البنى الجبرية: الزمر والحلقات والحقول

العمليات الثنائية

على امتداد هذه الدورة ودورة الجبر والهندسة 1 جمعنا وضربنا الأعداد الطبيعية والصحيحة والنسبية والحقيقية والمركبة؛ وركّبنا الدوال، وضربنا المصفوفات، وأجرينا دورانات المستوى واحدًا بعد آخر. وكل عملية من هذه العمليات تأخذ عنصرين من مجموعة وتعيد عنصرًا ثالثًا من المجموعة نفسها، وقد برهنّا فيها كلها، مرة بعد مرة، على خواص متشابهة. ويعزل هذا الدرس تلك الخواص ويدرس ما يلزم عنها، أيًّا كانت طبيعة العناصر.

العملية الثنائية على مجموعة $A$ قاعدة تُسند إلى كل زوج مرتب من عنصرين $a$ و$b$ من $A$ عنصرًا وحيدًا من $A$، يُكتب $a \cdot b$، أو ببساطة $ab$. ويُعبَّر عن انتماء النتيجة إلى $A$ بالقول إن $A$ مستقرة بالنسبة إلى العملية.

لا تدل النقطة هنا بالضرورة على جداء أعداد: إنها الاسم العام للعملية، التي ستكون في كل حالة الجمع أو الضرب أو التركيب أو أي عملية أخرى. وعندما تكون العملية جمعًا يُستعمل، جريًا على العادة، الرمز $+$. والخواص التي تهمنا أربع. تكون العملية تجميعية إذا كان $(ab)c = a(bc)$ لكل $a$ و$b$ و$c$ من $A$، وتبديلية إذا كان $ab = ba$ لكل $a$ و$b$. ويكون عنصر $e$ من $A$ محايدًا إذا كان $ea = ae = a$ لكل $a$؛ وإذا وُجد عنصر محايد، يكون عنصر $b$ نظيرًا لـ$a$ عندما يكون $ab = ba = e$.

لا تتحقق أي واحدة من الخواص الأربع تلقائيًّا. فالطرح عملية ثنائية في $\mathbb{Z}$، لكنه ليس تجميعيًّا ولا تبديليًّا، وليس له عنصر محايد: فالعدد $0$ يحقق $a - 0 = a$، لكنه لا يحقق $0 - a = a$. والقسمة ليست عملية ثنائية في $\mathbb{Q}$، لأنها لا تُسند شيئًا إلى الزوج المكوَّن من $1$ و$0$. والجمع في $\mathbb{N}$ تجميعي وتبديلي، لكن ليس له عنصر محايد، لأن الأعداد الطبيعية في دورة الجبر والهندسة 1 تبدأ من $1$. وتركيب الدوال تجميعي وغير تبديلي، كما بُرهن في درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بـالعمليات على الدوال، والأمر نفسه في جداء المصفوفات المربعة من الدرجة نفسها، الذي دُرس في الدرس الخاص بـالمصفوفات والعمليات على المصفوفات، وعنصره المحايد هو المصفوفة المحايدة $I$.