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Topos Uranos
Deutsch

Abstände, Winkel und Volumina im Raum

Zusammenfassung

Diese Lektion vereint die Werkzeuge der drei vorangehenden, das Skalarprodukt, das Vektorprodukt und das Spatprodukt, mit den Gleichungen von Geraden und Ebenen, um im Raum zu messen. Sie definiert den Abstand eines Punktes von einer Menge und beweist, durch Projektion auf die Normale, die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene und, mit dem Vektorprodukt, die für den Abstand eines Punktes von einer Geraden, beide mit dem Lotfußpunkt als einzigem nächstgelegenem Punkt. Aus ihnen leitet sie die Abstände paralleler Ebenen und paralleler Geraden her und beweist, dass zwei windschiefe Geraden genau ein gemeinsames Lot haben, das man durch Lösen eines Systems aus zwei Gleichungen findet und dessen Länge ein Spatprodukt dividiert durch eine Norm ist. Sie definiert und berechnet die Winkel zwischen zwei Geraden, zwischen einer Geraden und einer Ebene und zwischen zwei Ebenen und beweist, dass sie mit den Winkeln der Elementargeometrie übereinstimmen; sie konstruiert die mittelsenkrechte Ebene einer Strecke und die Spiegelpunkte eines Punktes an einer Ebene und an einer Geraden; sie beweist, dass der Flächeninhalt der Projektion eines ebenen Vielecks sein Flächeninhalt multipliziert mit dem Kosinus des Flächenwinkels ist, und untersucht die Kugel, ihre Gleichung, ihren Schnitt mit einer Ebene und ihre Tangentialebene. Die Anwendungen sind die Ebenen eines Kristalls mit ihren millerschen Indizes und die Satellitenortung; die Aufgaben handeln vom regelmäßigen Tetraeder, von den Punkten, die von drei Punkten gleich weit entfernt sind, vom Schatten eines Solarmoduls, von den Tangentialebenen an eine Kugel, die eine Gerade enthalten, und von zwei Flugzeugen, deren Routen windschief sind.

Lernziele

  1. Den Abstand eines Punktes von einer Ebene und von einer Geraden, paralleler Ebenen, paralleler Geraden und windschiefer Geraden berechnen, jede Formel beweisen und die Punkte bestimmen, in denen er angenommen wird.
  2. Das gemeinsame Lot zweier windschiefer Geraden bestimmen und beweisen, dass es eindeutig ist.
  3. Winkel zwischen Geraden, zwischen einer Geraden und einer Ebene und zwischen zwei Ebenen berechnen und beweisen, dass sie mit den geometrischen Winkeln übereinstimmen, die sie definieren.
  4. Die mittelsenkrechte Ebene einer Strecke und die Spiegelpunkte eines Punktes an einer Ebene und an einer Geraden konstruieren.
  5. Flächeninhalte und Volumina mit dem Vektorprodukt und dem Spatprodukt berechnen sowie die Beziehung zwischen dem Flächeninhalt eines ebenen Vielecks und dem seiner Projektion beweisen und anwenden.
  6. Mittelpunkt und Radius einer Kugel aus ihrer Gleichung gewinnen, ihre Lage zu einer Ebene entscheiden, den Schnittkreis und die Tangentialebene bestimmen und mit diesen Werkzeugen Probleme der Kristallographie, der Solarenergie, der Flugnavigation und der Satellitenortung modellieren.

Der Abstand eines Punktes von einer Ebene und von einer Geraden

Die Lektion über Vektoren in der Ebene gewann den Abstand eines Punktes von einer Geraden der Ebene durch Projektion auf den Normalenvektor. Im Raum schrieb die Lektion über Geraden und Ebenen im Raum die Ebene durch P0P_0 mit einem vom Nullvektor verschiedenen Normalenvektor n⃗=(a,b,c)\vec{n} = \left( a, b, c \right) als Menge der Punkte XX mit n⃗⋅P0X⃗=0\vec{n} \cdot \vec{P_0 X} = 0, das heißt mit einer Gleichung ax+by+cz=dax + by + cz = d, und die Gerade durch AA mit Richtungsvektor u⃗\vec{u} als Menge der Punkte A+tu⃗A + t \vec{u}, mit reellem tt. Wenn dem so ist, gilt die Idee aus der Ebene unverändert für die Ebenen des Raumes; für die Geraden dagegen ist die Normale keine einzelne Richtung mehr, und das Vektorprodukt aus der Lektion über das Vektorprodukt und das Spatprodukt tritt an ihre Stelle. Die verwendeten Tatsachen der euklidischen Geometrie des Raumes sind die in der Lektion über Vektoren im Raum und das Skalarprodukt vorausgesetzten.

Seien FF eine nichtleere Menge von Punkten des Raumes und PP ein Punkt. Gibt es unter den Abständen von PP zu den Punkten von FF einen, der kleiner oder gleich allen übrigen ist, so ist diese Zahl der Abstand von PP zu FF, und man schreibt d⁡(P,F)\operatorname{d}(P, F). Ebenso gilt: Gibt es unter den Abständen der Punkte einer Menge FF zu denen einer anderen Menge GG einen, der kleiner oder gleich allen ist, so ist diese Zahl der Abstand zwischen FF und GG, d⁡(F,G)\operatorname{d}(F, G).

Die Definition garantiert nicht, dass der Abstand existiert: Unter unendlich vielen Abständen muss es keinen kleinsten geben. Deshalb liefern die folgenden Sätze nicht bloß eine Formel; sie beweisen, dass es einen nächstgelegenen Punkt gibt und dass er eindeutig ist.

SatzAbstand eines Punktes von einer Ebene

Seien π\pi die Ebene ax+by+cz=dax + by + cz = d, wobei n⃗=(a,b,c)\vec{n} = \left( a, b, c \right) nicht der Nullvektor ist, und P=(x0,y0,z0)P = (x_0, y_0, z_0). Der Punkt H=P−λn⃗H = P - \lambda \vec{n}, mit λ=ax0+by0+cz0−d∥n⃗∥2\lambda = \frac{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}{{\norma{\vec{n}}}^2}, liegt in π\pi, HP⃗\vec{HP} ist normal zu π\pi, und HH ist der einzige Punkt von π\pi, der PP am nächsten liegt. Folglich:

d⁡(P,π)=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Man projiziert den Vektor von einem beliebigen Punkt der Ebene zu PP auf die Normale, wie in der Ebene; die Minimalität ist der Satz des Pythagoras. Die Abbildung verwendet die Ebene 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4 und den Punkt P=(2,3,3)P = (2, 3, 3).

Beweis

  1. p⃗=QP⃗⋅n⃗∥n⃗∥2n⃗\vec{p} = \dato{p}{\frac{\vec{QP} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}}

    Wir wählen einen Punkt Q=(q1,q2,q3)Q = (q_1, q_2, q_3) von π\pi und projizieren QP⃗\vec{QP} auf n⃗\vec{n} mit dem Satz über die Orthogonalprojektion aus der Lektion über Vektoren im Raum. In der Abbildung ist Q=(2,0,0)Q = (2, 0, 0).

  2. QP⃗⋅n⃗=ax0+by0+cz0−(aq1+bq2+cq3)=ax0+by0+cz0−d\vec{QP} \cdot \vec{n} = a x_0 + b y_0 + c z_0 \resaltar{- \left( a q_1 + b q_2 + c q_3 \right)} = \dato{e}{a x_0 + b y_0 + c z_0 - \resaltar{d}}

    Da QQ in π\pi liegt, gilt aq1+bq2+cq3=da q_1 + b q_2 + c q_3 = d, und das Skalarprodukt im Zähler ist die linke Seite der Gleichung, ausgewertet in PP, minus dd.

  3. QH⃗=QP⃗−λn⃗,n⃗⋅QH⃗=0→H∈π\vec{QH} = \vec{QP} - \resaltar{\lambda \vec{n}}, \qquad \vec{n} \cdot \vec{QH} = 0 \rightarrow \dato{h}{H \in \pi}

    Also gilt p⃗=λn⃗\vec{p} = \lambda \vec{n} und H=P−p⃗H = P - \vec{p}. Der Vektor QH⃗=QP⃗−p⃗\vec{QH} = \vec{QP} - \vec{p} ist die orthogonale Komponente der Projektion, senkrecht zu n⃗\vec{n}; nach der Normalengleichung der Ebene liegt HH in π\pi.

  4. ∥PX⃗∥2=∥PH⃗∥2+∥HX⃗∥2≥∥PH⃗∥2{\norma{\vec{PX}}}^2 = {\norma{\vec{PH}}}^2 + \resaltar{{\norma{\vec{HX}}}^2} \ge {\norma{\vec{PH}}}^2

    Sei XX ein beliebiger Punkt von π\pi. Nach der Chasles-Relation gilt PX⃗=PH⃗+HX⃗\vec{PX} = \vec{PH} + \vec{HX}; der erste Summand ist ein Vielfaches von n⃗\vec{n}, und der zweite verbindet zwei Punkte von π\pi, sodass sie orthogonal sind und die pythagoreische Gleichung gilt.

  5. d⁡(P,π)=∥p⃗∥=∣QP⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\operatorname{d}(P, \pi) = \norma{\vec{p}} = \frac{\resaltar{\abs{\vec{QP} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

    Gleichheit gilt nur, wenn HX⃗=0⃗\vec{HX} = \vec{0}, das heißt, wenn X=HX = H: Der Lotfußpunkt ist der einzige nächstgelegene Punkt, und der Abstand ist die Norm der Projektion.

  6. d⁡(P,π)=∣2⋅2+3+2⋅3−4∣4+1+4=93=3\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{2 \cdot 2 + 3 + 2 \cdot 3 - 4}}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3

    In der Abbildung ist QP⃗=(0,3,3)\vec{QP} = \left( 0, 3, 3 \right), QP⃗⋅n⃗=9\vec{QP} \cdot \vec{n} = 9 und ∥n⃗∥=3\norma{\vec{n}} = 3, sodass λ=1\lambda = 1 gilt, der Lotfußpunkt H=(0,2,1)H = (0, 2, 1) ist und der Abstand 33 beträgt.

Auch das Vorzeichen der Zahl ax0+by0+cz0−da x_0 + b y_0 + c z_0 - d, das die Formel mit dem Betrag verbirgt, hat eine Bedeutung. Wegen P=H+λn⃗P = H + \lambda \vec{n} ist sie positiv, wenn man PP von der Ebene aus erreicht, indem man sich in Richtung von n⃗\vec{n} bewegt, und negativ, wenn man ihn in der Gegenrichtung erreicht. Die Punkte mit ax+by+cz>dax + by + cz > d bilden einen der beiden Halbräume, die die Ebene bestimmt, und die Punkte mit ax+by+cz<dax + by + cz < d bilden den anderen; zwei Punkte liegen genau dann auf derselben Seite der Ebene, wenn der Ausdruck in beiden dasselbe Vorzeichen hat. So liegen der Ursprung und der Punkt (2,3,3)(2, 3, 3) auf verschiedenen Seiten der Ebene 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4, denn es gilt 0−4<0<90 - 4 < 0 < 9.

SatzAbstand eines Punktes von einer Geraden

Seien rr die Gerade A+tu⃗A + t \vec{u}, wobei u⃗\vec{u} nicht der Nullvektor ist, und PP ein Punkt. Der Punkt H=A+t0u⃗H = A + t_0 \vec{u}, mit t0=AP⃗⋅u⃗∥u⃗∥2t_0 = \frac{\vec{AP} \cdot \vec{u}}{{\norma{\vec{u}}}^2}, ist der einzige Punkt von rr, der PP am nächsten liegt, HP⃗\vec{HP} ist senkrecht zu u⃗\vec{u}, und es gilt:

d⁡(P,r)=∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥\operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

Man zerlegt AP⃗\vec{AP} in seine Projektion auf u⃗\vec{u} und seine orthogonale Komponente; die Norm der letzteren drückt man mit der Lagrange-Identität aus. Die Abbildung verwendet die Gerade durch A=(0,0,1)A = (0, 0, 1) mit Richtungsvektor u⃗=(1,2,2)\vec{u} = \left( 1, 2, 2 \right) und den Punkt P=(3,3,1)P = (3, 3, 1).

Beweis

  1. AP⃗=t0u⃗+w⃗,w⃗⋅u⃗=0\vec{AP} = t_0 \vec{u} + \dato{w}{\vec{w}}, \qquad \vec{w} \cdot \vec{u} = 0

    Nach dem Satz über die Orthogonalprojektion ist AP⃗\vec{AP} die Summe seiner Projektion t0u⃗t_0 \vec{u} auf u⃗\vec{u} und eines Vektors w⃗\vec{w}, der orthogonal zu u⃗\vec{u} ist. Der Punkt H=A+t0u⃗H = A + t_0 \vec{u} liegt auf rr, und es gilt HP⃗=w⃗\vec{HP} = \vec{w}.

  2. XP⃗=w⃗+(t0−t)u⃗,∥XP⃗∥2=∥w⃗∥2+(t0−t)2∥u⃗∥2≥∥w⃗∥2\vec{XP} = \vec{w} + \resaltar{\left( t_0 - t \right) \vec{u}}, \qquad {\norma{\vec{XP}}}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 + \resaltar{\left( t_0 - t \right)^2 {\norma{\vec{u}}}^2} \ge {\norma{\vec{w}}}^2

    Für einen beliebigen Punkt X=A+tu⃗X = A + t \vec{u} von rr ist der Vektor XP⃗\vec{XP} gleich w⃗\vec{w} plus einem Vielfachen von u⃗\vec{u}; die beiden Summanden sind orthogonal, und die pythagoreische Gleichung gilt.

  3. d⁡(P,r)2=∥w⃗∥2=∥AP⃗∥2−(AP⃗⋅u⃗)2∥u⃗∥2=∥AP⃗∥2∥u⃗∥2−(AP⃗⋅u⃗)2∥u⃗∥2{\operatorname{d}(P, r)}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 = {\norma{\vec{AP}}}^2 - \resaltar{\frac{\left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}} = \dato{q}{\frac{{\norma{\vec{AP}}}^2 {\norma{\vec{u}}}^2 - \left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}}

    Gleichheit gilt nur, wenn t=t0t = t_0: HH ist der einzige nächstgelegene Punkt, und der Abstand ist die Norm von w⃗\vec{w}, deren Quadrat die pythagoreische Gleichung der Projektion liefert.

  4. d⁡(P,r)2=∥AP⃗×u⃗∥2∥u⃗∥2→d⁡(P,r)=∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥{\operatorname{d}(P, r)}^2 = \frac{\resaltar{{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}^2}}{{\norma{\vec{u}}}^2} \rightarrow \operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

    Nach der Lagrange-Identität aus der Lektion über das Vektorprodukt ist der Zähler das Quadrat der Norm von AP⃗×u⃗\vec{AP} \times \vec{u}; man zieht die Wurzel.

  5. AP⃗×u⃗=(6,−6,3),d⁡(P,r)=93=3\vec{AP} \times \vec{u} = \left( 6, -6, 3 \right), \qquad \operatorname{d}(P, r) = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3

    In der Abbildung ist AP⃗=(3,3,0)\vec{AP} = \left( 3, 3, 0 \right) und AP⃗⋅u⃗=9\vec{AP} \cdot \vec{u} = 9, sodass t0=1t_0 = 1, H=(1,2,3)H = (1, 2, 3) und w⃗=(2,1,−2)\vec{w} = \left( 2, 1, -2 \right) gelten, wobei der letzte Vektor die Norm 33 hat. Das Vektorprodukt liefert dasselbe.

Die Formel hat eine unmittelbare geometrische Deutung: ∥AP⃗×u⃗∥\norma{\vec{AP} \times \vec{u}} ist der Flächeninhalt des Parallelogramms mit den Seiten AP⃗\vec{AP} und u⃗\vec{u}, und ∥u⃗∥\norma{\vec{u}} ist die Länge seiner Grundseite auf der Geraden; der Quotient ist die Höhe, also der gesuchte Abstand. Wenn nur der Abstand interessiert, erspart das Vektorprodukt die Berechnung des Lotfußpunktes.