المستقيمات والمستويات في الفضاء

المستقيم في الفضاء

في درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بـالمتجهات في المستوى، وُصف مستقيم المستوى، المعروف بأنه التمثيل البياني لمعادلة من الدرجة الأولى منذ الدرس الخاص بـمعادلة المستقيم، على أنه $P_0 + t \vec{d}$. وليس في الفضاء ميل، ومعادلة من الدرجة الأولى في $x$ و$y$ و$z$ تصف، كما سنرى، مستوى. وإذا كان الأمر كذلك، فمن الأنسب عكس الترتيب: يكون الوصف المتجهي هو التعريف، ومنه تُستنتج الأشكال الأخرى.

دُرست متجهات الفضاء وجداؤها السلمي في الدرس الخاص بـالمتجهات في الفضاء والجداء السلمي؛ والجداء المتجهي والجداء المختلط في الدرس الخاص بـالجداء المتجهي والجداء المختلط. وكما في المستوى، فإن $Q = P + \vec{v}$ تعني $\vec{PQ} = \vec{v}$، ويكون متجهان غير منعدمين متوازيين إذا كان أحدهما مضاعفًا للآخر. وفي الرسوم، يتجه المحور $y$ إلى اليمين، والمحور $z$ إلى الأعلى، والمحور $x$ نحو الناظر.

لتكن $A$ نقطة و$\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right)$ متجهًا غير منعدم. المستقيم المار بـ$A$ ذو متجه التوجيه $\vec{v}$ هو مجموعة النقاط $P$ التي يوجد لها عدد حقيقي $t$ بحيث $P = A + t \vec{v}$؛ ويسمى العدد $t$ وسيط $P$.

وسيط كل نقطة وحيد: إذا كان $A + t \vec{v} = A + s \vec{v}$، فإن $\left( t - s \right) \vec{v} = \vec{0}$، وبما أن $\vec{v}$ غير منعدم، فإن $t = s$. ومن أجل $A = (x_0, y_0, z_0)$ و$P = (x, y, z)$، تعطي المعادلة المتجهية، مكتوبة بالمركبات، المعادلات الوسيطية للمستقيم:

إذا كان الوسيط هو الزمن، فهذه المعادلات تصف حركة منتظمة سرعتها المتجهة $\vec{v}$، كما في المستوى. والمستقيم الواحد يقبل نقاط انطلاق كثيرة ومتجهات توجيه كثيرة؛ وتبين المبرهنة الآتية أن نقطتين منه تعيّنانه.

ومن ذلك ينتج أن لمستقيمين مختلفين نقطة مشتركة واحدة على الأكثر: لو اشتركا في نقطتين لكانا المستقيم الوحيد المار بهما. وتكون ثلاث نقاط على استقامة واحدة إذا وُجد مستقيم يحويها. وإذا كان $A \neq B$، فإن النقطة $C$ تكون على استقامة واحدة معهما إذا وفقط إذا كان $C = A + t \vec{AB}$ من أجل $t$ ما، أي إذا وفقط إذا كان $\vec{AC}$ مضاعفًا لـ$\vec{AB}$.

الشكل المتناظر

بعزل الوسيط في كل معادلة ومساواة النتائج، نحصل على معادلات بلا وسيط، مع الانتباه إلى المركبات المنعدمة لمتجه التوجيه.

كل مساواة من الشكل المتناظر معادلةٌ من الدرجة الأولى: المستقيم في الرسم هو مجموعة حلول $2x - z = 3$ و$y = 2$. وحين يتبين أن كل معادلة من هذا النوع تصف مستوى، فسيعني ذلك أن المستقيم هو تقاطع مستويين، وهذا شكله الضمني.