Zum Inhalt springen
Topos Uranos
Deutsch

Vektoren im Raum und Skalarprodukt

Zusammenfassung

Diese Lektion überträgt die Vektoren, die die Lektion über Vektoren in der Ebene mit zwei Koordinaten untersucht hat, in den dreidimensionalen Raum. Sie legt ein System aus drei zueinander senkrechten Achsen mit positiver Orientierung fest, nennt die Tatsachen der euklidischen Geometrie des Raumes, die vorausgesetzt werden, und gewinnt durch zweimalige Anwendung des Satzes des Pythagoras den Abstand zweier Punkte. Sie definiert Vektoren als Tripel reeller Zahlen, mit ihrer Summe, ihrem Vielfachen, der Standardbasis und der Eindeutigkeit der Koordinaten; sie definiert die Norm und das Skalarprodukt, beweist deren Eigenschaften, die Cauchy-Schwarz-Ungleichung über die Diskriminante und die Dreiecksungleichung, und definiert mit ihnen den Winkel zwischen zwei Vektoren, der mit dem der elementaren Geometrie übereinstimmt. Danach untersucht sie die Orthogonalität, die Orthogonalprojektion, die Richtungskosinus und die Schreibweise des Skalarprodukts als Produkt einer Zeile mit einer Spalte, aus der folgt, dass Matrizen, deren Spalten zueinander senkrechte Einheitsvektoren sind, Längen und Winkel erhalten. Die Anwendungen sind die Arbeit einer Kraft, der Kosinussatz im Raum und der Winkel des Methanmoleküls; die Aufgaben behandeln die Diagonalen des Würfels und des Parallelepipeds, die Vektoren, die auf zwei gegebenen senkrecht stehen, die Zugkräfte in drei Seilen und die Tetraeder mit zueinander senkrechten Gegenkanten.

Lernziele

  1. Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem des Raumes einzeichnen, ihren Oktanten erkennen und Abstände berechnen, wobei die Formel mit dem Satz des Pythagoras begründet wird.
  2. Mit Vektoren des Raumes rechnen, sie in der Standardbasis darstellen und mit ihnen Eigenschaften von Parallelogrammen, Parallelepipeden und Tetraedern beweisen.
  3. Normen, Skalarprodukte, Winkel, Orthogonalprojektionen und Richtungskosinus berechnen und die Cauchy-Schwarz-Ungleichung und die Dreiecksungleichung im Raum beweisen.
  4. Das Skalarprodukt als Produkt von Matrizen schreiben und damit entscheiden, ob eine Matrix Längen und Winkel erhält.
  5. Mit dem Skalarprodukt die Arbeit einer Kraft, das Gleichgewicht von Kräften mit gemeinsamem Angriffspunkt und die Winkel eines Moleküls modellieren.

Das Koordinatensystem des Raumes

In der Lektion des Kurses Algebra und Geometrie I über Vektoren in der Ebene wurde jeder Punkt der Ebene mit einem Zahlenpaar und jede Verschiebung mit einem anderen Paar identifiziert, und die Geometrie der Geraden, Winkel und Abstände wurde in Rechnungen mit diesen Paaren übersetzt. Die physikalische Welt hat jedoch drei Dimensionen: Die Position eines Flugzeugs, die eines Atoms in einem Molekül oder die einer von der Decke hängenden Lampe verlangt drei Zahlen. Wenn dem so ist, empfiehlt es sich, die Konstruktion mit Tripeln zu wiederholen. Das meiste, was in der Ebene bewiesen wurde, überträgt sich unverändert, weil die Beweise komponentenweise vorgingen oder nur die algebraischen Eigenschaften des Skalarprodukts benutzten; in diesen Fällen verweist diese Lektion auf die über die Ebene. Sorgfalt verlangt die Geometrie: Im Raum steht keine ebene Figur zur Verfügung, die alles enthält, und der Winkel zwischen zwei Vektoren etwa muss definiert werden, bevor man ihn berechnet.

Die vorausgesetzten Tatsachen der euklidischen Geometrie des Raumes

Die analytische Geometrie des Raumes übersetzt die Geometrie der Körper, die Euklid in den Büchern XI bis XIII der Elemente dargelegt hat. Ihr axiomatischer Aufbau übersteigt diesen Kurs, wie schon der der Ebene in der Lektion über die Geradengleichung, wo die vorausgesetzten Tatsachen der ebenen Geometrie in einer Liste zusammengestellt wurden. Ebenso werden die Tatsachen über den Raum, die diese Einheit benutzt, ohne Beweis vorausgesetzt und in der folgenden Liste zusammengestellt; jedes Mal, wenn eine Lektion der Einheit eine von ihnen benutzt, verweist sie auf diese Liste.

  1. Ebenen. Durch drei nicht kollineare Punkte geht genau eine Ebene, und wenn zwei Punkte einer Geraden in einer Ebene liegen, liegt die ganze Gerade in ihr. In jeder Ebene des Raumes gelten die Tatsachen der ebenen Geometrie, die in der Lektion über die Geradengleichung vorausgesetzt wurden; insbesondere der Satz des Pythagoras und seine Umkehrung sowie die Freiheit, in ihr ein Achsensystem zu wählen.
  2. Zueinander senkrechte Geraden und Ebenen. Durch jeden Punkt geht genau eine Ebene, die zu einer gegebenen Geraden senkrecht ist, und diese Ebene schneidet die Gerade in genau einem Punkt. Eine zu einer Ebene senkrechte Gerade ist senkrecht zu allen Geraden der Ebene, die durch den Punkt gehen, in dem sie die Ebene schneidet.
  3. Achsen. Drei Geraden, die durch einen Punkt OO gehen und paarweise zueinander senkrecht sind, mit einer positiven Orientierung auf jeder von ihnen und demselben Längenmaßstab, bilden ein Achsensystem. Abstände, Winkel und Figuren hängen nicht von dieser Wahl ab.
  4. Koordinaten. Ist ein Achsensystem festgelegt, so schneiden die durch einen Punkt PP gelegten, zu den drei Achsen senkrechten Ebenen diese in den Punkten mit den Abszissen xx, yy und zz, und umgekehrt schneiden sich diese drei Ebenen zu jedem Zahlentripel in genau einem Punkt. Die Punkte, deren dritte Koordinate gleich cc ist, bilden eine zur zz-Achse senkrechte Ebene, in der die beiden ersten Koordinaten kartesische Koordinaten der Ebene mit demselben Maßstab sind; die Punkte mit festen ersten Koordinaten bilden eine zur zz-Achse parallele, zu jener Ebene senkrechte Gerade, auf der die dritte Koordinate die Lage mit demselben Maßstab misst. Dasselbe gilt mit vertauschten Achsen.

Die vierte Tatsache ist eine Folgerung aus den drei ersten, die die Geometrie der Körper mit den Eigenschaften paralleler Geraden und paralleler Ebenen beweist; sie wird gesondert formuliert, weil sie in dieser Form benutzt wird.

Ein kartesisches Koordinatensystem des Raumes ist ein Achsensystem, dessen Achsen xx-Achse, yy-Achse und zz-Achse heißen und sich im Ursprung OO schneiden. Jeder Punkt PP wird mit dem Tripel seiner Koordinaten identifiziert, P=(x,y,z)P = (x, y, z), die Abszisse, Ordinate und Applikate heißen. Die drei Koordinatenebenen sind die xyxy-Ebene mit der Gleichung z=0z = 0, die yzyz-Ebene mit der Gleichung x=0x = 0 und die xzxz-Ebene mit der Gleichung y=0y = 0.

Die Koordinatenebenen zerlegen den Raum nach dem Vorzeichen jeder Koordinate in acht Gebiete, die Oktanten; der erste Oktant ist der der Punkte mit drei positiven Koordinaten, und die übrigen werden nach dem Tripel ihrer Vorzeichen benannt, zum Beispiel der Oktant (+,−,+)(+, -, +). In der Ebene lassen sich zwei zueinander senkrechte Achsen auf zwei wesentlich verschiedene Arten anordnen: Die zweite Achse entsteht aus der ersten durch eine Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn oder im Uhrzeigersinn. Im Raum geschieht dasselbe mit den drei Achsen, und die Unterscheidung hat einen Namen.

Ein Koordinatensystem des Raumes hat positive Orientierung, wenn, von der positiven Seite der zz-Achse aus gesehen, die Vierteldrehung, die die positive xx-Halbachse in die positive yy-Halbachse überführt, gegen den Uhrzeigersinn erscheint. Gleichwertig gilt die Rechte-Hand-Regel: Krümmt man die Finger der rechten Hand von der positiven xx-Halbachse zur positiven yy-Halbachse, so zeigt der Daumen auf die positive zz-Halbachse.

Kehrt man die Orientierung einer der Achsen um, so ändert sich die Orientierung des Systems; kehrt man zwei um, so bleibt sie erhalten. Vertauscht man die Achsen zyklisch, von xx, yy, zz zu yy, zz, xx, so ändert sich die Orientierung ebenfalls nicht, sodass in einem positiven System, von der positiven xx-Halbachse aus gesehen, auch die Drehung von yy nach zz gegen den Uhrzeigersinn verläuft. Im Folgenden haben alle Systeme positive Orientierung. Die Figuren zeichnen sie in Kavalierperspektive: die yy-Achse nach rechts, die zz-Achse nach oben und die xx-Achse zum Betrachter hin, schräg gezeichnet und mit auf die Hälfte verkürzten Längen. Die Orientierung spielt in dieser Lektion keine Rolle; wesentlich wird sie in der nächsten, über das Vektorprodukt und das Spatprodukt.

BeispielEinen Punkt im Raum einzeichnen

Den Punkt P=(3,4,2)P = (3, 4, 2) entlang den Achsen einzeichnen, seinen Oktanten angeben und den Punkt P1=(3,4,−2)P_1 = (3, 4, -2) einzeichnen.

Beweis

  1. O=(0,0,0)O = \left( 0, 0, 0 \right)

    Wir zeichnen die drei Achsen mit positiver Orientierung: Von oben gesehen verläuft die Vierteldrehung von der positiven xx-Halbachse zur positiven yy-Halbachse gegen den Uhrzeigersinn.

  2. A=(3,0,0)A = \left( \resaltar{3}, 0, 0 \right)

    Wir gehen eine Strecke der Länge 33 auf der xx-Achse.

  3. B=(3,4,0)B = \left( 3, \resaltar{4}, 0 \right)

    Von AA aus gehen wir eine Strecke der Länge 44 in Richtung der yy-Achse, ohne die xyxy-Ebene zu verlassen.

  4. P=(3,4,2)P = \left( 3, 4, \resaltar{2} \right)

    Von BB aus steigen wir eine Strecke der Länge 22 in Richtung der zz-Achse. Die drei Koordinaten sind positiv: PP liegt im ersten Oktanten und ist die OO gegenüberliegende Ecke des Quaders mit den Kanten 33, 44 und 22.

  5. P1=(3,4,−2)P_1 = \left( 3, 4, \resaltar{-2} \right)

    Steigt man von BB aus eine Strecke der Länge 22 hinab, so gelangt man zu P1P_1, im Oktanten (+,+,−)(+, +, -). Die xyxy-Ebene schneidet die Strecke PP1P P_1 senkrecht in ihrem Mittelpunkt BB: P1P_1 ist der Spiegelpunkt von PP an dieser Ebene.

Der Abstand zweier Punkte

In der Ebene ergab sich der Abstand zweier Punkte durch einmalige Anwendung des Satzes des Pythagoras auf ein Dreieck mit achsenparallelen Katheten. Im Raum muss man ihn zweimal anwenden: zuerst in einer waagerechten und dann in einer vertikalen Ebene.

SatzAbstand zweier Punkte

Der Abstand der Punkte P=(x1,y1,z1)P = (x_1, y_1, z_1) und Q=(x2,y2,z2)Q = (x_2, y_2, z_2) ist durch die folgende Formel gegeben.

d⁡(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}

Man führt einen Hilfspunkt RR ein, auf der Höhe von PP und vertikal über oder unter QQ. Die Abbildung verwendet P=(1,2,1)P = (1, 2, 1) und Q=(3,5,7)Q = (3, 5, 7).

Beweis

  1. R=(x2,y2,z1)R = \left( x_2, y_2, \resaltar{z_1} \right)

    Sei RR der Punkt mit den beiden ersten Koordinaten von QQ und der Applikate von PP. Die Punkte PP und RR liegen in der Ebene mit der Applikate z1z_1, und RR und QQ auf der zur zz-Achse parallelen Geraden aus den Punkten mit den ersten Koordinaten x2x_2 und y2y_2.

  2. d⁡(P,R)2=(x2−x1)2+(y2−y1)2{\operatorname{d}(P, R)}^2 = \dato{pr}{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2}

    Nach der Tatsache über die Koordinaten sind in der Ebene mit der Applikate z1z_1 die beiden ersten Koordinaten kartesisch, und die Abstandsformel der Ebene aus der Lektion über die Geradengleichung liefert die Länge von PRPR. In der Abbildung 4+9=134 + 9 = 13.

  3. d⁡(R,Q)=∣z2−z1∣\operatorname{d}(R, Q) = \dato{rq}{\abs{z_2 - z_1}}

    Auf der vertikalen Geraden, die RR und QQ enthält, misst die Applikate die Lage: Die Länge von RQRQ ist der Betrag der Differenz der Applikaten. In der Abbildung 7−1=67 - 1 = 6.

  4. d⁡(P,Q)2=d⁡(P,R)2+d⁡(R,Q)2{\operatorname{d}(P, Q)}^2 = \resaltar{{\operatorname{d}(P, R)}^2} + \resaltar{{\operatorname{d}(R, Q)}^2}

    Die Gerade RQRQ ist senkrecht zur Ebene mit der Applikate z1z_1 und, nach der zweiten vorausgesetzten Tatsache, zur Geraden PRPR, die in dieser Ebene liegt und durch RR geht. Das Dreieck PRQPRQ ist rechtwinklig mit dem rechten Winkel bei RR, und nach der ersten Tatsache gilt der Satz des Pythagoras in der Ebene, die es enthält.

  5. d⁡(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2,13+36=7\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\resaltar{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2} + \resaltar{\left( z_2 - z_1 \right)^2}}, \qquad \sqrt{13 + 36} = 7

    Wir setzen ein und ziehen die Quadratwurzel. Ist P=RP = R oder R=QR = Q, so gibt es kein Dreieck, aber die Formel reduziert sich auf die eines einzigen der beiden Abstände und bleibt richtig. In der Abbildung ist der Abstand 77.

Insbesondere ist der Abstand von P=(x,y,z)P = (x, y, z) zum Ursprung x2+y2+z2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, die Länge der Diagonale des Quaders mit den Kanten ∣x∣\abs{x}, ∣y∣\abs{y} und ∣z∣\abs{z}. Zum Beispiel misst die Diagonale eines Würfels mit der Kante aa genau a2+a2+a2=a3\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a \sqrt{3}.