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Topos Uranos
Português

As matrizes como transformações do plano

Resumo

Esta aula interpreta cada matriz de duas linhas e duas colunas como uma transformação do plano, aquela que leva cada v⃗\vec{v}, escrito como coluna, ao vetor Av⃗A\vec{v}. Demonstra que essas transformações são exatamente as lineares e que cada uma fica determinada pelas imagens dos dois vetores canônicos, que são as colunas de sua matriz. Com esse princípio obtém as matrizes das rotações, das projeções sobre retas que passam pela origem e das reflexões nessas retas, das homotetias e dos cisalhamentos. Demonstra que compor transformações equivale a multiplicar suas matrizes, de onde decorrem a soma dos ângulos de duas rotações, o fato de que duas reflexões compostas formam uma rotação do dobro do ângulo entre suas retas e o de que as reflexões não comutam em geral. Interpreta o determinante como o fator pelo qual a transformação multiplica as áreas, com sinal negativo quando inverte a orientação, e caracteriza as transformações bijetoras como as de determinante não nulo. Termina reescrevendo em forma matricial a rotação de eixos da equação geral do segundo grau.

Objetivos de aprendizagem

  1. Reconhecer uma matriz como transformação linear do plano e obter a matriz de uma transformação a partir das imagens dos vetores canônicos.
  2. Escrever e deduzir as matrizes das rotações, projeções, reflexões, homotetias e cisalhamentos, e descrever geometricamente o efeito de uma matriz dada.
  3. Demonstrar que a composição de transformações corresponde ao produto de matrizes e aplicá-lo à composição de rotações e de reflexões.
  4. Interpretar o determinante como fator de área e de orientação, decidir quando uma transformação é invertível e expressar com matrizes a rotação de eixos de uma equação do segundo grau.

As matrizes como transformações

Na aula do curso Álgebra e Geometria I sobre os vetores no plano um vetor foi definido como um par ordenado de números reais, e na aula sobre matrizes e operações com matrizes foi definido o produto de uma matriz por outra, linha por coluna. Se o par (x,y)(x, y) é escrito como uma coluna, isto é, como uma matriz de duas linhas e uma coluna, uma matriz AA de duas linhas e duas colunas pode multiplicá-lo, e o resultado é outra coluna de dois elementos, isto é, outro vetor. Desse modo cada matriz move os pontos do plano, e a álgebra das matrizes adquire um significado geométrico. Daqui em diante identificamos o par (x,y)(x, y) com a coluna de elementos xx e yy, e chamamos e⃗1=(1,0)\vec{e}_1 = (1, 0) e e⃗2=(0,1)\vec{e}_2 = (0, 1) de vetores canônicos, de modo que todo vetor se escreve v⃗=xe⃗1+ye⃗2\vec{v} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2.

Uma transformação do plano é uma função que associa a cada vetor do plano outro vetor do plano. Se AA é uma matriz de duas linhas e duas colunas, a transformação de matriz AA é a que associa a cada v⃗\vec{v} o produto Av⃗A\vec{v}.
T(v⃗)=Av⃗=(abcd)(xy)=(ax+bycx+dy)T(\vec{v}) = A\vec{v} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}

Por exemplo, a matriz de elementos 22, 00, 00 e 33 leva o ponto (x,y)(x, y) ao ponto (2x,3y)(2x, 3y): estica o plano ao dobro na direção horizontal e ao triplo na vertical. As transformações de matriz têm uma propriedade que as distingue das demais funções do plano, e que se expressa com a definição dada a seguir.

Uma transformação TT do plano é linear se conserva a soma de vetores e o produto de um vetor por um número: para todos os u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} do plano e todo número real tt valem as duas igualdades abaixo.
T(u⃗+v⃗)=T(u⃗)+T(v⃗),T(tv⃗)=tT(v⃗)T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v}), \qquad T(t\vec{v}) = tT(\vec{v})
TeoremaAs colunas da matriz

Toda transformação de matriz é linear, e as colunas de sua matriz são as imagens dos vetores canônicos: a primeira é a imagem de e⃗1\vec{e}_1 e a segunda a de e⃗2\vec{e}_2. Reciprocamente, toda transformação linear do plano é a transformação de uma única matriz, a saber, a que tem por colunas T(e⃗1)T(\vec{e}_1) e T(e⃗2)T(\vec{e}_2).

Usam-se a distributividade do produto de matrizes e sua compatibilidade com o produto por um número, demonstradas na aula sobre matrizes e operações com matrizes. A figura acompanha a transformação de matriz AA de colunas (2,1)(2, 1) e (−1,1)(-1, 1).

Demonstração

  1. T(u⃗+v⃗)=A⋅(u⃗+v⃗)=Au⃗+Av⃗,T(tv⃗)=A⋅(tv⃗)=tAv⃗T(\vec{u} + \vec{v}) = \resaltar{A \cdot \left( \vec{u} + \vec{v} \right)} = \resaltar{A\vec{u} + A\vec{v}}, \qquad T(t\vec{v}) = \resaltar{A \cdot \left( t\vec{v} \right)} = \resaltar{tA\vec{v}}

    Seja AA uma matriz e TT sua transformação. A distributividade e a compatibilidade com o produto por um número dão as duas condições da linearidade; na figura, o paralelogramo formado por u⃗\vec{u} e v⃗\vec{v} é levado ao formado por suas imagens.

  2. T(e⃗1)=(abcd)(10)=(ac)T(\vec{e}_1) = \resaltar{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = \dato{c1}{\resaltar{\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}}}

    Calculamos a imagem de e⃗1\vec{e}_1: ao multiplicar linha por coluna, de cada linha de AA só conta o primeiro elemento.

  3. T(e⃗2)=(abcd)(01)=(bd)T(\vec{e}_2) = \resaltar{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}} = \dato{c2}{\resaltar{\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}}}

    Do mesmo modo, na imagem de e⃗2\vec{e}_2 só conta o segundo elemento de cada linha.

  4. T(v⃗)=T(xe⃗1+ye⃗2)=xT(e⃗1)+yT(e⃗2)=xAe⃗1+yAe⃗2=Av⃗T(\vec{v}) = \resaltar{T(x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2)} = xT(\vec{e}_1) + yT(\vec{e}_2) = \resaltar{xA\vec{e}_1 + yA\vec{e}_2} = A\vec{v}

    Seja agora TT uma transformação linear qualquer, e seja AA a matriz cujas colunas são T(e⃗1)T(\vec{e}_1) e T(e⃗2)T(\vec{e}_2). Escrevemos v⃗=xe⃗1+ye⃗2\vec{v} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 e aplicamos a linearidade; pelos dois passos acima, T(e⃗1)=Ae⃗1T(\vec{e}_1) = A\vec{e}_1 e T(e⃗2)=Ae⃗2T(\vec{e}_2) = A\vec{e}_2. Na figura, a malha do plano é levada a uma malha de paralelogramos.

  5. Be⃗1=T(e⃗1)=Ae⃗1,Be⃗2=T(e⃗2)=Ae⃗2→B=AB\vec{e}_1 = T(\vec{e}_1) = A\vec{e}_1, \quad B\vec{e}_2 = T(\vec{e}_2) = A\vec{e}_2 \rightarrow B = A

    Se outra matriz BB também cumprisse T(v⃗)=Bv⃗T(\vec{v}) = B\vec{v} para todo v⃗\vec{v}, as colunas de BB, que são Be⃗1B\vec{e}_1 e Be⃗2B\vec{e}_2, coincidiriam com as de AA; a matriz é única.

O teorema reduz o estudo de uma transformação linear ao de dois vetores: para conhecer a matriz basta saber aonde vão e⃗1\vec{e}_1 e e⃗2\vec{e}_2, e para saber o que faz uma matriz basta ler suas colunas. Da linearidade decorrem ainda várias propriedades geométricas. A origem fica fixa, porque A0⃗=0⃗A\vec{0} = \vec{0}; por isso as translações, que movem a origem, não são lineares. A reta de equação vetorial p⃗+td⃗\vec{p} + t\vec{d}, estudada na aula do curso I sobre os vetores, é levada ao conjunto dos pontos Ap⃗+tAd⃗A\vec{p} + tA\vec{d}, que é uma reta se Ad⃗A\vec{d} não é nulo e um só ponto se o é. Do mesmo modo, um segmento é levado a um segmento ou a um ponto, retas paralelas são levadas a retas paralelas ou a pontos, e o quadrado de vértices 0⃗\vec{0}, e⃗1\vec{e}_1, e⃗1+e⃗2\vec{e}_1 + \vec{e}_2 e e⃗2\vec{e}_2, que chamaremos de quadrado unitário, é levado ao paralelogramo, talvez achatado, formado pelas duas colunas da matriz.