Matrices et strvctvrae algebraicae: introdvctio

Antequam vnitatem incipias, pvnctvm vnde proficisceris metire. Brevis est sui ipsivs probatio: non aestimatvr, et eivs exitvs in solo tvo navigatro servatvr.

1. Qvaestio 1Sint $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. Qvod est prodvctvm $AB$?

   $\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 7 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 10 \end{pmatrix}$

2. Qvaestio 2Consideretvr systema aeqvationvm $x + y + z = 1$, $x + 2y + 3z = 2$ et $2x + 3y + 4z = k$. Pro qvibvs valoribvs ipsivs $k$ compatibile est, et qvot solvtiones tvm habet?

   Pro solo $k = 3$, et tvm infinitas solvtiones habet, ex vno parametro pendentes.

   Pro omni $k$, vnica solvtione.

   Pro solo $k = 3$, et tvm vnicam solvtionem habet.

   Pro nvllo $k$.

3. Qvaestio 3Compvta determinans matricis versvvm $\left( 2, 1, 1 \right)$, $\left( 1, 3, -1 \right)$ et $\left( 0, 1, 4 \right)$.

4. Qvaestio 4Sit $A$ matrix ordinis $3$ cvm $\det A = 2$. Qvantvm valet $\det\left( 3 A^{\mathsf{T}} \right)$?

5. Qvaestio 5Qvae est inversa matricis $A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$?

   $\begin{pmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \\ 1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

6. Qvaestio 6Sint $A$, $B$ et $C$ matrices qvadratae eivsdem ordinis, $A$ et $B$ invertibilibvs. Qvae est solvtio aeqvationis $AXB = C$?

   $X = A^{-1} C B^{-1}$

   $X = B^{-1} C A^{-1}$

   $X = A^{-1} B^{-1} C$

   $X = \frac{C}{AB}$

7. Qvaestio 7Qvae est matrix transformationis plani qvae omnem vectorem qvadrante contra motvm horologii circa originem convertit et deinde evm in axe abscissarvm reflectit?

   $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

8. Qvaestio 8Sit $M(z)$ matrix mvltiplicationis per nvmervm complexvm $z$. Compvta $\det M(3 - 4i)$.

9. Qvaestio 9Qvae ex his copiis, cvm operatione indicata, grex est?

   Residva non nvlla ipsivs $\mathbb{Z}_7$, cvm prodvcto.

   Nvmeri integri, cvm prodvcto.

   Nvmeri natvrales, cvm svmma.

   Residva non nvlla ipsivs $\mathbb{Z}_6$, cvm prodvcto.

10. Qvaestio 10Vrbs $600$ milia incolarvm in centro habet et $400$ milia in svbvrbiis. Qvoqve anno $10$ centesimae incolarvm centri in svbvrbia migrant et $20$ centesimae incolarvm svbvrbiorvm in centrvm; nemo alivs advenit avt discedit. Si proportiones manent, qvot milia incolarvm centrvm post dvos annos habebit?

11. Qvaestio 11Ex vnitatibvs prioribvsSolve per regvlam Crameri systema $2x + 3y = 7$, $x - y = 1$, et valorem ipsivs $x$ da.

12. Qvaestio 12Ex vnitatibvs prioribvsInveni inversvm ipsivs $4$ modvlo $9$, id est residvvm $x$ inter $0$ et $8$ tale vt $4x \equiv 1 \pmod{9}$.

13. Qvaestio 13Ex vnitatibvs prioribvsQvae est forma polaris ipsivs $1 + i\sqrt{3}$?

    $2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$

    $2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)$

    $4\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$

    $2\left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$