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Topos Uranos
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연립일차방정식과 가우스-조르당 소거법

요약

이 수업에서는 방정식과 미지수의 개수가 임의인 연립일차방정식을 다룬다. 각 연립방정식을 하나의 행렬방정식 AX=BAX = B로 쓰고 그 첨가행렬로 나타낸다. 세 가지 기본행연산이 연립방정식을 해가 같은 다른 연립방정식으로 바꾼다는 것, 그리고 모든 행렬을 이 연산들로 기약행사다리꼴로 바꿀 수 있으며 거기서 해를 곧바로 읽을 수 있다는 것을 증명한다. 이것이 가우스-조르당 소거법이다. 이어서 이 꼴이 사용한 연산과 관계없이 유일함을 증명하고, 이를 이용해 행렬의 랭크를 정의한다. 끝으로 연립방정식에 해가 있는지, 그 해가 몇 개의 자유 매개변수를 갖는지를 판정하는 루셰-프로베니우스 정리를 증명하고 이를 동차연립방정식에 적용한다. 이로써 수의 집합에 관한 단원에서 시작된 연립방정식의 연구가 완결된다.

학습 목표

  1. 연립일차방정식을 행렬 꼴로 쓰고, 그 첨가행렬을 만들고, 기본행연산이 해를 보존하는 이유를 설명한다.
  2. 가우스-조르당 소거법으로 행렬을 기약행사다리꼴로 바꾸고, 그 꼴이 유일함을 증명하며, 거기서 연립방정식의 해를 읽어 낸다.
  3. 행렬의 랭크를 계산하고 루셰-프로베니우스 정리로 연립방정식을 분류한다. 계수가 매개변수에 따라 달라지는 경우도 포함한다.
  4. 보간, 화학 평형, 흐름의 연결망, 마방진 문제를 연립일차방정식으로 세우고 그 해를 자유 매개변수로 기술한다.

연립방정식의 행렬 표현

강좌 대수학과 기하학 I의 일차방정식, 일차부등식과 연립일차방정식에 관한 수업에서는 방정식이 두 개와 세 개인 연립방정식을 대입법, 가감법, 등치법으로 풀었고, 방정식 두 개와 미지수 두 개의 연립방정식을 그 행렬식으로 분류했다. 거기서 일반적인 경우는 해결되지 않은 채 남았고 그 분류는 증명 없이 받아들였다. 이 수업에서는 행렬과 행렬의 연산에 관한 수업의 도구로 그것을 해결한다.

방정식 mm개와 미지수 nn개의 연립일차방정식 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n은 동시에 성립해야 하는, 아래 꼴의 방정식 mm개의 모임이다. 수 aija_{ij}는 미지수 xjx_j의 계수(ii번째 방정식에서의)이고, bib_i는 그 방정식의 상수항이다.

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases}

연립방정식의 해는 nn개의 수로 이루어진 순서쌍 (s1,s2,…,sn)(s_1, s_2, \ldots, s_n)으로서, 미지수에 대입했을 때 mm개의 방정식을 모두 만족하는 것이다. AA를 계수행렬이라 하자. 이것은 mm행 nn열이고 ii행 jj열의 성분이 aija_{ij}이다. XX를 미지수의 열, BB를 상수항의 열이라 하자. 그 수업에서 이미 보았듯이 행렬의 곱의 정의에 따라 ii번째 성분(열 AXAX의)은 정확히 ii번째 방정식의 좌변이다. 따라서 연립방정식 전체는 열행렬 사이의 하나의 등식 AX=BAX = B로 쓸 수 있다. 예를 들어 뒤에서 풀 연립방정식은 이렇게 쓴다.

{2y+z=0x+y+z=22x+3y−z=−3(02111123−1)(xyz)=(02−3)\begin{cases} 2y + z = 0 \\ x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - z = -3 \end{cases} \qquad \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}

연립방정식을 풀려면 수 aija_{ij}와 bib_i만 알면 된다. 미지수의 이름은 계산에 관여하지 않는다. 연립방정식의 첨가행렬은 행렬 MM이며, mm행 n+1n + 1열로 이루어지고, AA에 열 BB를 마지막 열로 덧붙여 얻는다. 이것을 M=(A,B)M = \left( A, B \right)로 쓴다. MM의 각 행은 하나의 방정식을 요약한다. 처음 nn개의 성분은 계수이고 마지막 성분은 상수항이다. 예에서는 이러하다.

M=(0210111223−1−3)M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}

연립방정식은 해를 적어도 하나 가지면 해가 있는 연립방정식, 해를 하나도 갖지 않으면 해가 없는 연립방정식이라 한다. 해가 있는 연립방정식은 해가 정확히 하나이면 해가 하나뿐인 연립방정식, 둘 이상이면 해가 무수히 많은 연립방정식이라 한다. 같은 미지수를 갖는 두 연립방정식은 해의 집합이 같을 때 동치라고 한다. 강좌 I의 수업에서 방정식 두 개와 미지수 두 개의 연립방정식은 해가 없거나, 하나이거나, 무수히 많다는 것을 보았다. 이 수업의 끝에서는 같은 사실이 모든 연립일차방정식에 대해 성립함을 알게 되고, 어느 경우인지 판정하는 기준을 얻는다.