Estruturas algébricas: grupos, anéis e corpos

Operações binárias

Ao longo deste curso e do curso Álgebra e Geometria I, somaram-se e multiplicaram-se naturais, inteiros, racionais, reais e complexos; compuseram-se funções, multiplicaram-se matrizes e efetuaram-se rotações do plano uma após a outra. Cada uma dessas operações toma dois objetos de um conjunto e devolve um terceiro do mesmo conjunto, e em todas elas se demonstraram, uma e outra vez, propriedades parecidas. Esta aula isola essas propriedades e estuda o que delas decorre, seja qual for a natureza dos objetos.

Uma operação binária em um conjunto $A$ é uma regra que associa a cada par ordenado de elementos $a$ e $b$ de $A$ um único elemento de $A$, que se escreve $a \cdot b$, ou simplesmente $ab$. Que o resultado pertença a $A$ se exprime dizendo que $A$ é fechado para a operação.

O ponto não designa aqui necessariamente um produto de números: é o nome genérico da operação, que em cada caso será a soma, o produto, a composição ou qualquer outra. Quando a operação é uma soma, usa-se, por costume, o sinal $+$. As propriedades que interessam são quatro. A operação é associativa se $(ab)c = a(bc)$ para todos os $a$, $b$ e $c$ de $A$, e comutativa se $ab = ba$ para todos os $a$ e $b$. Um elemento $e$ de $A$ é neutro se $ea = ae = a$ para todo $a$; e, se há neutro, um elemento $b$ é inverso de $a$ quando $ab = ba = e$.

Nenhuma das quatro propriedades é automática. A subtração é uma operação binária em $\mathbb{Z}$, mas não é associativa nem comutativa, e não tem neutro: o $0$ cumpre $a - 0 = a$, mas não $0 - a = a$. A divisão não é uma operação binária em $\mathbb{Q}$, porque não associa nada ao par formado por $1$ e $0$. A soma em $\mathbb{N}$ é associativa e comutativa, mas não tem neutro, porque no curso I os naturais começam em $1$. A composição de funções é associativa e não é comutativa, como se demonstrou na aula do curso I sobre as operações com funções, e o mesmo ocorre com o produto de matrizes quadradas de uma mesma ordem, estudado na aula sobre matrizes e operações com matrizes, cujo neutro é a matriz identidade $I$.