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Topos Uranos
Deutsch

Geraden und Ebenen im Raum

Zusammenfassung

Diese Lektion überträgt die durch einen Punkt und einen Richtungsvektor gegebene Gerade in den Raum und beschreibt die Ebene in vektorieller und in Parameterform, durch einen Punkt und zwei Richtungsvektoren, sowie in Koordinatenform, durch eine Gleichung ax+by+cz=dax + by + cz = d, deren Koeffizienten einen Normalenvektor bilden. Das Vektorprodukt verbindet beide Formen, und es wird bewiesen, dass jede Ebene eine Koordinatengleichung besitzt, die bis auf einen Faktor eindeutig ist. Die Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden werden in lineare Gleichungssysteme übersetzt und mit dem Satz von Kronecker-Capelli (im spanischsprachigen Raum Satz von Rouché-Frobenius genannt) klassifiziert; das Spatprodukt entscheidet, ob zwei Geraden sich schneiden oder windschief sind. Die Lektion schließt mit dem Ebenenbüschel und mit Aufgaben über Flugrouten, die Neigung eines Geländes und Tetraeder.

Lernziele

  1. Eine Gerade im Raum in vektorieller Form, in Parameterform und in symmetrischer Form angeben, auch wenn eine Komponente des Richtungsvektors null ist, und beweisen, dass durch zwei verschiedene Punkte genau eine Gerade geht.
  2. Eine Ebene in vektorieller Form, in Parameterform und in Koordinatenform angeben, mit dem Vektorprodukt von einer Form zur anderen übergehen und die Ebene durch drei nicht kollineare Punkte konstruieren.
  3. Beweisen, dass jede Ebene eine Koordinatengleichung besitzt, die bis auf einen von null verschiedenen Faktor eindeutig ist, und dass jede lineare Gleichung in xx, yy und zz mit einem von null verschiedenen Koeffizienten eine Ebene beschreibt.
  4. Die Lagebeziehung von zwei oder drei Ebenen, von einer Geraden und einer Ebene und von zwei Geraden mithilfe der Ränge eines linearen Gleichungssystems und des Spatprodukts bestimmen, auch wenn die Daten von einem Parameter abhängen.
  5. Mit dem Ebenenbüschel die Ebene konstruieren, die eine Gerade enthält und eine zusätzliche Bedingung erfüllt, und mit Geraden und Ebenen Situationen aus der Flugnavigation, dem Bauwesen und dem Design modellieren.

Die Gerade im Raum

In der Lektion des Kurses Algebra und Geometrie I über Vektoren in der Ebene und Parametergleichungen der Geraden wurde die Gerade der Ebene, die seit der Lektion über die Geradengleichung als Graph einer Gleichung ersten Grades bekannt ist, als P0+td⃗P_0 + t \vec{d} beschrieben. Im Raum gibt es keine Steigung, und eine Gleichung ersten Grades in xx, yy und zz beschreibt, wie sich zeigen wird, eine Ebene. Wenn dem so ist, empfiehlt es sich, die Reihenfolge umzukehren: Die vektorielle Beschreibung wird die Definition sein, und aus ihr werden die übrigen Formen hergeleitet.

Die Vektoren des Raumes und ihr Skalarprodukt wurden in der Lektion über Vektoren im Raum und das Skalarprodukt untersucht, das Vektorprodukt und das Spatprodukt in der Lektion über das Vektorprodukt und das Spatprodukt. Wie in der Ebene bedeutet Q=P+v⃗Q = P + \vec{v} dasselbe wie PQ⃗=v⃗\vec{PQ} = \vec{v}, und zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren heißen parallel, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist. In den Abbildungen zeigt die yy-Achse nach rechts, die zz-Achse nach oben und die xx-Achse auf den Betrachter zu.

Es seien AA ein Punkt und v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) ein vom Nullvektor verschiedener Vektor. Die Gerade durch AA mit dem Richtungsvektor v⃗\vec{v} ist die Menge der Punkte PP, für die es eine reelle Zahl tt gibt mit P=A+tv⃗P = A + t \vec{v}; die Zahl tt heißt Parameter von PP.
P=A+tv⃗,t∈RP = A + t \vec{v}, \quad t \in \mathbb{R}

Der Parameter jedes Punktes ist eindeutig: Ist A+tv⃗=A+sv⃗A + t \vec{v} = A + s \vec{v}, so folgt (t−s)v⃗=0⃗\left( t - s \right) \vec{v} = \vec{0}, und da v⃗\vec{v} nicht der Nullvektor ist, gilt t=st = s. Für A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0) und P=(x,y,z)P = (x, y, z) liefert die Vektorgleichung, komponentenweise geschrieben, die Parametergleichungen der Geraden:

{x=x0+tv1y=y0+tv2z=z0+tv3\begin{cases} x = x_0 + t v_1 \\ y = y_0 + t v_2 \\ z = z_0 + t v_3 \end{cases}

Ist der Parameter die Zeit, so beschreiben diese Gleichungen eine gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit v⃗\vec{v}, wie in der Ebene. Ein und dieselbe Gerade lässt viele Ausgangspunkte und viele Richtungsvektoren zu; der folgende Satz zeigt, dass zwei ihrer Punkte sie festlegen.

SatzDie Gerade durch zwei Punkte

Durch zwei verschiedene Punkte AA und BB geht genau eine Gerade, nämlich die mit der Gleichung P=A+tAB⃗P = A + t \vec{AB}. Folglich beschreiben die Gleichungen P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} und P=C+sw⃗P = C + s \vec{w} genau dann dieselbe Gerade, wenn CC auf der ersten liegt und w⃗\vec{w} parallel zu v⃗\vec{v} ist.

In der Abbildung ist A=(2,0,1)A = (2, 0, 1) und B=(1,2,2)B = (1, 2, 2), sodass AB⃗=(−1,2,1)\vec{AB} = \left( -1, 2, 1 \right), und die andere Gerade geht durch C=(0,4,3)C = (0, 4, 3) mit dem Richtungsvektor v⃗=(1,−2,−1)\vec{v} = \left( 1, -2, -1 \right).

Beweis

  1. A+0⋅AB⃗=A,A+1⋅AB⃗=BA + \resaltar{0} \cdot \vec{AB} = A, \qquad A + \resaltar{1} \cdot \vec{AB} = B

    Existenz: Der Vektor AB⃗\vec{AB} ist nicht der Nullvektor, weil A≠BA \neq B, und die Gerade durch AA mit diesem Richtungsvektor enthält AA, mit dem Parameter 00, und BB, mit dem Parameter 11.

  2. A=C+t1v⃗,B=C+t2v⃗\dato{ab}{A = C + t_1 \vec{v}, \qquad B = C + t_2 \vec{v}}

    Eindeutigkeit: Es sei rr eine beliebige Gerade, P=C+tv⃗P = C + t \vec{v}, die AA und BB enthält, und es seien t1t_1 und t2t_2 deren Parameter. In der Abbildung ist t1=2t_1 = 2 und t2=1t_2 = 1.

  3. AB⃗=t2v⃗−t1v⃗=(t2−t1)v⃗\vec{AB} = t_2 \vec{v} - t_1 \vec{v} = \dato{d}{\resaltar{\left( t_2 - t_1 \right)} \vec{v}}

    Nach der Chasles-Relation ist AB⃗=CB⃗−CA⃗\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA}. Die Parameter sind verschieden, weil A≠BA \neq B; also ist AB⃗\vec{AB} parallel zu v⃗\vec{v}. In der Abbildung ist AB⃗=−v⃗\vec{AB} = -\vec{v}.

  4. C+tv⃗=A+(t−t1)v⃗=A+t−t1t2−t1AB⃗C + t \vec{v} = A + \left( t - t_1 \right) \vec{v} = A + \resaltar{\frac{t - t_1}{t_2 - t_1}} \vec{AB}

    Jeder Punkt von rr liegt auf der Geraden ABAB: Wir gehen von AA statt von CC aus und ersetzen v⃗\vec{v} durch seinen Ausdruck mithilfe von AB⃗\vec{AB}. In der Abbildung ist der Punkt von rr mit dem Parameter 12\frac{1}{2} der Punkt der Geraden ABAB mit dem Parameter 32\frac{3}{2}.

  5. A+sAB⃗=A+s(t2−t1)v⃗=C+(t1+s(t2−t1))v⃗A + s \vec{AB} = A + s \left( t_2 - t_1 \right) \vec{v} = C + \resaltar{\left( t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right) \right)} \vec{v}

    Umgekehrt ist der Punkt mit dem Parameter ss auf der Geraden ABAB derjenige mit dem Parameter t1+s(t2−t1)t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right) auf rr: Die beiden Geraden haben dieselben Punkte. Zur zweiten Aussage: Beschreiben die Gleichungen dieselbe Gerade, so liegen CC und C+w⃗C + \vec{w} auf ihr, und nach dem dritten Schritt ist w⃗\vec{w} ein Vielfaches von v⃗\vec{v}; liegt CC auf der ersten und ist w⃗=kv⃗\vec{w} = k \vec{v}, so enthält die erste CC und C+w⃗C + \vec{w}, und sie ist die Gerade durch diese beiden Punkte.

Daraus folgt, dass zwei verschiedene Geraden höchstens einen gemeinsamen Punkt haben: Hätten sie zwei gemeinsam, so wären beide die einzige Gerade durch diese Punkte. Drei Punkte heißen kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die sie enthält. Ist A≠BA \neq B, so ist der Punkt CC genau dann kollinear mit ihnen, wenn C=A+tAB⃗C = A + t \vec{AB} für ein tt gilt, das heißt genau dann, wenn AC⃗\vec{AC} ein Vielfaches von AB⃗\vec{AB} ist.

Die symmetrische Form

Löst man nach dem Parameter auf und setzt die Ergebnisse gleich, so erhält man Gleichungen ohne Parameter, wobei die Nullkomponenten des Richtungsvektors Vorsicht verlangen.

PropositionSymmetrische Form der Geradengleichung

Es sei rr die Gerade durch A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0) mit dem Richtungsvektor v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right). Sind die drei Komponenten von v⃗\vec{v} von null verschieden, so liegt ein Punkt (x,y,z)(x, y, z) genau dann auf rr, wenn die untenstehenden Gleichungen gelten. Ist nur v2v_2 null, so lautet die Bedingung x−x0v1=z−z0v3\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{z - z_0}{v_3} und y=y0y = y_0; sind v2v_2 und v3v_3 null, so lautet sie y=y0y = y_0 und z=z0z = z_0. Die Fälle, in denen andere Komponenten verschwinden, erhält man durch Vertauschen der Rollen der Koordinaten.

x−x0v1=y−y0v2=z−z0v3\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}

In der Abbildung ist A=(1,2,−1)A = (1, 2, -1) und v⃗=(2,0,4)\vec{v} = \left( 2, 0, 4 \right), der Vektor, der von AA nach B=(3,2,3)B = (3, 2, 3) führt.

Beweis

  1. x−x0v1=t,y−y0v2=t,z−z0v3=t\frac{x - x_0}{v_1} = \resaltar{t}, \quad \frac{y - y_0}{v_2} = \resaltar{t}, \quad \frac{z - z_0}{v_3} = \resaltar{t}

    Sind die drei Komponenten von null verschieden und ist P=A+tv⃗P = A + t \vec{v}, so lösen wir jede Parametergleichung nach tt auf: Die drei Quotienten sind gleich tt.

  2. x=x0+tv1,y=y0+tv2,z=z0+tv3x = x_0 + \resaltar{t} v_1, \quad y = y_0 + \resaltar{t} v_2, \quad z = z_0 + \resaltar{t} v_3

    Sind umgekehrt die drei Quotienten gleich, so nennen wir tt ihren gemeinsamen Wert; multipliziert man jede Gleichung mit ihrem Nenner, erhält man die Parametergleichungen wieder, und P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} liegt auf rr.

  3. x−12=z+14,y=2\frac{x - 1}{2} = \frac{z + 1}{4}, \quad \resaltar{y = 2}

    Ist nur v2v_2 null, so lautet die zweite Gleichung y=y0y = y_0 für alle tt, und man schreibt sie gesondert, weil das Dividieren durch 00 keinen Sinn hat. In der Abbildung liegt die Gerade in der Ebene y=2y = 2.

  4. y=2,z=−1\resaltar{y = 2}, \quad \resaltar{z = -1}

    Sind v2v_2 und v3v_3 null, so legen die letzten beiden Gleichungen yy und zz fest, und für jedes xx liefert der Parameter t=x−x0v1t = \frac{x - x_0}{v_1} den Punkt: Die Gerade ist die Parallele zur xx-Achse durch AA, die in der Abbildung im Hintergrund erscheint.

  5. 4−12=5+14=32,2−12≠2+14\frac{4 - 1}{2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}, \qquad \frac{2 - 1}{2} \neq \frac{2 + 1}{4}

    Probe in der Abbildung: C=(4,2,5)C = (4, 2, 5) liegt auf der Geraden, mit dem Parameter 32\frac{3}{2}, und D=(2,2,2)D = (2, 2, 2) nicht, obwohl er y=2y = 2 erfüllt.

Jede Gleichung der symmetrischen Form ist eine Gleichung ersten Grades: Die Gerade der Abbildung ist die Lösungsmenge von 2x−z=32x - z = 3 und y=2y = 2. Sobald sich zeigt, dass jede solche Gleichung eine Ebene beschreibt, wird dies besagen, dass die Gerade der Schnitt zweier Ebenen ist, ihre implizite Form.