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Topos Uranos
Português

Os números complexos como matrizes

Resumo

Esta aula associa a cada número complexo z=a+biz = a + bi a matriz da transformação do plano que multiplica por zz e demonstra que essa correspondência é injetora e transforma somas em somas e produtos em produtos: as matrizes dessa forma constituem uma cópia fiel dos números complexos dentro das matrizes quadradas de ordem dois. Nessa cópia, a unidade imaginária é a rotação de um quarto de volta, cujo quadrado é a oposta da identidade; o quadrado do módulo é o determinante, o conjugado é a transposta e o inverso é a matriz inversa. A forma polar decompõe cada uma dessas matrizes em uma rotação seguida de uma homotetia, e as fórmulas de Euler e de De Moivre reaparecem como a regra de composição das rotações. A aula explica por que essas matrizes comutam, embora as matrizes em geral não o façam, e termina com um primeiro olhar sobre os quatérnios de Hamilton, cujo produto já não é comutativo.

Objetivos de aprendizagem

  1. Obter a matriz da multiplicação por um número complexo e demonstrar que a correspondência entre complexos e matrizes preserva a soma e o produto.
  2. Traduzir em matrizes o módulo, o conjugado, o inverso e a forma polar de um complexo, e interpretar geometricamente cada tradução.
  3. Calcular potências, inversos e raízes de números complexos por meio de suas matrizes, e reconhecer nas fórmulas de Euler e de De Moivre a composição de rotações.
  4. Explicar por que as matrizes dos complexos comutam entre si, demonstrar que são as que comutam com a rotação de um quarto de volta e verificar com suas matrizes que o produto dos quatérnios não é comutativo.

A matriz da multiplicação por um complexo

Na aula do curso Álgebra e Geometria I sobre os números complexos, identificou-se cada complexo x+yix + yi com o ponto (x,y)(x, y) do plano, e demonstrou-se que multiplicar por ii faz girar cada ponto um quarto de volta em torno da origem. Se isso é assim, multiplicar por um complexo fixo zz é uma transformação do plano, que a cada ponto ww associa o ponto zwzw. Na aula sobre as matrizes como transformações do plano, demonstrou-se que uma transformação linear fica determinada por uma matriz, cujas colunas são as imagens dos vetores (1,0)(1, 0) e (0,1)(0, 1). Disso decorre a pergunta que orienta esta aula: que matriz tem a multiplicação por zz, e o que se ganha ao representar cada número complexo por essa matriz?

ProposiçãoA matriz da multiplicação por z

Seja z=a+biz = a + bi um complexo fixo. A transformação do plano que multiplica cada complexo w=x+yiw = x + yi por zz é linear; sua matriz tem por colunas zz e iziz e, se z≠0z \neq 0, leva o quadrado unitário a um quadrado de lado ∣z∣\abs{z}.

Desenvolvemos o produto e lemos nele a matriz. A figura usa z=2+iz = 2 + i.

Demonstração

  1. zw=(a+bi)(x+yi)=ax+ayi+bxi+bi2y=(ax−by)+(bx+ay)izw = (a + bi)(x + yi) = ax + ayi + bxi + b \resaltar{i^2} y = \dato{p}{\resaltar{(ax - by) + (bx + ay) i}}

    Desenvolvemos o produto pela distributividade e substituímos i2i^2 por −1-1.

  2. (ax−bybx+ay)=(a−bba)(xy)\begin{pmatrix} \resaltar{ax - by} \\ \resaltar{bx + ay} \end{pmatrix} = \dato{m}{\begin{pmatrix} \resaltar{a} & \resaltar{-b} \\ \resaltar{b} & \resaltar{a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}

    Escrevemos os pontos como vetores coluna. As coordenadas de zwzw são combinações de xx e de yy com coeficientes fixos: é o produto de uma matriz pelo vetor de ww, e a transformação é, portanto, linear.

  3. z⋅1=a+bi,z⋅i=−b+aiz \cdot \resaltar{1} = \resaltar{a + bi}, \qquad z \cdot \resaltar{i} = \resaltar{-b + ai}

    As colunas da matriz são as imagens de 11 e de ii. A primeira é zz; a segunda é iz=−b+aiiz = -b + ai, a rotação de zz de um quarto de volta.

  4. ∣iz∣=∣i∣∣z∣=∣z∣,z⋅(1+i)=z+iz\abs{iz} = \abs{i} \abs{z} = \resaltar{\abs{z}}, \qquad \resaltar{z \cdot (1 + i)} = \resaltar{z + iz}

    O quadrado unitário, de vértices 00, 11, 1+i1 + i e ii, transforma-se no quadrilátero de vértices 00, zz, z+izz + iz e iziz. Seus lados que saem da origem têm o mesmo comprimento ∣z∣\abs{z} e são perpendiculares: a imagem é um quadrado de lado ∣z∣\abs{z}, girado em relação ao quadrado unitário.

A matriz obtida tem uma forma muito peculiar: seus dois elementos da diagonal são iguais, e os outros dois são opostos. Chama-se matriz do complexo z=a+biz = a + bi, com aa e bb reais, a matriz da multiplicação por zz:

M(z)=(a−bba)M(z) = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}

A primeira coluna de M(z)M(z) é o próprio zz, e a segunda é iziz. Ao separar a parte real e a parte imaginária do complexo, a matriz se decompõe em uma combinação de duas matrizes fixas: a identidade II, que é a matriz do número 11, e a matriz JJ do número ii.

M(a+bi)=a(1001)+b(0−110)=aI+bJM(a + bi) = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = aI + bJ

Em especial, os números reais correspondem aos múltiplos da identidade, M(a)=aIM(a) = aI, que são as homotetias de centro na origem, e os imaginários puros bibi, aos múltiplos de JJ. Os primeiros itens da tabela de correspondências são estes.

M(1)=I,M(i)=J,M(−1)=−I,M(−i)=−J,M(0)=(0000)M(1) = I, \qquad M(i) = J, \qquad M(-1) = -I, \qquad M(-i) = -J, \qquad M(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}