Analytische Geometrie des Raumes: Einführung

Zusammenfassung

Diese Lektion eröffnet die fünfte und letzte Einheit des Kurses, die der analytischen Geometrie des Raumes gewidmet ist. Sie stellt die vier Lektionen vor, aus denen sie besteht, und den Faden, der sie verbindet: Die Vektoren der Ebene, die in Kurs I untersucht wurden, werden zu Tripeln von Zahlen mit einem Skalarprodukt, das Längen und Winkel misst; die Determinante der Ordnung drei aus der vorigen Einheit liefert ein neues Produkt, das Vektorprodukt, und mit ihm das Spatprodukt, das Flächen und Volumina misst; Geraden und Ebenen werden durch lineare Gleichungen beschrieben, und ihre Lagebeziehungen werden mit dem Rang und dem Satz von Kronecker-Capelli (im spanischsprachigen Raum Satz von Rouché-Frobenius genannt) entschieden; und all das wird zusammengeführt, um Abstände und Winkel zwischen Punkten, Geraden und Ebenen zu messen. Sie zeichnet den historischen Hintergrund dieser Ideen nach, von den Koordinaten von Descartes und Fermat, die im 17. Jahrhundert die Ebene kaum verließen, bis zur Vektorrechnung von Gibbs und Heaviside und zur Kristallographie; sie formuliert präzise, anhand zweier Tunnel eines U-Bahn-Netzes, das Problem, aus dem sie entstanden, nämlich zu entscheiden, ob sich zwei Geraden des Raumes schneiden, und zu messen, wie weit sie voneinander entfernt sind, wenn sie es nicht tun; und sie zeigt, wo sie in diesem Kurs, in anderen Kursen der Website und in Wissenschaft und Technik erneut verwendet werden.

Lernziele

Die Abfolge der Lektionen der Einheit beschreiben und erklären, welches Werkzeug jede beisteuert und welche sie aus der Einheit über die Matrizen und aus der ebenen Geometrie von Kurs I übernimmt.
Die Koordinaten des Raumes, das Skalarprodukt, das Vektorprodukt und die Vektorrechnung in ihren historischen Zusammenhang einordnen und dabei das Problem nennen, das jede Idee lösen sollte.
Die Frage, ob sich zwei Geraden des Raumes schneiden, als lineares Gleichungssystem formulieren, sie mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix entscheiden und den kürzesten Abstand zweier windschiefer Geraden berechnen.
Anwendungen der analytischen Geometrie des Raumes in der Physik, der Computergrafik, der Robotik, der Geodäsie, der Satellitenortung und der Chemie erkennen.

Eingangstest

Bevor man die Einheit durcharbeitet, empfiehlt es sich, den Ausgangspunkt zu messen. Die ersten acht Fragen betreffen, je zwei, die vier Lektionen der Einheit, und die neunte ist ein Modellierungsproblem, das verlangt, eine Situation aus einem Sachzusammenhang mit dem Abstand eines Punktes von einer Geraden aufzustellen; dieselben Fertigkeiten werden am Ende in der Lektion zur Synthese erneut gemessen. Die letzten drei prüfen, was die Einheit aus der Einheit über die Matrizen und aus Kurs I als bekannt voraussetzt. Es gibt keine Benotung: Es geht darum, zu erkennen, was man beherrscht und wo man verweilen sollte.