انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

الأعداد المركبة بوصفها مصفوفات

ملخص

يُسند درسنا هذا إلى كل عدد مركب z=a+biz = a + bi مصفوفةَ تحويل المستوى الذي يضرب في zz، ويبرهن أن هذا الإسناد تبايني وأنه يحوّل المجاميع إلى مجاميع والجداءات إلى جداءات: فالمصفوفات التي على هذا الشكل تؤلّف نسخة أمينة من الأعداد المركبة داخل المصفوفات المربعة من الدرجة الثانية. وفي هذه النسخة تكون الوحدة التخيلية هي الدوران بربع دورة، الذي مربعه معاكس المصفوفة المحايدة؛ ويكون مربع المقياس هو المحدد، والمرافق هو المنقول، والمقلوب هو المصفوفة العكسية. ويفكّك الشكل القطبي كل واحدة من هذه المصفوفات إلى دوران يعقبه تحاكٍ، وتعود صيغتا أويلر ودي موافر في صورة قاعدة تركيب الدورانات. ويشرح درسنا هذا لماذا تتبادل هذه المصفوفات، مع أن المصفوفات عمومًا لا تتبادل، ويُختم بنظرة أولى إلى رباعيات هاميلتون، التي لم يعد جداؤها تبديليًا.

أهداف التعلم

  1. إيجاد مصفوفة الضرب في عدد مركب، والبرهنة على أن الإسناد بين الأعداد المركبة والمصفوفات يحافظ على الجمع والجداء.
  2. ترجمة مقياس العدد المركب ومرافقه ومقلوبه وشكله القطبي إلى لغة المصفوفات، وتفسير كل ترجمة تفسيرًا هندسيًا.
  3. حساب القوى والمقلوبات والجذور للأعداد المركبة بواسطة مصفوفاتها، والتعرّف في صيغتي أويلر ودي موافر على تركيب الدورانات.
  4. شرح سبب تبادل مصفوفات الأعداد المركبة فيما بينها، والبرهنة على أنها هي المصفوفات التي تتبادل مع الدوران بربع دورة، والتحقق بمصفوفاتها من أن جداء الرباعيات ليس تبديليًا.

مصفوفة الضرب في عدد مركب

في درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بـالأعداد المركبة طابقنا كل عدد مركب x+yix + yi مع النقطة (x,y)(x, y) من المستوى، وبرهنّا على أن الضرب في ii يدير كل نقطة ربع دورة حول المبدأ. وإذا كان الأمر كذلك، فإن الضرب في عدد مركب ثابت zz تحويلٌ للمستوى يُسند إلى كل نقطة ww النقطة zwzw. وفي الدرس الخاص بـالمصفوفات بوصفها تحويلات للمستوى برهنّا على أن التحويل الخطي تحدّده مصفوفة أعمدتها صورتا المتجهين (1,0)(1, 0) و(0,1)(0, 1). ومن ذلك ينشأ السؤال الذي يوجّه درسنا هذا: ما مصفوفة الضرب في zz، وماذا نكسب حين نمثّل كل عدد مركب بهذه المصفوفة؟

قضيةمصفوفة الضرب في z

ليكن z=a+biz = a + bi عددًا مركبًا ثابتًا. إن تحويل المستوى الذي يضرب كل عدد مركب w=x+yiw = x + yi في zz تحويل خطي؛ وعمودا مصفوفته هما zz وiziz، وإذا كان z≠0z \neq 0 فإنه ينقل المربع الواحدي إلى مربع طول ضلعه ∣z∣\abs{z}.

ننشر الجداء ونقرأ فيه المصفوفة. ويستعمل الرسم z=2+iz = 2 + i.

البرهان

  1. zw=(a+bi)(x+yi)=ax+ayi+bxi+bi2y=(ax−by)+(bx+ay)izw = (a + bi)(x + yi) = ax + ayi + bxi + b \resaltar{i^2} y = \dato{p}{\resaltar{(ax - by) + (bx + ay) i}}

    ننشر الجداء بخاصية التوزيع ونضع i2i^2 مكان −1-1.

  2. (ax−bybx+ay)=(a−bba)(xy)\begin{pmatrix} \resaltar{ax - by} \\ \resaltar{bx + ay} \end{pmatrix} = \dato{m}{\begin{pmatrix} \resaltar{a} & \resaltar{-b} \\ \resaltar{b} & \resaltar{a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}

    نكتب النقاط متجهاتِ أعمدة. إن إحداثيي zwzw تركيبان من xx وyy بمعاملات ثابتة: فهذا جداء مصفوفة في متجه ww، والتحويل لذلك خطي.

  3. z⋅1=a+bi,z⋅i=−b+aiz \cdot \resaltar{1} = \resaltar{a + bi}, \qquad z \cdot \resaltar{i} = \resaltar{-b + ai}

    عمودا المصفوفة هما صورتا 11 وii. فالأول هو zz، والثاني هو iz=−b+aiiz = -b + ai، أي دوران zz بربع دورة.

  4. ∣iz∣=∣i∣∣z∣=∣z∣,z⋅(1+i)=z+iz\abs{iz} = \abs{i} \abs{z} = \resaltar{\abs{z}}, \qquad \resaltar{z \cdot (1 + i)} = \resaltar{z + iz}

    يتحوّل المربع الواحدي، الذي رؤوسه 00 و11 و1+i1 + i وii، إلى الرباعي الذي رؤوسه 00 وzz وz+izz + iz وiziz. وضلعاه الخارجان من المبدأ لهما الطول نفسه ∣z∣\abs{z} وهما متعامدان: فالصورة مربع طول ضلعه ∣z∣\abs{z}، مُدار بالنسبة إلى المربع الواحدي.

للمصفوفة التي حصلنا عليها شكل خاص جدًا: مُدخلتا قطرها متساويتان، والمُدخلتان الأخريان متعاكستان. وتُسمّى مصفوفة العدد المركب z=a+biz = a + bi، حيث aa وbb حقيقيان، مصفوفةَ الضرب في zz:

M(z)=(a−bba)M(z) = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}

العمود الأول من M(z)M(z) هو zz نفسه، والثاني هو iziz. وبفصل جزأي العدد المركب تتفكّك المصفوفة إلى تركيب من مصفوفتين ثابتتين: المصفوفة المحايدة II، وهي مصفوفة العدد 11، والمصفوفة JJ للعدد ii.

M(a+bi)=a(1001)+b(0−110)=aI+bJM(a + bi) = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = aI + bJ

وبخاصة تقابل الأعدادَ الحقيقية مضاعفاتُ المصفوفة المحايدة، M(a)=aIM(a) = aI، وهي التحاكيات التي مركزها المبدأ، وتقابل الأعدادَ التخيلية البحتة bibi مضاعفاتُ JJ. وأولى مُدخلات جدول المقابلات هي الآتية.

M(1)=I,M(i)=J,M(−1)=−I,M(−i)=−J,M(0)=(0000)M(1) = I, \qquad M(i) = J, \qquad M(-1) = -I, \qquad M(-i) = -J, \qquad M(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}