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Topos Uranos
Deutsch

Vektorprodukt und Spatprodukt

Zusammenfassung

Diese Lektion definiert das Vektorprodukt zweier Vektoren des Raumes durch ihre Koordinaten, als formale Determinante mit den Vektoren i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} und k⃗\vec{k}, und beweist mit den Eigenschaften der Determinanten, dass es antikommutativ und bilinear, aber nicht assoziativ ist. Sie beweist, dass das Vektorprodukt auf seinen beiden Faktoren senkrecht steht, die Lagrange-Identität und daraus, dass seine Norm der Flächeninhalt des von den Faktoren aufgespannten Parallelogramms ist und dass es genau dann verschwindet, wenn diese parallel sind. Sie stellt die Formel für das doppelte Vektorprodukt und die Jacobi-Identität auf, definiert das Spatprodukt als Determinante der Ordnung drei, beweist seine zyklische Eigenschaft und deutet es als Volumen eines Parallelepipeds und eines Tetraeders, mit dem Komplanaritätskriterium und der Darstellung des Volumens durch die Skalarprodukte. Sie legt genau dar, was an der Rechte-Hand-Regel bewiesen wird und was Konvention ist, zeigt, dass das Vektorprodukt der Vektorteil des Produkts zweier reiner Quaternionen ist, und wendet es auf das Drehmoment einer Kraft, auf die magnetische Kraft auf eine bewegte Ladung, auf den Flächeninhalt eines Dreiecks im Raum und auf die Normalen der Computergrafik an.

Lernziele

  1. Vektorprodukte und Spatprodukte aus Koordinaten und mithilfe von Determinanten berechnen und mit ihnen unter Verwendung der Antikommutativität, der Bilinearität, der zyklischen Eigenschaft und der Formel für das doppelte Vektorprodukt rechnen.
  2. Die Orthogonalität des Vektorprodukts zu seinen Faktoren, die Lagrange-Identität, das Kriterium für Parallelität, die Formel für das doppelte Vektorprodukt und das Komplanaritätskriterium beweisen.
  3. Flächeninhalte von Parallelogrammen und von Dreiecken im Raum sowie Volumina von Parallelepipeden und von Tetraedern berechnen und entscheiden, ob vier Punkte komplanar sind.
  4. An der Rechte-Hand-Regel unterscheiden, was bewiesen und was vereinbart wird, und mit dem Vektorprodukt das Drehmoment einer Kraft, die magnetische Kraft und die Orientierung von Flächen in der Computergrafik modellieren.

Das Vektorprodukt

In der Lektion über Vektoren im Raum und das Skalarprodukt wurden die Vektoren des R3\mathbb{R}^3 als Tripel u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right) geschrieben, und das Skalarprodukt u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 erlaubte es, Längen und Winkel zu messen, über Orthogonalität zu entscheiden und einen Vektor auf einen anderen zu projizieren. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl. Viele Probleme des Raumes verlangen jedoch einen Vektor: die Richtung senkrecht zu einer ebenen Fläche, die Achse, um die eine Kraft einen Körper dreht, die Richtung, in die ein Magnetfeld eine Ladung ablenkt. In der Ebene hat jede Richtung eine einzige Senkrechte; im Raum füllen die Senkrechten zu einer Richtung eine ganze Ebene, und man braucht zwei nicht parallele Richtungen, um eine gemeinsame Senkrechte festzulegen. Wenn dem so ist, lautet die natürliche Frage: Gegeben zwei Vektoren u⃗\vec{u} und v⃗\vec{v}, welcher Vektor x⃗=(x1,x2,x3)\vec{x} = \left( x_1, x_2, x_3 \right) erfüllt u⃗⋅x⃗=0\vec{u} \cdot \vec{x} = 0 und v⃗⋅x⃗=0\vec{v} \cdot \vec{x} = 0?

Das sind zwei lineare Gleichungen mit drei Unbekannten. Multipliziert man die erste, u1x1+u2x2+u3x3=0u_1 x_1 + u_2 x_2 + u_3 x_3 = 0, mit v1v_1, die zweite mit u1u_1, und subtrahiert sie, so fällt x1x_1 weg, und es bleibt (u2v1−u1v2)x2+(u3v1−u1v3)x3=0\left( u_2 v_1 - u_1 v_2 \right) x_2 + \left( u_3 v_1 - u_1 v_3 \right) x_3 = 0, was mit x2=u3v1−u1v3x_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3 und x3=u1v2−u2v1x_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1 erfüllt ist; überlegt man ebenso mit den anderen Unbekannten, so erscheint x1=u2v3−u3v2x_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2. Die drei Ausdrücke sind Determinanten der Ordnung zwei, gebildet aus den Komponenten von u⃗\vec{u} und von v⃗\vec{v}, wie die der Lektion über die Determinanten. Diese Suche legt die Definition nahe; unter der Überschrift „Die Geometrie des Vektorprodukts“ wird bewiesen, dass der so gebildete Vektor tatsächlich auf beiden Faktoren senkrecht steht.

Es seien u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right) und v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) Vektoren des R3\mathbb{R}^3. Ihr Vektorprodukt, oder Kreuzprodukt, ist der Vektor u⃗×v⃗=(u2v3−u3v2,u3v1−u1v3,u1v2−u2v1)\vec{u} \times \vec{v} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1 \right).

Die Definition hat eine Regelmäßigkeit, die man sich merken sollte. Jede Komponente ergibt sich aus der vorhergehenden durch zyklisches Verschieben der Indizes, 1→2→3→11 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1: Die erste ist u2v3−u3v2u_2 v_3 - u_3 v_2; addiert man 11 zu jedem Index, wobei 3+13 + 1 als 11 zählt, so erhält man u3v1−u1v3u_3 v_1 - u_1 v_3, die zweite, und bei Wiederholung die dritte. Um sie auswendig zu schreiben, verwendet man die Vektoren der Standardbasis, i⃗=(1,0,0)\vec{i} = \left( 1, 0, 0 \right), j⃗=(0,1,0)\vec{j} = \left( 0, 1, 0 \right) und k⃗=(0,0,1)\vec{k} = \left( 0, 0, 1 \right), mit denen sich jeder Vektor als u⃗=u1i⃗+u2j⃗+u3k⃗\vec{u} = u_1 \vec{i} + u_2 \vec{j} + u_3 \vec{k} schreibt, und eine formale Determinante: ein Schema der Ordnung drei, dessen erste Zeile die Vektoren i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} und k⃗\vec{k} enthält und das man wie in der Lektion über die Determinanten nach dieser Zeile entwickelt.

u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗u1u2u3v1v2v3∣=∣u2u3v2v3∣i⃗−∣u1u3v1v3∣j⃗+∣u1u2v1v2∣k⃗\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \vec{k}

Die Determinante ist formal, weil ihre Einträge nicht alle Zahlen sind, und man wendet auf sie keine Eigenschaft der Determinanten an: Sie fasst nur die Formel der Entwicklung nach der ersten Zeile zusammen. Das Minuszeichen des zweiten Terms liefert die zweite Komponente, denn −(u1v3−u3v1)=u3v1−u1v3-\left( u_1 v_3 - u_3 v_1 \right) = u_3 v_1 - u_1 v_3. Dagegen ist jede Komponente eine echte Determinante der Ordnung zwei, gebildet aus zwei Spalten der Matrix mit den Zeilen u⃗\vec{u} und v⃗\vec{v}; die algebraischen Eigenschaften, die gleich anschließend bewiesen werden, beruhen auf dieser Beobachtung.

BeispielEin Vektorprodukt und die Produkte der Standardbasis

Man berechne u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} für u⃗=(2,1,0)\vec{u} = \left( 2, 1, 0 \right) und v⃗=(0,2,1)\vec{v} = \left( 0, 2, 1 \right) sowie die Produkte der Vektoren der Standardbasis untereinander.

Beweis

  1. ∣u2u3v2v3∣=∣1021∣=1⋅1−0⋅2=1\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{1 \cdot 1 - 0 \cdot 2} = \dato{c1}{1}

    Erste Komponente: Wir streichen die Spalte der ersten Komponenten und berechnen die verbleibende Determinante der Ordnung zwei.

  2. −∣u1u3v1v3∣=−∣2001∣=−(2−0)=−2-\begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-\left( 2 - 0 \right)} = \dato{c2}{-2}

    Zweite Komponente: Wir streichen die mittlere Spalte und ändern das Vorzeichen der Determinante.

  3. ∣u1u2v1v2∣=∣2102∣=4−0=4\begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{4 - 0} = \dato{c3}{4}

    Dritte Komponente: Wir streichen die letzte Spalte.

  4. u⃗×v⃗=(1,−2,4)\vec{u} \times \vec{v} = \resaltar{\left( 1, -2, 4 \right)}

    Wir fassen die drei Komponenten zusammen. Die Abbildung zeigt die drei Vektoren mit gemeinsamem Ursprung; u⃗\vec{u} liegt in der waagerechten Ebene, und u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} zeigt nach oben.

  5. i⃗×j⃗=k⃗,j⃗×k⃗=i⃗,k⃗×i⃗=j⃗,j⃗×i⃗=−k⃗\vec{i} \times \vec{j} = \resaltar{\vec{k}}, \quad \vec{j} \times \vec{k} = \resaltar{\vec{i}}, \quad \vec{k} \times \vec{i} = \resaltar{\vec{j}}, \qquad \vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}

    Nach der Definition ist i⃗×j⃗=(0⋅0−0⋅1,0⋅0−1⋅0,1⋅1−0⋅0)=(0,0,1)\vec{i} \times \vec{j} = \left( 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \right) = \left( 0, 0, 1 \right), und ebenso bei den anderen Paaren. Jeder Basisvektor, multipliziert mit dem ihm in der zyklischen Reihenfolge i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j}, k⃗\vec{k} nachfolgenden, ergibt den dritten; in umgekehrter Reihenfolge dessen Gegenvektor.

Die algebraischen Eigenschaften

Die Eigenschaften des Vektorprodukts lassen sich an seinen Komponenten ablesen. Wir nennen D1D_1, D2D_2 und D3D_3 die drei Determinanten der Ordnung zwei, die sie bilden, mit den Spalten in zyklischer Reihenfolge: D1D_1 verwendet die zweite und die dritte Spalte der Matrix mit den Zeilen u⃗\vec{u} und v⃗\vec{v}; D2D_2 die dritte und die erste, in dieser Reihenfolge; und D3D_3 die erste und die zweite.

u⃗×v⃗=(∣u2u3v2v3∣,∣u3u1v3v1∣,∣u1u2v1v2∣)\vec{u} \times \vec{v} = \left( \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_3 & u_1 \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \right)
SatzAlgebraische Eigenschaften des Vektorprodukts

Für alle Vektoren u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} und w⃗\vec{w} des R3\mathbb{R}^3 und alle reellen Zahlen ss und tt gilt: Das Vektorprodukt ist antikommutativ, v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}; es ist bilinear, das heißt linear in jedem Faktor, (su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v} und v⃗×(su⃗+tw⃗)=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}; und es gilt u⃗×u⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}.

Die drei Eigenschaften lassen sich auf die der Determinanten der Ordnung zwei reduzieren, angewandt auf jede der drei Komponenten: das Lemma über die Vertauschung zweier Zeilen und das Lemma über die Linearität in jeder Zeile, die in der Lektion über die Determinanten für jede Ordnung bewiesen wurden. Die Abbildung folgt dem Beispiel „Ein Vektorprodukt und die Produkte der Standardbasis“.

Beweis

  1. (u⃗×v⃗)1=∣u2u3v2v3∣,(u⃗×v⃗)2=∣u3u1v3v1∣,(u⃗×v⃗)3=∣u1u2v1v2∣\left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_2 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_3} & \resaltar{u_1} \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_3 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_1} & \resaltar{u_2} \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}

    Jede Komponente DmD_m ist die Determinante einer Matrix der Ordnung zwei, deren erste Zeile aus u⃗\vec{u} und deren zweite Zeile aus v⃗\vec{v} stammt, mit denselben zwei Spalten.

  2. (v⃗×u⃗)1=∣v2v3u2u3∣=−∣u2u3v2v3∣→v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\left( \vec{v} \times \vec{u} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{v_2} & \resaltar{v_3} \\ \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{a}{\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}}

    Vertauscht man u⃗\vec{u} und v⃗\vec{v}, so vertauschen sich die beiden Zeilen jeder Determinante, und nach dem Vertauschungslemma ändert jede Komponente ihr Vorzeichen. In der Abbildung zeigt v⃗×u⃗=(−1,2,−4)\vec{v} \times \vec{u} = \left( -1, 2, -4 \right) nach unten.

  3. ∣su2+tw2su3+tw3v2v3∣=s∣u2u3v2v3∣+t∣w2w3v2v3∣→(su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\begin{vmatrix} \resaltar{s u_2 + t w_2} & \resaltar{s u_3 + t w_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = s \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} + t \begin{vmatrix} w_2 & w_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{l}{\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v}}

    Ist der erste Faktor su⃗+tw⃗s \vec{u} + t \vec{w}, so ist die erste Zeile jeder Determinante das ss-Fache der aus u⃗\vec{u} genommenen Zeile plus das tt-Fache der aus w⃗\vec{w} genommenen. Nach dem Linearitätslemma zerlegt sich jede Komponente auf dieselbe Weise.

  4. v⃗×(su⃗+tw⃗)=−(su⃗+tw⃗)×v⃗=−s u⃗×v⃗−t w⃗×v⃗=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = \resaltar{-\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v}} = -s \, \vec{u} \times \vec{v} - t \, \vec{w} \times \vec{v} = \resaltar{s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}}

    Die Linearität im zweiten Faktor folgt aus den beiden soeben bewiesenen Eigenschaften: Wir vertauschen die Reihenfolge, wenden die Linearität im ersten Faktor an und vertauschen die Reihenfolge erneut.

  5. u⃗×u⃗=(u2u3−u3u2,u3u1−u1u3,u1u2−u2u1)=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \left( \resaltar{u_2 u_3 - u_3 u_2}, \resaltar{u_3 u_1 - u_1 u_3}, \resaltar{u_1 u_2 - u_2 u_1} \right) = \vec{0}

    Stimmen die beiden Faktoren überein, so hat jede Determinante zwei gleiche Zeilen und ist null. Insbesondere gilt i⃗×i⃗=j⃗×j⃗=k⃗×k⃗=0⃗\vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = \vec{0}.

Dank der Bilinearität lässt sich das Vektorprodukt auch durch Ausmultiplizieren berechnen, wie ein Produkt von Summen, unter Verwendung der Produkte der Standardbasis. Zum Beispiel ist (i⃗+2j⃗)×(3k⃗)=3 i⃗×k⃗+6 j⃗×k⃗=−3j⃗+6i⃗\left( \vec{i} + 2 \vec{j} \right) \times \left( 3 \vec{k} \right) = 3 \, \vec{i} \times \vec{k} + 6 \, \vec{j} \times \vec{k} = -3 \vec{j} + 6 \vec{i}. Die Antikommutativität besagt, dass es auf die Reihenfolge der Faktoren ankommt, wie beim Matrizenprodukt, wenn auch auf eine sehr besondere Weise: Ihre Umkehrung ändert nur das Vorzeichen.

BeispielDas Vektorprodukt ist nicht assoziativ

Man vergleiche (i⃗×i⃗)×j⃗\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} mit i⃗×(i⃗×j⃗)\vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right).

Beweis

  1. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗×j⃗=0⃗\left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{i}} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \times \vec{j} = \dato{p}{\vec{0}}

    Nach dem Satz ist das Produkt eines Vektors mit sich selbst null, und nach der Bilinearität ist auch das Produkt des Nullvektors mit jedem anderen null.

  2. i⃗×(i⃗×j⃗)=i⃗×k⃗\vec{i} \times \left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{j}} \right) = \vec{i} \times \resaltar{\vec{k}}

    Bei der anderen Klammerung ist das Produkt in der Klammer k⃗\vec{k}, nach dem Beispiel der Standardbasis.

  3. i⃗×k⃗=−k⃗×i⃗=−j⃗\vec{i} \times \vec{k} = \resaltar{-\vec{k} \times \vec{i}} = \dato{q}{-\vec{j}}

    Nach der Antikommutativität ist i⃗×k⃗\vec{i} \times \vec{k} der Gegenvektor von k⃗×i⃗=j⃗\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}.

  4. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗≠−j⃗=i⃗×(i⃗×j⃗)\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \neq \resaltar{-\vec{j}} = \vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right)

    Die beiden Ergebnisse sind verschieden: Das Vektorprodukt ist nicht assoziativ, und ein Ausdruck wie u⃗×v⃗×w⃗\vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w} ohne Klammern ergibt keinen Sinn.

Es gibt auch kein neutrales Element: Kein Vektor e⃗\vec{e} erfüllt e⃗×u⃗=u⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{u} für jedes u⃗\vec{u}, denn e⃗×e⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{e} = \vec{0} würde e⃗=0⃗\vec{e} = \vec{0} erzwingen, und dann wäre e⃗×u⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{0} für jedes u⃗\vec{u}. Das Vektorprodukt hat also keine der Eigenschaften der Produkte von Zahlen außer der Distributivität. Unter der Überschrift „Das doppelte Vektorprodukt“ folgt die genaue Regel, die die Assoziativität ersetzt.