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Topos Uranos
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행렬식: 성질과 크라메르 공식

요약

이 수업에서는 강좌 대수학과 기하학 I의 연립일차방정식에 관한 수업에서 미지수가 두 개인 두 방정식으로 이루어진 연립방정식이 해를 하나만 가지는지 판정했던 수를 임의의 차의 정사각행렬로 확장한다. 2차 행렬식을 행렬의 열이 정하는 평행사변형의 부호 있는 넓이로 해석하고, 3차 행렬식을 첫째 행에 대한 전개로 정의하여 사뤼스 법칙과 일치함을 보이며, nn차 행렬식을 점화적으로 정의한다. 이 정의에서 출발하여 차에 대한 귀납법으로 행렬식의 성질(각 행에 대한 선형성, 행의 교환, 영행 또는 같은 행, 다른 행의 상수배 더하기, 전치, 삼각행렬)을 증명하고, 이를 소거에 의한 계산과 행렬식과 랭크의 관계에 응용한다. 곱의 행렬식 정리를 2차의 경우에 증명하고(일반적인 증명은 역행렬에 관한 수업에서 제시한다), 크라메르 공식을 임의의 차에서 증명한다. 문제에서는 행렬식을 삼각형의 넓이, 방데르몽드 행렬식, 피보나치 수의 카시니 항등식, 세 점을 지나는 원에 응용한다.

학습 목표

  1. 2차와 3차 행렬식을 한 행에 대한 전개와 사뤼스 법칙으로 계산하고, 2차 행렬식을 부호 있는 넓이로 해석한다.
  2. 차에 대한 귀납법으로 행렬식의 성질을 증명하고, 이를 이용하여 임의의 차의 행렬식을 삼각행렬로의 변형으로 계산한다.
  3. 행렬식을 랭크 및 행렬의 곱과 관련짓고, 이를 이용하여 행렬이 특이행렬인지 판정한다.
  4. 방정식 nn개와 미지수 nn개로 이루어진 연립방정식을 크라메르 공식으로 풀고, 행렬식을 해석기하학과 수열의 문제에 응용한다.

2차 행렬식과 부호 있는 넓이

강좌 I의 일차방정식, 일차부등식과 연립일차방정식에 관한 수업에서는 두 방정식으로 이루어진 연립방정식의 행렬식을 수 D=a1b2−a2b1D = a_1 b_2 - a_2 b_1이라 부르고 크라메르 공식을 증명했다. 즉, DD가 영이 아니면 연립방정식은 정확히 하나의 해를 가진다. 평면벡터에 관한 수업에서는 두 벡터의 성분으로 만든 같은 수가 두 벡터가 평행한지를 판정했다. 한편 행렬과 행렬의 연산에 관한 수업에서는 정사각행렬을 도입했고, 가우스-조르당 소거법에 관한 수업에서는 모든 연립일차방정식을 AX=BAX = B 꼴로 썼다. 그렇다면 그 수를 계수행렬의 함수로 보고 임의의 차의 정사각행렬로 확장하는 것이 자연스럽다.

정사각행렬 AA가 2차일 때, 그 행렬식은 주대각선 위의 성분의 곱에서 다른 대각선 위의 성분의 곱을 뺀 것이다. det⁡A\det A로 쓰거나, 행렬의 성분을 두 세로선 사이에 넣어 쓴다.
A=(abcd),det⁡A=∣abcd∣=ad−bcA = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

두 방정식으로 이루어진 연립방정식의 행렬식은 그 계수행렬의 행렬식이다. 계수행렬은 첫째 열에 xx의 계수를, 둘째 열에 yy의 계수를 가지며, 그 행렬식은 a1b2−a2b1=Da_1 b_2 - a_2 b_1 = D이다. 여기서 세로선은 절댓값을 나타내지 않는다. 행렬식은 음수가 될 수 있기 때문이다. 예를 들면 이렇다.

∣3112∣=6−1=5,∣1321∣=1−6=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 1 = 5, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5

2차 행렬의 두 열은 평면의 벡터이며, 바로 뒤에 서술하는 부호 있는 넓이 정리는 행렬식에 기하학적 의미를 부여하고, 덧붙여 강좌 I의 벡터에 관한 수업의 평행 조건을 설명한다.

정리부호 있는 넓이

u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right)과 v⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right)를 평면의 벡터라 하고, AA를 열이 u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}인 행렬이라 하자. 같은 시작점에서 그린 u⃗\vec{u}와 v⃗\vec{v}의 화살표가 정하는 평행사변형의 넓이는 det⁡A\det A의 절댓값이다. 또한 두 벡터가 영벡터도 아니고 평행하지도 않을 때, det⁡A\det A는 아래와 같은 부호를 가진다. u⃗\vec{u}의 방향을 v⃗\vec{v}의 방향으로 옮기는 반 바퀴 미만의 회전이 시계 반대 방향이면 양, 시계 방향이면 음이다.

det⁡A=∣u1v1u2v2∣=u1v2−u2v1\det A = \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix} = u_1 v_2 - u_2 v_1

u⃗\vec{u}가 영벡터이면 평행사변형은 선분으로 퇴화하고 행렬식은 영이다. 따라서 u⃗\vec{u}는 영벡터가 아니라고 하자. 증명에는 강좌 I의 벡터에 관한 수업에서 얻은 점과 직선 사이의 거리, 극좌표에 관한 수업의 극좌표, 덧셈정리에 관한 수업의 차의 사인 공식을 이용한다. 그림은 u⃗=(3,1)\vec{u} = \left( 3, 1 \right)과 v⃗=(1,2)\vec{v} = \left( 1, 2 \right)로 증명을 따라간다.

증명

  1. n⃗=(−u2,u1),n⃗⋅u⃗=−u2u1+u1u2=0,∥n⃗∥=∥u⃗∥\vec{n} = \left( -u_2, u_1 \right), \qquad \vec{n} \cdot \vec{u} = \resaltar{-u_2 u_1 + u_1 u_2} = \resaltar{0}, \qquad \dato{n}{\norma{\vec{n}} = \norma{\vec{u}}}

    초등기하학에서처럼 평행사변형의 넓이는 한 밑변과 그에 대응하는 높이의 곱이라고 인정한다. u⃗\vec{u}를 나타내는 변을 밑변으로 잡는다. 이 변은 원점을 지나고 그 방향을 가지는 직선 위에 있다. 이 직선의 방정식은 −u2x+u1y=0-u_2 x + u_1 y = 0이며, 원점과 u⃗\vec{u}의 끝점이 이를 만족한다. 법선벡터 정리에 의해 벡터 n⃗\vec{n}은 이 직선에 수직이고, 그 크기는 u⃗\vec{u}의 크기와 같다.

  2. h=∣v⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣u1v2−u2v1∣∥n⃗∥h = \frac{\abs{\resaltar{\vec{v} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \dato{h}{\frac{\abs{\resaltar{u_1 v_2 - u_2 v_1}}}{\norma{\vec{n}}}}

    높이는 v⃗\vec{v}의 끝점에서 이 직선까지의 거리이다. 거리 공식에서 직선 위의 점으로 원점을 잡으면, 직선에서 점으로 향하는 벡터는 v⃗\vec{v} 자체가 된다.

  3. ∥u⃗∥⋅h=∣u1v2−u2v1∣=∣det⁡A∣,∣3⋅2−1⋅1∣=5\resaltar{\norma{\vec{u}}} \cdot h = \resaltar{\abs{u_1 v_2 - u_2 v_1}} = \abs{\det A}, \qquad \abs{3 \cdot 2 - 1 \cdot 1} = 5

    넓이는 밑변과 높이의 곱이며, u⃗\vec{u}의 크기는 n⃗\vec{n}의 크기와 약분된다. 그림에서 밑변은 10\sqrt{10}, 높이는 510\frac{5}{\sqrt{10}}, 넓이는 55이다.

  4. det⁡A=(rcos⁡α)(ssin⁡β)−(rsin⁡α)(scos⁡β)=rs(sin⁡βcos⁡α−cos⁡βsin⁡α)=rssin⁡(β−α)\det A = (r \cos \alpha)(s \sin \beta) - (r \sin \alpha)(s \cos \beta) = rs \resaltar{(\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha)} = \dato{s}{rs \resaltar{\sin(\beta - \alpha)}}

    부호를 조사하기 위해 두 벡터를 극좌표로 쓴다. rr과 ss는 두 벡터의 크기, α\alpha와 β\beta는 두 벡터가 가로축의 양의 반직선과 이루는 각이며, 따라서 u⃗=(rcos⁡α,rsin⁡α)\vec{u} = \left( r \cos \alpha, r \sin \alpha \right), v⃗=(scos⁡β,ssin⁡β)\vec{v} = \left( s \cos \beta, s \sin \beta \right)이다. 차의 사인 공식에 의해 행렬식은 rsrs와, u⃗\vec{u}에서 v⃗\vec{v}까지의 각의 사인의 곱이다.

  5. ∣3112∣=5,∣1321∣=−5\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{5}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-5}

    rs>0rs > 0이므로 행렬식은 sin⁡(β−α)\sin(\beta - \alpha)와 같은 부호를 가진다. 이 값은 β−α\beta - \alpha가 0∘0^\circ와 180∘180^\circ 사이에 있을 때(360∘360^\circ의 정수배 차이를 제외하고), 즉 v⃗\vec{v}가 u⃗\vec{u}에서 시계 반대 방향으로 반 바퀴 미만 돌려서 얻어질 때 양이고, 그렇지 않을 때 음이다. 이 값이 영이 되는 것은 β−α\beta - \alpha가 180∘180^\circ의 배수일 때, 즉 두 벡터가 평행할 때뿐이다. 그림에서는 β−α=45∘\beta - \alpha = 45^\circ이다. 열을 교환하면 v⃗\vec{v}를 u⃗\vec{u}로 옮기는 회전은 시계 방향이 되고 부호가 바뀐다.

이 정리에 의해 2차 행렬식을 부호 있는 넓이라 부르는 것이 정당화된다. 그 절댓값은 넓이를 재고, 그 부호는 첫째 열을 둘째 열로 옮기는 회전의 방향을 나타낸다. 강좌 I의 벡터에 관한 수업의 평행 조건은 넓이가 영인 경우이다. 두 벡터가 평행한 것은 두 벡터가 정하는 평행사변형이 한 직선 위로 납작해질 때와 정확히 같다. 행렬이 평면의 변환으로 작용할 때 행렬식과 임의의 도형의 넓이 사이의 관계는 평면 변환으로서의 행렬에 관한 수업에서 공부한다.