definieren.
- Jedes lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Jordan-Verfahren lösen und es mit dem Satz von Kronecker-Capelli klassifizieren.
1. Matrizenprodukt. Der Eintrag $(i, j)$ von $AB$ ist die Summe der Produkte der Zeile $i$ von $A$ mit der Spalte $j$ von $B$ ; so ergibt sich die Tabelle der Hintereinanderausführung zweier linearer Substitutionen, und jedes lineare Gleichungssystem schreibt sich als $AX = B$ .
  Bewiesen in: Matrizen und Matrizenoperationen.
2. Eigenschaften des Produkts. Durch Vertauschen der Summationsreihenfolge ist das Matrizenprodukt assoziativ und distributiv bezüglich der Addition, und die Einheitsmatrizen sind sein neutrales Element; dagegen ist es nicht kommutativ und lässt Nullteiler und nilpotente Matrizen zu. Außerdem gelten $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ und $\operatorname{Spur}(AB) = \operatorname{Spur}(BA)$ , weshalb die Gleichung $AB - BA = I$ keine Lösung hat.
  Verwendet: 1. Matrizenprodukt. Stützt sich auf: A (Induktion). Bewiesen in: Matrizen und Matrizenoperationen.
3. Gauß-Jordan-Verfahren. Elementare Zeilenumformungen überführen ein System in ein äquivalentes, und jede Matrix lässt sich mit ihnen in endlich vielen Umformungen auf eine reduzierte Zeilenstufenform bringen.
  Verwendet: 1. Matrizenprodukt. Stützt sich auf: A (Induktion). Bewiesen in: Lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Jordan-Verfahren.
4. Eindeutigkeit der reduzierten Form. Zwei reduzierte Zeilenstufenformen, zu denen man von derselben Matrix aus gelangt, sind gleich, weil ihre homogenen Gleichungssysteme dieselben Lösungen haben; daher hängt der Rang, die Anzahl der von null verschiedenen Zeilen einer beliebigen Zeilenstufenform, nicht von den gewählten Umformungen ab.
  Verwendet: 3. Gauß-Jordan-Verfahren. Stützt sich auf: A (Induktion). Bewiesen in: Lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Jordan-Verfahren.
5. Kronecker-Capelli. Das System $AX = B$ mit der erweiterten Koeffizientenmatrix $M$ und $n$ Unbekannten ist genau dann lösbar, wenn $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(M)$ , und dann ist es eindeutig lösbar, wenn der Rang $n$ ist, und hängt von $n - r$ freien Parametern ab, wenn er $r < n$ ist; insbesondere hat $AX = 0$ genau dann nichttriviale Lösungen, wenn $\operatorname{rg}(A) < n$ .
  Verwendet: 3. Gauß-Jordan-Verfahren, 4. Eindeutigkeit der reduzierten Form. Bewiesen in: Lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Jordan-Verfahren.
Abschnitt 2 Die Determinante und die Inverse
- Die Determinante der Ordnung zwei als orientierten Flächeninhalt deuten und sie für jede Ordnung rekursiv definieren.
- Die Eigenschaften der Determinante durch Induktion nach der Ordnung beweisen, sie durch Umformung berechnen und mit ihr über die Eindeutigkeit der Lösungen entscheiden.
- Die invertierbaren Matrizen charakterisieren und die Inverse mit der Adjunkte und mit dem Gauß-Jordan-Verfahren berechnen.
- Die zur Invertierbarkeit äquivalenten Bedingungen in einem einzigen Satz zusammenfassen und aus ihm die einseitige Inverse und den Determinantenmultiplikationssatz folgern.
1. Orientierter Flächeninhalt. Der Betrag der Determinante der Matrix mit den Spalten $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ist der Flächeninhalt des von ihnen aufgespannten Parallelogramms, und ihr Vorzeichen gibt an, ob die Drehung von $\vec{u}$ nach $\vec{v}$ gegen den Uhrzeigersinn oder im Uhrzeigersinn verläuft.
  Stützt sich auf: E (Vektoren der Ebene), D (Additionstheoreme), F (Flächeninhalt des Parallelogramms). Bewiesen in: Determinanten: Eigenschaften und cramersche Regel.
2. Eigenschaften der Determinante. Durch Induktion nach der Ordnung, ausgehend von der Entwicklung nach der ersten Zeile, ist die Determinante linear in jeder Zeile, wechselt beim Vertauschen zweier Zeilen das Vorzeichen, verschwindet, wenn eine Zeile null ist oder zwei Zeilen gleich sind, ändert sich weder beim Addieren eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen noch beim Transponieren, ist bei einer Dreiecksmatrix das Produkt der Diagonale und lässt sich nach jeder Zeile oder Spalte entwickeln.
  Stützt sich auf: A (Induktion). Bewiesen in: Determinanten: Eigenschaften und cramersche Regel.
3. Determinante und Rang. Eine quadratische Matrix der Ordnung $n$ hat genau dann eine von null verschiedene Determinante, ist also regulär, wenn ihr Rang $n$ ist; daher hat $AX = 0$ genau dann von null verschiedene Lösungen, wenn $A$ singulär ist, das heißt, wenn $\det A = 0$ .
  Verwendet: 3. Gauß-Jordan-Verfahren, 4. Eindeutigkeit der reduzierten Form, 5. Kronecker-Capelli, 7. Eigenschaften der Determinante. Bewiesen in: Determinanten: Eigenschaften und cramersche Regel.
4. Cramersche Regel. Ist $D = \det A \neq 0$ , so hat das System $AX = B$ aus $n$ Gleichungen mit $n$ Unbekannten eine eindeutige Lösung, $x_k = \frac{D_k}{D}$ , wobei $D_k$ entsteht, indem man die Spalte $k$ durch die der konstanten Terme ersetzt; sie wird für jede Ordnung mit den Kofaktoren der Spalte $k$ bewiesen.
  Verwendet: 2. Eigenschaften des Produkts, 5. Kronecker-Capelli, 7. Eigenschaften der Determinante, 8. Determinante und Rang. Bewiesen in: Determinanten: Eigenschaften und cramersche Regel.
5. Eindeutigkeit der Inversen. Eine quadratische Matrix hat höchstens eine Inverse: Aus $AB = BA = I$ und $AD = DA = I$ folgt $B = D$ .
  Stützt sich auf: B (Assoziativität des Produkts). Bewiesen in: Die inverse Matrix.
6. Determinante und Invertierbarkeit. Eine quadratische Matrix $A$ ist genau dann invertierbar, wenn $\det A \neq 0$ , das heißt, wenn sie regulär ist, und dann ist ihre Inverse die durch die Determinante dividierte Adjunkte; die Notwendigkeit ergibt sich über den Rang, ohne die Determinante eines Produkts zu benutzen, und die Hinlänglichkeit über das Lemma von den fremden Kofaktoren.
  Verwendet: 5. Kronecker-Capelli, 7. Eigenschaften der Determinante, 8. Determinante und Rang. Stützt sich auf: B (Assoziativität des Produkts). Bewiesen in: Die inverse Matrix.
7. Eigenschaften der Inversen. Sind $A$ und $B$ invertierbar, so sind es auch $AB$ , $A^{\mathsf{T}}$ , $cA$ mit $c \neq 0$ und $A^m$ , und insbesondere gilt $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ .
  Verwendet: 2. Eigenschaften des Produkts, 10. Eindeutigkeit der Inversen. Stützt sich auf: B (Assoziativität des Produkts), A (Induktion). Bewiesen in: Die inverse Matrix.
8. Inverse mit Gauß-Jordan. Jede elementare Umformung ist die Multiplikation mit einer invertierbaren Elementarmatrix; ist die reduzierte Zeilenstufenform von $A$ gleich $I$ , so überführen die Umformungen $\left( A, I \right)$ in $\left( I, A^{-1} \right)$ , und $A$ ist ein Produkt von Elementarmatrizen; ist sie es nicht, so ist $A$ nicht invertierbar.
  Verwendet: 3. Gauß-Jordan-Verfahren, 4. Eindeutigkeit der reduzierten Form, 12. Eigenschaften der Inversen. Stützt sich auf: B (Assoziativität des Produkts). Bewiesen in: Die inverse Matrix.
9. Charakterisierungen und einseitige Inverse. Für eine quadratische Matrix $A$ der Ordnung $n$ sind äquivalent: dass sie invertierbar ist, dass $\det A \neq 0$ , dass jedes System $AX = D$ eine eindeutige Lösung hat, dass $AX = 0$ nur die triviale Lösung hat, dass $\operatorname{rg}(A) = n$ und dass ihre reduzierte Zeilenstufenform die Einheitsmatrix ist. Daraus folgt: Gilt $AB = I$ oder $BA = I$ , so ist $B = A^{-1}$ .
  Verwendet: 5. Kronecker-Capelli, 4. Eindeutigkeit der reduzierten Form, 11. Determinante und Invertierbarkeit, 13. Inverse mit Gauß-Jordan. Stützt sich auf: B (Assoziativität des Produkts). Bewiesen in: Die inverse Matrix.
10. Determinante des Produkts. Für alle quadratischen Matrizen $A$ und $B$ derselben Ordnung gilt $\det(AB) = \det A \det B$ : Man beweist es mit den Elementarmatrizen, wenn $A$ invertierbar ist, und über den Rang, wenn nicht.
  Verwendet: 7. Eigenschaften der Determinante, 8. Determinante und Rang, 13. Inverse mit Gauß-Jordan, 14. Charakterisierungen und einseitige Inverse. Stützt sich auf: A (Induktion). Bewiesen in: Die inverse Matrix.
Abschnitt 3 Die Geometrie der Matrizen
- Die Matrizen der Ordnung zwei mit den linearen Abbildungen der Ebene identifizieren und die Matrizen der Drehungen, der Projektionen und der Spiegelungen bestimmen.
- Die Verkettung von Abbildungen in das Matrizenprodukt übersetzen und die Determinante in den Flächenfaktor.
- Die Achsendrehung in Matrizenform schreiben, mit Spur und Determinante als Invarianten.
- Die komplexen Zahlen als Matrizen darstellen, mit Betrag, Konjugierter, Inversem und Polarform.
1. Die Spalten der Matrix. Jede Matrixabbildung ist linear, und jede lineare Abbildung der Ebene ist die einer eindeutigen Matrix, nämlich der mit den Spalten $T(\vec{e}_1)$ und $T(\vec{e}_2)$ .
  Verwendet: 2. Eigenschaften des Produkts. Bewiesen in: Matrizen als Abbildungen der Ebene.
2. Drehungen, Projektionen und Spiegelungen. Die Drehung um den Winkel $\theta$ um den Ursprung, die Projektion auf eine Gerade durch den Ursprung und die Spiegelung an ihr sind lineare Abbildungen mit den Matrizen $R_\theta$ , $P_\alpha$ und $S_\alpha$ .
  Stützt sich auf: C (Satz über die Spalten), D (Additionstheoreme), E (Vektoren der Ebene). Bewiesen in: Matrizen als Abbildungen der Ebene.
3. Verkettung und Produkt. Ist $T$ die Abbildung mit der Matrix $A$ und $U$ die mit der Matrix $B$ , so ist die Verkettung $T \circ U$ die Abbildung mit der Matrix $AB$ .
  Stützt sich auf: B (Assoziativität des Produkts), C (Satz über die Spalten). Bewiesen in: Matrizen als Abbildungen der Ebene.
4. Verkettung von Drehungen und Spiegelungen. Es gelten $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ , $R_\theta^{-1} = R_\theta^{\mathsf{T}}$ , $R_\theta^n = R_{n\theta}$ und $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ .
  Verwendet: 17. Drehungen, Projektionen und Spiegelungen, 18. Verkettung und Produkt. Stützt sich auf: D (Additionstheoreme), A (Induktion). Bewiesen in: Matrizen als Abbildungen der Ebene.
5. Determinante als Flächenfaktor. Die Abbildung mit der Matrix $A$ bildet das Einheitsquadrat auf das Parallelogramm ihrer Spalten ab und multipliziert die Flächeninhalte mit $\abs{\det A}$ , was für allgemeine Gebiete vorausgesetzt wird; sie erhält die Orientierung, wenn $\det A > 0$ , und kehrt sie um, wenn $\det A < 0$ .
  Verwendet: 6. Orientierter Flächeninhalt. Stützt sich auf: C (Satz über die Spalten). Bewiesen in: Matrizen als Abbildungen der Ebene.
6. Invertierbare Abbildungen. Die Abbildung mit der Matrix $A$ ist genau dann bijektiv, wenn $\det A \neq 0$ , und dann ist ihre Umkehrabbildung die mit der Matrix $A^{-1}$ ; ist $\det A = 0$ , so liegt ihr Bild in einer Geraden durch den Ursprung.
  Verwendet: 11. Determinante und Invertierbarkeit, 18. Verkettung und Produkt. Stützt sich auf: E (Vektoren der Ebene). Bewiesen in: Matrizen als Abbildungen der Ebene.
7. Achsendrehung in Matrizenform. Dreht man die Achsen um den Winkel $\theta$ , so geht die symmetrische Matrix $M$ einer quadratischen Form in $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ über, die dieselbe Spur und dieselbe Determinante wie $M$ hat.
  Verwendet: 2. Eigenschaften des Produkts, 7. Eigenschaften der Determinante, 15. Determinante des Produkts, 19. Verkettung von Drehungen und Spiegelungen. Bewiesen in: Matrizen als Abbildungen der Ebene.
8. Komplexe Zahlen als Matrizen. Die Zuordnung $M(a + bi) = aI + bJ$ ist injektiv und erhält Addition und Multiplikation, und $J$ , die Matrix von $i$ , ist die Vierteldrehung, deren Quadrat $-I$ ist.
  Verwendet: 1. Matrizenprodukt, 17. Drehungen, Projektionen und Spiegelungen. Bewiesen in: Komplexe Zahlen als Matrizen.
9. Betrag, Konjugierte und Inverses. Die Determinante von $M(z)$ ist $\abs{z}^2$ , die Matrix der Konjugierten ist die Transponierte von $M(z)$ , und für $z \neq 0$ ist die Matrix von $z^{-1}$ die Inverse von $M(z)$ .
  Verwendet: 10. Eindeutigkeit der Inversen, 20. Determinante als Flächenfaktor, 23. Komplexe Zahlen als Matrizen. Bewiesen in: Komplexe Zahlen als Matrizen.
10. Polarform und de Moivre. Ist $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , so ist $M(z) = r R_\theta$ , eine Drehung, gefolgt von einer zentrischen Streckung; und aus $R_\theta^n = R_{n\theta}$ folgt die Formel von de Moivre für jeden ganzzahligen Exponenten.
  Verwendet: 19. Verkettung von Drehungen und Spiegelungen, 23. Komplexe Zahlen als Matrizen, 24. Betrag, Konjugierte und Inverses. Stützt sich auf: A (Induktion). Bewiesen in: Komplexe Zahlen als Matrizen.
Abschnitt 4 Die Strukturen
- Gruppen definieren und ihre elementaren Eigenschaften beweisen, ohne die Kommutativität zu benutzen.
- Die zyklischen Untergruppen untersuchen und den Satz von Lagrange beweisen.
- Ringe im algebraischen Sinn und Körper definieren und entscheiden, wann die Reste $\mathbb{Z}_n$ einen Körper bilden.
- Mit den Isomorphismen präzisieren, wann zwei Gruppen dieselbe Struktur sind.
1. Eigenschaften der Gruppen. In jeder Gruppe sind das neutrale Element und das Inverse jedes Elements eindeutig, es gilt die Kürzungsregel auf jeder Seite und $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ , ohne die Kommutativität zu benutzen.
  Bewiesen in: Algebraische Strukturen: Gruppen, Ringe und Körper.
2. Zyklische Untergruppe. In einer endlichen Gruppe hat jedes Element $g$ eine Ordnung $k$ , es gilt $g^m = e$ genau dann, wenn $k$ ein Teiler von $m$ ist, und die Potenzen $e, g, \ldots, g^{k - 1}$ bilden eine Untergruppe mit $k$ Elementen.
  Verwendet: 26. Eigenschaften der Gruppen. Stützt sich auf: G (Reste und Kongruenzen). Bewiesen in: Algebraische Strukturen: Gruppen, Ringe und Körper.
3. Satz von Lagrange. Die Ordnung einer Untergruppe einer endlichen Gruppe ist ein Teiler der Ordnung der Gruppe, weil die Gruppe in disjunkte Nebenklassen mit ebenso vielen Elementen wie die Untergruppe zerfällt.
  Verwendet: 26. Eigenschaften der Gruppen. Bewiesen in: Algebraische Strukturen: Gruppen, Ringe und Körper.
4. Die Reste bilden einen Körper. Für $n \geq 2$ bilden die Reste $\mathbb{Z}_n$ einen Körper, wenn $n$ eine Primzahl ist, weil nach dem Satz über die invertierbaren Reste jeder von null verschiedene Rest ein Inverses hat; ist $n$ zusammengesetzt, so haben sie Nullteiler und bilden keinen.
  Stützt sich auf: G (Reste und Kongruenzen). Bewiesen in: Algebraische Strukturen: Gruppen, Ringe und Körper.
5. Was ein Isomorphismus erhält. Ein Isomorphismus von Gruppen bildet das neutrale Element auf das neutrale Element, das Inverse jedes Elements auf das Inverse seines Bildes und jedes Element auf eines derselben Ordnung ab, und er erhält die Kommutativität.
  Verwendet: 26. Eigenschaften der Gruppen, 27. Zyklische Untergruppe. Stützt sich auf: A (Induktion). Bewiesen in: Algebraische Strukturen: Gruppen, Ringe und Körper.

Hin zur Geometrie des Raumes. Die Kette endet hier nicht: In der folgenden Einheit liefert die Determinante der Ordnung drei das Vektorprodukt, das Spatprodukt und das Volumen eines Parallelepipeds, und der Rang und die inverse Matrix entscheiden über die Schnitte von Geraden und Ebenen und berechnen sie, so dass die Algebra dieser Einheit zum Werkzeug der Geometrie des Raumes wird.