Nvmeri complexi forma polari: synthesis et provocationes

Svmmarivm

Haec lectio partem clavdit nvmeris complexis forma polari dicatam. Eivs definitiones et theoremata in vnam catenam dedvctivam colligit, qvae a theoremate prodvcti in forma polari incipit et per formvlam Moivreanam, radices $n$ -tas, exponentialem complexam et geometriam plani ad factorizationem polynomiorvm et ad formvlas Cardani et Ferrarii pervenit. Indicat qvid qvisqve anvlvs cvrsvi Algebra et Geometria I et dvabvs partibvs hvivs cvrsvs antecedentibvs debeat, et qvomodo pars proxima, de matricibvs et strvctvris algebraicis, eadem facta denvo interpretetvr. Decem provocationibvs finitvr, difficilioribvs qvam problemata partis proposita, qvae plvres eivs lectiones conivngvnt.

Proposita discendi

Catenam dedvctivam partis a theoremate prodvcti in forma polari vsqve ad formvlas Cardani et Ferrarii restitvere, indicando ex qvo effectv qvodqve theorema pendeat.
Effectvs partis cvm effectibvs cvrsvs I (indvctione, binomio Newtoniano, maximo commvni divisore, polynomiis) et cvm effectibvs partivm antecedentivm (coordinatis polaribvs et formvlis trigonometricis) conivngere, et eorvm lectionem per matrices et strvctvras in parte proxima praevidere.
Problemata solvere qvae formam polarem, radices vnitatis, exponentialem complexam, geometriam per nvmeros complexos et relationes Vietae conivngere postvlant.

Qvae vnitas consecvta est

Pars a defectv profecta est: in lectione cvrsvs I de nvmeris complexis prodvctvm dvorvm complexorvm compvtabatvr qvidem, sed non intellegebatvr. Lectio de forma polari qvemqve complexvm non nvllvm vt $r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ scripsit, hanc scriptvram vnicam esse nisi integris conversionibvs ostendit et, formvlis additionis et svbtractionis adhibitis, theorema demonstravit qvod cetera omnia svstinet: in prodvcto modvli mvltiplicantvr et argvmenta addvntvr. Ex eo secvtvm est mvltiplicare per complexvm esse convertere et dilatare, conivgatvm et inversvm argvmentvm oppositvm habere, et argvmentvm principale prodvcti cvm svmma argvmentorvm principalivm congrvere nisi integra conversione.

Si prodvctvm argvmenta addit, potentia ea mvltiplicat. Lectio de formvla Moivreana id per indvctionem pro omni exponente integro demonstravit et, formvlam cvm binomio Newtoniano comparando, formvlas angvlorvm mvltiplicivm invenit; lemmate $z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta)$ potentias sinvs et cosinvs linearizavit, svmma geometrica rationis complexae sinvs et cosinvs svmmavit, et potentia $(1 + i)^n$ coefficientes binomiales indicis paris et indicis imparis signis alternis. Iam vero, si ad potentiam $n$ elevare angvlvm per $n$ mvltiplicat, radicem extrahere evm dividit: lectio de radicibvs $n$ -tis demonstravit omnem complexvm non nvllvm exacte $n$ radices $n$ -tas habere, vertices polygoni regvlaris, et radices vnitatis esse potentias vnivs, svmmam nvllam habere, $z^n - 1$ in factores resolvere et primitivas esse exacte cvm earvm index ad $n$ primvs est.

Lectio de exponentiali complexa animadvertit has omnes regvlas esse leges exponentivm et, seriebvs ipsivs $e^x$ , cosinvs et sinvs adhibitis, qvas sine demonstratione admisit qvia calcvlvm differentialem postvlant, ostendit svmmam seriei exponentialis in $i\theta$ esse $\cos \theta + i \sin \theta$ . Ideo $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ et $e^{a + bi} = e^a e^{ib}$ definivit, demonstravit exponentialem svmmas in prodvcta convertere et periodicam esse periodo $2\pi i$ , cosinvm et sinvm per exponentiales expressit, decrevit qvae identitates trigonometricae serventvr cvm ad complexos extendvntvr, fvnctiones hyperbolicas in eis invenit et, exponentiali inversa, logarithmvm infinitis valoribvs et potentias exponentis complexi obtinvit. Hac notatione, lectio de geometria per nvmeros complexos conversiones vt $c + e^{i\varphi}(z - c)$ et reflexiones vt $e^{2i\alpha}\conj{z}$ scripsit, collinearitatem et perpendicvlaritatem in qvotiente legit, per signvm partis imaginariae eivs qvotientis orientationem triangvli definivit et demonstravit eam non pendere a vertice a qvo incipitvr, translationes et conversiones eam servare et reflexiones eam invertere, triangvlvm aeqvilatervm radice cvbica vnitatis descripsit et theorema de circvmferentia Apollonii et theorema Napoleonis demonstravit.

Postremo lectio de aeqvationibvs polynomialibvs omnia in eo campo conivnxit vbi complexi nati svnt. Ex theoremate fvndamentali algebrae, qvod sine demonstratione admittitvr, dedvxit omne polynomivm gradvs $n$ esse prodvctvm $n$ factorvm linearivm, relationes Vietae demonstravit et aeqvationes binomias, trinomias et reciprocas solvit; formvla Cardani radices cvbicas lectionis de radicibvs $n$ -tis postvlavit, discriminans radices cvbicae realis distinxit, casvs irredvcibilis formvla angvli tripli solvtvs est, et methodvs Ferrarii qvarticam ad cvbicam redegit; theorema Hölderi et theorema Abelii et Rvffinii, qvae admittvntvr, explicavervnt cvr circvitvs per complexos in casv irredvcibili vitari non possit et cvr a gradv qvinto nvllae formvlae similes exstent. Vnde catena integra haec est: theorema prodvcti, formvla Moivreana, radices $n$ -tae, exponentialis complexa, geometria plani et aeqvationes polynomiales, ita vt qvisqve anvlvs sit, qvod ad rem attinet, nova primi lectio.

Expedit accvrate envmerare qvae pars sine demonstratione admittat, qvia pavca svnt et certo loco posita. Ex geometria Evclidea, facta in lectione cvrsvs I de aeqvatione rectae collecta, ex qvibvs pars solam notionem similitvdinis reqvirit et aeqvalitatem angvlorvm proportionalitatem latervm secvm ferre, in theoremate de triangvlis similibvs prodvcti. Ex calcvlo differentiali, series ipsivs $e^x$ , cosinvs et sinvs, qvibvs lectio de exponentiali complexa vtitvr vt formvlam Evleri commendet et qvae in cvrsv Calcvlvs I demonstrantvr. Ex algebra, tres effectvs in lectione de aeqvationibvs polynomialibvs envntiati: theorema fvndamentale algebrae, a qvo factorizatio integra pendet, et theoremata Hölderi et Abelii et Rvffinii, qvae nvllvm anvlvm svstinent et tantvm explicant cvr casvs irredvcibilis circvitvm per complexos postvlet et cvr a gradv qvinto nvllae formvlae per radices exstent. Postremo, exemplvm spirae potentiarvm, in lectione de formvla Moivreana, sine vsv commemorat proprietatem spirae logarithmicae omnem rectam per originem transevntem eodem angvlo secandi, qvae item calcvlo differentiali demonstratvr. Cetera omnia in hac parte, in dvabvs antecedentibvs vel in cvrsv I demonstrantvr; in catena facta Evclidea et theorema fvndamentale vt fvlcra admissa apparent, series avtem, qvae nvllvm anvlvm svstinent qvia exponentialis imaginaria pro definitione svmitvr, non apparent.

Pictvra qvae seqvitvr qvattvor segmenta partis in vnam catenam colligit. Qvisqve nodvs colvmnae est definitio avt theorema, secvndvm ordinem logicvm nvmeratvs et arcv cvm anvlis antecedentibvs conivnctvs qvibvs eivs demonstratio vtitvr; circvm flvitant fvlcra, id est principia et instrvmenta ad qvae catena itervm atqve itervm recvrrit: theorema de aeqvalitate in forma polari, qvod in primo anvlo stabilitvr, et effectvs partivm antecedentivm vel cvrsvs I, qvi vt circvli vacvi pingvntvr. Fvlcro pvlsato omnes anvli qvi eo vtvntvr illvstrantvr, et qvisqve anvlvs ad lectionem remittit in qva demonstratvr.

Fvlcra catenae

AAeqvalitas in forma polari. Dvo complexi $r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right)$ et $r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right)$ , cvm $r_1$ et $r_2$ positivis, aeqvales svnt si et solvm si $r_1 = r_2$ et $\theta_1 - \theta_2$ est mvltiplvm integrvm ipsivs $2\pi$ . Constitvitvr in: 1. Aeqvalitas in forma polari.
BFormvlae trigonometricae. Identitas Pythagorica, cosinvs et sinvs svmmae et differentiae, angvlvs dvplex, angvlvs dimidivs et angvlvs triplex, paritas et periodicitas sinvs et cosinvs, eorvm zera, descriptio angvlorvm coterminalivm, monotonia cosinvs in $\icc{0}{\pi}$ et theorema cosinvvm, demonstrata in partibvs 1 et 2, de fvnctionibvs trigonometricis et de trigonometria analytica. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
CGeometria Evclidea. In parte cvrsvs I de geometria analytica plani facta geometriae Evclideae admittvntvr: theorema Pythagorae eivsqve conversvm, parallelae, theorema Thaletis et similitvdo triangvlorvm, svmma angvlorvm triangvli et triangvlvm aeqvicrvrivm. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
DPrincipivm indvctionis. Si proprietas pro primo nvmero natvrali valet et a qvoqve nvmero natvrali ad eivs svccessorem transit, pro omnibvs valet; demonstratvm in parte cvrsvs I de nvmeris natvralibvs. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
EBinomivm Newtonianvm et svmma geometrica. Pro omni nvmero natvrali $n$ valet $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ , et si $q \neq 1$ , $1 + q + \cdots + q^{n - 1} = \frac{q^n - 1}{q - 1}$ ; demonstrata in parte cvrsvs I de nvmeris natvralibvs, ambo calcvli solis proprietatibvs additionis et mvltiplicationis vtvntvr et etiam in nvmeris complexis valent. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
FDivisio cvm residvo et Bezovt. Omnis nvmervs integer vt $qn + r$ scribitvr cvm $0 \leq r \leq n - 1$ , et si $\operatorname{mcd}(k, n) = 1$ exstant integri $x$ et $y$ tales vt $kx + ny = 1$ ; demonstrata in parte cvrsvs I de nvmeris natvralibvs. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
GExponentialis realis. Exponentialis realis positiva, iniectiva et biiectiva in reales positivos est, $e^a e^c = e^{a + c}$ implet et cosinvm et sinvm hyperbolicos definit; demonstratvm in parte cvrsvs I de exponentiali et logarithmo. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.
HTheorema factoris et theorema fvndamentale. Si $z_0$ radix est polynomii $P$ , tvm $z - z_0$ dividit $P$ , qvod in parte cvrsvs I de fvnctionibvs algebraicis demonstratvm est et in complexis valet; et omne polynomivm complexvm gradvs $n \geq 1$ aliqvam radicem complexam habet, qvod sine demonstratione admittitvr. In hac vnitate sine demonstratione admittitvr.

Segmentvm 1 Forma polaris et prodvctvm
- Omnem complexvm non nvllvm forma polari scribere et demonstrare hanc scriptvram vnicam esse nisi integris conversionibvs.
- Formvlis additionis et svbtractionis demonstrare in prodvcto modvlos mvltiplicari et argvmenta addi.
- Inde conivgatvm et inversvm in forma polari dedvcere, et qvomodo argvmentvm principale prodvcti se habeat.
- Mvltiplicationem per complexvm vt conversionem cvm dilatatione compositam interpretari.
1. Aeqvalitas in forma polari. Argvmentvm ipsivs $z = a + bi \neq 0$ est omnis nvmervs realis $\theta$ cvm $a = \abs{z} \cos \theta$ et $b = \abs{z} \sin \theta$ ; complexvs $r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , cvm $r > 0$ , modvlvm $r$ et argvmentvm $\theta$ habet, et dvae tales expressiones aeqvales svnt si et solvm si evndem modvlvm habent et earvm argvmenta mvltiplo integro ipsivs $2\pi$ differvnt.
  Nititvr: B (Formvlae trigonometricae). Demonstratvr in: Forma polaris nvmerorvm complexorvm.
2. Prodvctvm et qvotiens in forma polari. Si $z$ modvlvm $r$ et argvmentvm $\theta$ habet, et $w$ modvlvm $s$ et argvmentvm $\varphi$ , prodvctvm $zw$ modvlvm $rs$ et argvmentvm $\theta + \varphi$ habet, et qvotiens $\frac{z}{w}$ modvlvm $\frac{r}{s}$ et argvmentvm $\theta - \varphi$ .
  Nititvr: A (Aeqvalitas in forma polari), B (Formvlae trigonometricae). Demonstratvr in: Forma polaris nvmerorvm complexorvm.
3. Conivgatvs et inversvm. Si $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , cvm $r > 0$ , conivgatvs ipsivs $z$ modvlvm $r$ et argvmentvm $-\theta$ habet, et inversvm $\frac{1}{z}$ modvlvm $\frac{1}{r}$ et argvmentvm $-\theta$ .
  Vtitvr: 2. Prodvctvm et qvotiens in forma polari. Nititvr: A (Aeqvalitas in forma polari), B (Formvlae trigonometricae). Demonstratvr in: Forma polaris nvmerorvm complexorvm.
4. Argvmentvm principale prodvcti. Argvmentvm principale ipsivs $zw$ est $\operatorname{Arg} z + \operatorname{Arg} w + 2k\pi$ , vbi $k$ aeqvat $-1$ , $0$ vel $1$ , et $k = 0$ exacte cvm ea svmma in $\ioc{-\pi}{\pi}$ iacet.
  Vtitvr: 2. Prodvctvm et qvotiens in forma polari. Nititvr: A (Aeqvalitas in forma polari). Demonstratvr in: Forma polaris nvmerorvm complexorvm.
5. Triangvla similia prodvcti. Si $z \neq 0$ et $w$ realis non est, triangvlvm verticibvs $0$ , $z$ et $zw$ simile est triangvlo verticibvs $0$ , $1$ et $w$ , ratione $\abs{z}$ : mvltiplicare per $z$ est convertere et dilatare.
  Vtitvr: 2. Prodvctvm et qvotiens in forma polari. Nititvr: C (Geometria Evclidea), B (Formvlae trigonometricae). Demonstratvr in: Forma polaris nvmerorvm complexorvm.
Segmentvm 2 Potentiae et radices
- Formvlam Moivreanam pro omni exponente integro per indvctionem demonstrare.
- Ex ea et ex binomio Newtoniano formvlas angvlorvm mvltiplicivm obtinere, potentias cosinvs linearizare et sinvs et cosinvs svmma geometrica svmmare.
- Demonstrare omnem complexvm non nvllvm exacte $n$ radices $n$ -tas habere, vertices polygoni regvlaris.
- Radices vnitatis investigare: earvm potentias, earvm svmmam, factorizationem ipsivs $z^n - 1$ et radices primitivas.
1. Formvla Moivreana. Pro omni nvmero reali $\theta$ et omni integro $n$ valet $\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$ ; itaqve, si $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , potentia $z^n$ modvlvm $r^n$ et argvmentvm $n\theta$ habet.
  Vtitvr: 2. Prodvctvm et qvotiens in forma polari, 3. Conivgatvs et inversvm. Nititvr: A (Aeqvalitas in forma polari), D (Principivm indvctionis), B (Formvlae trigonometricae). Demonstratvr in: Formvla Moivreana et potentiae nvmerorvm complexorvm.
2. Angvli mvltiplices. Cosinvs ipsivs $n\theta$ est svmma alterna terminorvm $\binom{n}{k} \cos^{n - k} \theta \sin^k \theta$ indicis $k$ paris, et sinvs ipsivs $n\theta$ svmma terminorvm indicis imparis.
  Vtitvr: 6. Formvla Moivreana. Nititvr: E (Binomivm Newtonianvm et svmma geometrica). Demonstratvr in: Formvla Moivreana et potentiae nvmerorvm complexorvm.
3. Linearizatio. Si $z = \cos \theta + i \sin \theta$ , valent $z^n + z^{-n} = 2 \cos(n\theta)$ et $z^n - z^{-n} = 2i \sin(n\theta)$ ; inde seqvvntvr, exempli gratia, $\cos^3 \theta = \frac{\cos 3\theta + 3 \cos \theta}{4}$ et $\cos^4 \theta = \frac{\cos 4\theta + 4 \cos 2\theta + 3}{8}$ .
  Vtitvr: 6. Formvla Moivreana. Nititvr: E (Binomivm Newtonianvm et svmma geometrica), B (Formvlae trigonometricae). Demonstratvr in: Formvla Moivreana et potentiae nvmerorvm complexorvm.
4. Svmmae sinvvm et cosinvvm. Si $\theta$ mvltiplvm integrvm ipsivs $2\pi$ non est, svmma complexorvm $\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)$ , pro $k$ a $0$ vsqve ad $n - 1$ , est nvmervs realis $\frac{\sin \frac{n\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}$ mvltiplicatvs per complexvm modvli $1$ et argvmenti $\frac{(n - 1)\theta}{2}$ , qvod svmmas cosinvvm et sinvvm praebet.
  Vtitvr: 2. Prodvctvm et qvotiens in forma polari, 6. Formvla Moivreana. Nititvr: A (Aeqvalitas in forma polari), E (Binomivm Newtonianvm et svmma geometrica), B (Formvlae trigonometricae). Demonstratvr in: Formvla Moivreana et potentiae nvmerorvm complexorvm.
5. Radices ordinis n. Si $w = R\left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right) \neq 0$ , aeqvatio $z^n = w$ exacte $n$ solvtiones habet, modvli $\sqrt[n]{R}$ et argvmentorvm $\frac{\varphi + 2k\pi}{n}$ cvm $0 \leq k \leq n - 1$ , qvae pro $n \geq 3$ svnt vertices polygoni regvlaris in circvmferentia radii $\sqrt[n]{R}$ inscripti.
  Vtitvr: 2. Prodvctvm et qvotiens in forma polari, 6. Formvla Moivreana. Nititvr: A (Aeqvalitas in forma polari), F (Divisio cvm residvo et Bezovt), B (Formvlae trigonometricae), D (Principivm indvctionis). Demonstratvr in: Radices ordinis n nvmeri complexi et radices vnitatis.
6. Radices vnitatis vt potentiae. Radices $n$ -tae vnitatis svnt potentiae $\omega_k = \omega^k$ ipsivs $\omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}$ ; mvltiplicantvr indicibvs modvlo $n$ additis, inversvm cvivsqve est eivs conivgata, et mvltiplicatio per vnam earvm eas permvtat.
  Vtitvr: 3. Conivgatvs et inversvm, 6. Formvla Moivreana, 10. Radices ordinis n. Nititvr: F (Divisio cvm residvo et Bezovt). Demonstratvr in: Radices ordinis n nvmeri complexi et radices vnitatis.
7. Svmma potentiarvm radicvm. Si $n \geq 2$ , svmma potentiarvm $m$ -tarvm $n$ radicvm $n$ -tarvm vnitatis valet $n$ si $n$ dividit $m$ , et $0$ aliter; praesertim radices svmmam nvllam habent.
  Vtitvr: 11. Radices vnitatis vt potentiae. Nititvr: A (Aeqvalitas in forma polari), E (Binomivm Newtonianvm et svmma geometrica). Demonstratvr in: Radices ordinis n nvmeri complexi et radices vnitatis.
8. Factorizatio z ad potentiam n minvs 1. Pro omni nvmero natvrali $n$ polynomivm $z^n - 1$ est prodvctvm $n$ factorvm $z - \omega_k$ , cvm $0 \leq k \leq n - 1$ .
  Vtitvr: 10. Radices ordinis n. Nititvr: H (Theorema factoris et theorema fvndamentale). Demonstratvr in: Radices ordinis n nvmeri complexi et radices vnitatis.
9. Radices primitivae. Radix $\omega_k$ , cvm $1 \leq k \leq n$ , primitiva est, id est eivs potentiae omnes radices $n$ -tas vnitatis dant, si et solvm si $\operatorname{mcd}(k, n) = 1$ .
  Vtitvr: 11. Radices vnitatis vt potentiae, 12. Svmma potentiarvm radicvm. Nititvr: F (Divisio cvm residvo et Bezovt). Demonstratvr in: Radices ordinis n nvmeri complexi et radices vnitatis.
10. Factorizatio realis x ad potentiam n minvs 1. Qvodqve par radicvm conivgatarvm non realivm $\omega_k$ et $\omega_{n - k}$ factorem irredvcibilem $x^2 - 2x \cos \frac{2k\pi}{n} + 1$ dat, ita vt $x^n - 1$ sit prodvctvm ipsivs $x - 1$ , ipsivs $x + 1$ si $n$ par est, et horvm factorvm qvadraticorvm.
  Vtitvr: 3. Conivgatvs et inversvm, 11. Radices vnitatis vt potentiae, 13. Factorizatio z ad potentiam n minvs 1. Nititvr: A (Aeqvalitas in forma polari), B (Formvlae trigonometricae). Demonstratvr in: Radices ordinis n nvmeri complexi et radices vnitatis.
Segmentvm 3 Exponentialis complexa et geometria
- $e^{i\theta}$ formvla Evleri et $e^{a + bi} = e^a e^{ib}$ definire, et in regvlis svpra positis leges exponentivm agnoscere.
- Demonstrare exponentialem svmmas in prodvcta convertere et periodicam esse periodo $2\pi i$ .
- Cosinvm et sinvm per exponentiales exprimere, eos cvm fvnctionibvs hyperbolicis conectere et logarithmos complexi obtinere.
- Conversiones et reflexiones plani per complexos scribere, collinearitatem et perpendicvlaritatem in qvotiente legere, orientationem triangvli definire eivsqve invariantiam demonstrare, et triangvlvm aeqvilatervm describere.
1. Exponentialis imaginaria. Complexvs $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ modvlvm $1$ habet, et valent $e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}$ , $\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta}$ et $\left( e^{i\theta} \right)^{-1} = e^{-i\theta}$ , qvi eivs conivgatvs est; praeterea $e^{i\alpha} = e^{i\beta}$ si et solvm si $\alpha - \beta$ est mvltiplvm integrvm ipsivs $2\pi$ .
  Vtitvr: 2. Prodvctvm et qvotiens in forma polari, 3. Conivgatvs et inversvm, 6. Formvla Moivreana. Nititvr: A (Aeqvalitas in forma polari), B (Formvlae trigonometricae). Demonstratvr in: Exponentialis complexa et formvla Evleri.
2. Exponentialis svmmae. Si $z = a + bi$ et $e^z = e^a e^{ib}$ , modvlvs ipsivs $e^z$ est $e^a$ , $b$ vnvm eivs argvmentorvm est et $e^z$ nvmqvam nvllvs est; et pro omnibvs complexis $z$ et $w$ valet $e^{z + w} = e^z e^w$ .
  Vtitvr: 2. Prodvctvm et qvotiens in forma polari, 16. Exponentialis imaginaria. Nititvr: A (Aeqvalitas in forma polari), G (Exponentialis realis). Demonstratvr in: Exponentialis complexa et formvla Evleri.
3. Periodicitas exponentialis. Valet $e^z = 1$ si et solvm si $z = 2k\pi i$ pro aliqvo integro $k$ ; itaqve $e^z = e^w$ si et solvm si $z - w$ est mvltiplvm integrvm ipsivs $2\pi i$ .
  Vtitvr: 17. Exponentialis svmmae. Nititvr: A (Aeqvalitas in forma polari), G (Exponentialis realis). Demonstratvr in: Exponentialis complexa et formvla Evleri.
4. Formvlae Evleri. Valent $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ ; eis cosinvs et sinvs complexi definivntvr, qvi formvlas additionis, angvli dvplicis et redvctionis potentiarvm servant, non avtem formvlas angvli dimidii signo dvplici, et obtinentvr $\cos(ix) = \cosh x$ et $\sin(ix) = i \sinh x$ .
  Vtitvr: 16. Exponentialis imaginaria, 17. Exponentialis svmmae. Nititvr: B (Formvlae trigonometricae), G (Exponentialis realis). Demonstratvr in: Exponentialis complexa et formvla Evleri.
5. Logarithmi complexi. Si $z \neq 0$ , solvtiones ipsivs $e^w = z$ svnt $w = \ln \abs{z} + i\left( \operatorname{Arg} z + 2k\pi \right)$ , cvm $k$ integro; et valores ipsivs $z^{\frac{1}{n}}$ per eas definiti svnt exacte $n$ radices $n$ -tae ipsivs $z$ .
  Vtitvr: 10. Radices ordinis n, 11. Radices vnitatis vt potentiae, 17. Exponentialis svmmae, 18. Periodicitas exponentialis. Nititvr: A (Aeqvalitas in forma polari), G (Exponentialis realis). Demonstratvr in: Exponentialis complexa et formvla Evleri.
6. Conversio circa pvnctvm. Transformatio $R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c)$ pvnctvm $c$ fixvm relinqvit, distantias servat et angvlo $\varphi$ convertit segmentvm qvod qvodqve pvnctvm cvm $c$ conivngit: est conversio circa $c$ angvlo $\varphi$ .
  Vtitvr: 2. Prodvctvm et qvotiens in forma polari, 16. Exponentialis imaginaria. Demonstratvr in: Geometria per nvmeros complexos.
7. Reflexiones earvmqve compositio. Reflexio in recta qvae per originem transit angvlo $\alpha$ est isometria $S(z) = e^{2i\alpha} \conj{z}$ , et compositio reflexionvm angvlorvm $\alpha$ et $\beta$ est conversio circa originem angvlo $2(\beta - \alpha)$ .
  Vtitvr: 3. Conivgatvs et inversvm, 16. Exponentialis imaginaria, 21. Conversio circa pvnctvm. Demonstratvr in: Geometria per nvmeros complexos.
8. Collinearitas et orientatio. Si $q = \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ , angvlvs orientatvs a segmento ab $z_1$ ad $z_2$ ad segmentvm ab $z_1$ ad $z_3$ est argvmentvm ipsivs $q$ ; pvncta collinearia svnt si et solvm si $q$ realis est, et segmenta perpendicvlaria svnt si et solvm si $q$ imaginarivs pvrvs est. Si collinearia non svnt, triangvlvm $z_1 z_2 z_3$ positive orientatvm est cvm $\operatorname{Im} q > 0$ ; orientatio a vertice initiali non pendet, invertitvr dvobvs verticibvs permvtatis et reflexione adhibita, et conversionibvs servatvr.
  Vtitvr: 2. Prodvctvm et qvotiens in forma polari, 16. Exponentialis imaginaria, 21. Conversio circa pvnctvm, 22. Reflexiones earvmqve compositio. Demonstratvr in: Geometria per nvmeros complexos.
9. Triangvlvm aeqvilatervm. Si $z_1 \neq z_2$ , pvncta $z_1$ , $z_2$ et $z_3$ svnt, hoc ordine, vertices triangvli aeqvilateri positive orientati si et solvm si $z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0$ , cvm $\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}$ ; demonstratio condicionem ad $\abs{q} = \abs{q - 1} = 1$ cvm $\operatorname{Im} q > 0$ redvcit, id est ad $q = e^{\frac{i\pi}{3}}$ .
  Vtitvr: 16. Exponentialis imaginaria, 12. Svmma potentiarvm radicvm, 23. Collinearitas et orientatio. Demonstratvr in: Geometria per nvmeros complexos.
Segmentvm 4 Aeqvationes polynomiales
- Ex theoremate fvndamentali algebrae dedvcere omne polynomivm complexvm gradvs $n$ esse prodvctvm $n$ factorvm linearivm.
- Relationes Vietae inter radices et coefficientes demonstrare.
- Cvbicam formvla Cardani solvere, eivs radices reales per discriminans distingvere et casvm irredvcibilem angvlo triplici solvere.
- Qvarticam ad cvbicam methodo Ferrarii redigere.
1. Factorizatio in complexis. Omne polynomivm complexvm gradvs $n \geq 1$ et coefficientis principalis $a_n$ est $a_n (z - z_1) \cdots (z - z_n)$ , et exacte $n$ radices habet cvm mvltiplicitate nvmeratas.
  Nititvr: D (Principivm indvctionis), H (Theorema factoris et theorema fvndamentale). Demonstratvr in: Aeqvationes polynomiales complexae: formvlae Cardani et Ferrarii.
2. Relationes Vietae. Fvnctiones symmetricae elementares radicvm $\sigma_k = (-1)^k \frac{a_{n - k}}{a_n}$ implent; praesertim svmma radicvm est $-\frac{a_{n - 1}}{a_n}$ et earvm prodvctvm $(-1)^n \frac{a_0}{a_n}$ .
  Vtitvr: 25. Factorizatio in complexis. Nititvr: D (Principivm indvctionis). Demonstratvr in: Aeqvationes polynomiales complexae: formvlae Cardani et Ferrarii.
3. Formvla Cardani. Mvtatio $x = t - \frac{b}{3a}$ cvbicam ad $t^3 + pt + q = 0$ redvcit; si $u$ est radix cvbica radicis $U$ resolventis $s^2 + qs - \frac{p^3}{27} = 0$ et $v = -\frac{p}{3u}$ , eivs radices svnt $u + v$ , $\omega u + \omega^2 v$ et $\omega^2 u + \omega v$ .
  Vtitvr: 10. Radices ordinis n, 11. Radices vnitatis vt potentiae, 12. Svmma potentiarvm radicvm, 26. Relationes Vietae. Nititvr: E (Binomivm Newtonianvm et svmma geometrica). Demonstratvr in: Aeqvationes polynomiales complexae: formvlae Cardani et Ferrarii.
4. Discriminans cvbicae. Si $p$ et $q$ reales svnt et $\Delta = -\left( 4p^3 + 27q^2 \right)$ , cvbica $t^3 + pt + q = 0$ vnam radicem realem et dvas conivgatas non reales habet si $\Delta < 0$ , radices reales qvarvm aliqva mvltiplex est si $\Delta = 0$ , et tres radices reales distinctas si $\Delta > 0$ .
  Vtitvr: 3. Conivgatvs et inversvm, 11. Radices vnitatis vt potentiae, 27. Formvla Cardani. Demonstratvr in: Aeqvationes polynomiales complexae: formvlae Cardani et Ferrarii.
5. Solvtio trigonometrica. Si $\Delta > 0$ , cvm $m = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}$ et $c = \frac{3q}{pm}$ in $\ioo{-1}{1}$ , tres radices reales svnt $m \cos \frac{\arccos c + 2k\pi}{3}$ , pro $k = 0, 1, 2$ .
  Vtitvr: 25. Factorizatio in complexis, 28. Discriminans cvbicae. Nititvr: B (Formvlae trigonometricae). Demonstratvr in: Aeqvationes polynomiales complexae: formvlae Cardani et Ferrarii.
6. Methodvs Ferrarii. Mvtatio $x = y - \frac{b}{4a}$ qvarticam ad $y^4 + py^2 + qy + r = 0$ redvcit; si $q \neq 0$ et $m$ radix est eivs resolventis cvbicae, cvm $s^2 = 2m$ , qvartica est prodvctvm dvorvm factorvm secvndi gradvs qvorvm radices svnt eivs radices.
  Vtitvr: 10. Radices ordinis n, 25. Factorizatio in complexis, 27. Formvla Cardani. Nititvr: E (Binomivm Newtonianvm et svmma geometrica). Demonstratvr in: Aeqvationes polynomiales complexae: formvlae Cardani et Ferrarii.

Ad matrices et strvctvras algebraicas. Catena ibi finitvr vbi complexi in strvctvram vertvntvr: prodvctvm per $e^{i\varphi}$ matrix conversionis erit, qvadratvm modvli determinans, et radices vnitatis, qvae ita mvltiplicantvr vt residva divisionis per $n$ addvntvr, primvm exemplvm gregis cyclici.