Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Матрицы и операции над матрицами

Краткое содержание

Этот урок вводит матрицы, прямоугольные таблицы чисел, которые позволяют компактно записывать системы линейных уравнений и линейные замены переменных. Он определяет основные виды матриц и действия над ними: сложение и умножение на число, свойства которых доказываются поэлементно, и произведение матриц, которое определяется по правилу «строка на столбец» и мотивируется композицией двух линейных замен. Урок доказывает, что произведение ассоциативно и дистрибутивно и что единичная матрица является для него нейтральным элементом, и показывает на примерах, что оно не коммутативно, что у него есть делители нуля и что существуют ненулевые матрицы, некоторая степень которых равна нулю. Наконец, он определяет транспонированную матрицу и след, доказывает, что транспонированная матрица произведения есть произведение транспонированных в обратном порядке и что след матрицы ABAB совпадает со следом матрицы BABA, и применяет эти средства к числам Фибоначчи, к степеням матрицы и к уравнениям, неизвестными в которых служат матрицы.

Цели обучения

  1. Распознавать основные виды матриц и выполнять сложение и умножение на число, обосновывая их свойства поэлементно.
  2. Вычислять произведения матриц по правилу «строка на столбец», истолковывать их как композицию линейных замен и записывать линейную систему как уравнение между матрицами.
  3. Доказывать ассоциативность и дистрибутивность произведения и объяснять на примерах, почему оно не коммутативно и почему произведение ненулевых матриц может быть нулевым.
  4. Применять транспонированную матрицу, след и степени матрицы к решению задач, таких как вычисление чисел Фибоначчи или доказательство неразрешимости уравнения AB−BA=IAB - BA = I.

Матрицы

В уроке курса «Алгебра и геометрия I» об уравнениях, неравенствах и линейных системах метод Гаусса выполнялся в таблице, собиравшей коэффициенты каждого уравнения: неизвестные в вычислении не использовались, и вся работа велась с числами таблицы. Это наблюдение старо; в «Математике в девяти книгах», китайском трактате двухтысячелетней давности, системы уже решались расположением коэффициентов по столбцам. Слово матрица ввёл Джеймс Джозеф Сильвестр в 1850 году, а Артур Кэли опубликовал в 1858 году первую теорию действий над матрицами, ту самую, которую изучает этот урок.

Пусть mm и nn натуральные числа. Матрицей размера m×nm \times n называется таблица из mnmn чисел, расположенных в mm строках и nn столбцах. Число, стоящее в строке ii и столбце jj, называется элементом (i,j)(i, j) матрицы; если матрица обозначена прописной буквой, например AA, то её элемент обозначается соответствующей строчной буквой с двумя индексами, aija_{ij}, первый из которых всегда указывает строку. Пишут также A=(aij)A = (a_{ij}). Матрица 2×32 \times 3 имеет, например, такой вид:

A=(a11a12a13a21a22a23)A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}

Элементы будут действительными числами, если не оговорено иное; всё сказанное ниже без изменений верно для матриц из комплексных чисел, потому что доказательства используют лишь свойства сложения и умножения чисел, общие для C\mathbb{C} и R\mathbb{R}. Две матрицы равны, если у них одинаковый размер и одинаковые элементы на одинаковых местах: равенство матриц m×nm \times n равносильно mnmn равенствам чисел.

Виды матриц

Некоторые формы встречаются так часто, что получили собственные названия.

  • Матрица-строка есть матрица 1×n1 \times n, а матрица-столбец есть матрица m×1m \times 1. Векторы плоскости из урока курса I о векторах на плоскости можно записывать как матрицы-столбцы 2×12 \times 1.
  • У нулевой матрицы данного размера все элементы равны 00; она обозначается также 00, а её размер ясен из контекста.
  • Матрица называется квадратной, если у неё столько же строк, сколько столбцов; матрицу n×nn \times n называют также матрицей порядка nn. Её элементы a11,a22,…,anna_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn} образуют главную диагональ.
  • Квадратная матрица называется диагональной, если все её элементы вне главной диагонали равны нулю. Единичная матрица порядка nn, которая обозначается InI_n, или II, когда порядок ясен, есть диагональная матрица, диагональные элементы которой равны 11.
  • Квадратная матрица называется верхней треугольной, если равны нулю все элементы, стоящие под главной диагональю, то есть если aij=0a_{ij} = 0 всякий раз, когда i>ji > j; она называется нижней треугольной, если равны нулю элементы, стоящие над ней.
  • Квадратная матрица называется симметрической, если aij=ajia_{ij} = a_{ji} при всех значениях индексов: главная диагональ служит осью симметрии таблицы.

Например, из четырёх приведённых ниже матриц первая есть единичная матрица порядка 33, вторая диагональна, третья верхняя треугольная, а четвёртая симметрическая.

I3=(100010001),D=(200−5),T=(14−2037006),S=(1220)I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}, \qquad T = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}, \qquad S = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}