Matrizes e estruturas algébricas: síntese e desafios

Resumo

Esta aula encerra a unidade sobre as matrizes e as estruturas algébricas. Reúne em uma cadeia dedutiva o que foi alcançado em suas sete aulas: o produto de matrizes, nascido da composição de substituições lineares; a resolução completa dos sistemas lineares pelo método de Gauss-Jordan e o teorema de Rouché-Capelli (no mundo hispânico, teorema de Rouché-Frobenius); o determinante como área orientada e como critério de unicidade; a matriz inversa e as condições equivalentes à invertibilidade; a leitura das matrizes como transformações do plano; a cópia dos números complexos dentro das matrizes; e as noções de grupo, anel algébrico, corpo e isomorfismo, que dão nome ao que todos esses cálculos têm em comum. Explica como a unidade recolhe resultados das unidades precedentes e do curso Álgebra e Geometria I, o que ficou admitido sem demonstração e como prepara a unidade posterior, sobre a geometria analítica do espaço, e o curso de Cálculo I. Termina com dez desafios de maior dificuldade que os problemas das aulas, que combinam várias delas.

Objetivos de aprendizagem

Reconstruir a cadeia de definições e teoremas da unidade, desde o produto de matrizes até os isomorfismos, explicando em qual resultado se baseia cada um.
Relacionar os resultados da unidade com os das unidades precedentes e do curso I, em particular com os sistemas lineares, os vetores, a rotação de eixos, a forma polar e a aritmética dos restos, distinguir o demonstrado do admitido e antecipar seu uso na geometria do espaço.
Resolver problemas que combinam determinantes, inversas, transformações, matrizes de complexos e estruturas algébricas, escolhendo em cada caso a ferramenta adequada.
Transportar um problema de uma estrutura para outra mediante uma correspondência que preserva as operações, e usar os invariantes de um isomorfismo para decidir se dois grupos são o mesmo.

O que a unidade alcançou

A álgebra das matrizes e os sistemas lineares

O ponto de partida foi uma observação sobre as substituições lineares. Na aula sobre matrizes e operações com matrizes, a tabela da substituição composta obteve-se multiplicando linha por coluna as tabelas das duas substituições, e essa regra foi tomada como definição do produto. Dela decorreram a associatividade, mediante a troca da ordem de duas somas, a distributividade e o caráter neutro da identidade; e, em sentido contrário, viu-se que o produto não é comutativo, que admite divisores de zero e que há matrizes não nulas com alguma potência nula. A transposta inverte a ordem dos fatores, $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ , e o traço não distingue a ordem, $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ , donde a equação $AB - BA = I$ não tem solução em nenhuma ordem.

Com o produto, todo sistema linear escreveu-se como uma só equação $AX = B$ . A aula sobre os sistemas lineares e o método de Gauss-Jordan demonstrou que as operações elementares sobre linhas conservam as soluções e que toda matriz se reduz a uma forma escalonada reduzida; demonstrou, por indução sobre o número de colunas, que essa forma é única, donde o posto não depende do caminho da eliminação, e provou o teorema de Rouché-Capelli: o sistema é possível se e somente se $\operatorname{posto}(A) = \operatorname{posto}(M)$ , e nesse caso suas soluções dependem de $n - r$ parâmetros livres. Daí decorreu que um sistema linear nunca tem exatamente duas soluções, e que um sistema homogêneo com menos equações que incógnitas tem soluções não triviais.

O determinante e a inversa

Ora, para os sistemas quadrados interessa decidir a unicidade sem percorrer toda a eliminação. A aula sobre os determinantes, suas propriedades e a regra de Cramer interpretou o determinante de ordem dois como uma área orientada, definiu-o em qualquer ordem por recorrência, demonstrou por indução sobre a ordem suas seis propriedades e usou-as para calculá-lo por redução. Se isso é assim, cada operação elementar multiplica o determinante por um número não nulo, e daí decorreu que $\det A \neq 0$ se e somente se $\operatorname{posto}(A) = n$ . O teorema de Binet, $\det(AB) = \det A \det B$ , foi demonstrado ali em ordem dois por cálculo direto, e a regra de Cramer, demonstrada em toda ordem com os cofatores de uma coluna, expressou cada incógnita como um quociente de determinantes.

A aula sobre a matriz inversa encerrou este tema. Demonstrou que a inversa é única, que existe se e somente se o determinante não é nulo, e que é a adjunta dividida pelo determinante; que a inversa de um produto inverte a ordem dos fatores; e que cada operação elementar é o produto por uma matriz elementar, donde o método de Gauss-Jordan transforma $\left( A, I \right)$ em $\left( I, A^{-1} \right)$ sem calcular determinantes. Tudo isso reuniu-se em um só teorema de equivalências, que liga as quatro aulas precedentes; dele deduziu-se que basta verificar um dos dois produtos da definição, e com as matrizes elementares demonstrou-se em qualquer ordem o teorema de Binet:

\exists A^{-1} \leftrightarrow \det A \neq 0 \leftrightarrow \operatorname{posto}(A) = n \leftrightarrow \left( AX = 0 \rightarrow X = 0 \right)

A geometria das matrizes

A aula sobre as matrizes como transformações do plano deu a esse cálculo um significado geométrico. Pelo teorema das colunas, as matrizes de ordem dois são exatamente as transformações lineares do plano, e cada uma fica determinada pelas imagens dos dois vetores canônicos; com esse princípio obtiveram-se as matrizes das rotações, das projeções, das reflexões, das homotetias e dos cisalhamentos. Compor transformações revelou-se multiplicar suas matrizes, donde $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ e $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ ; o determinante revelou-se o fator pelo qual se multiplicam as áreas, com sinal negativo se a orientação se inverte; e a rotação de eixos da equação do segundo grau escreveu-se como a passagem de $M$ a $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ , com o traço e o determinante como invariantes.

A aula sobre os números complexos como matrizes aplicou essa leitura à multiplicação por um complexo. A correspondência $M(a + bi) = aI + bJ$ é injetiva e preserva a soma e o produto; nela o módulo ao quadrado é o determinante, o conjugado é a transposta, o inverso é a inversa e a forma polar é uma rotação seguida de uma homotetia, $M(z) = r R_\theta$ . Daí decorreu que as fórmulas de Euler e de De Moivre são a regra de composição das rotações, que as matrizes dos complexos são exatamente as que comutam com $J$ , e que os quatérnios de Hamilton admitem também uma representação por matrizes, cujo produto já não comuta.

As estruturas

Por último, a aula sobre as estruturas algébricas isolou o que é comum. Um grupo é um conjunto com uma operação associativa, com neutro e com inversos; em todo grupo, o neutro e os inversos são únicos, vale o cancelamento e $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ , sem usar a comutatividade. Os subgrupos cíclicos e as classes laterais conduziram ao teorema de Lagrange: a ordem de um subgrupo divide a ordem do grupo. Os anéis algébricos e os corpos acrescentaram uma segunda operação, e, a partir do teorema dos restos invertíveis da aula do curso I sobre as congruências, demonstrou-se que $\mathbb{Z}_n$ é um corpo se e somente se $n$ é primo. Os isomorfismos, finalmente, precisaram a ideia de que dois sistemas com a mesma tábua de operações são o mesmo sistema.

Portanto, a unidade forma uma cadeia: a composição motiva o produto; o produto permite escrever os sistemas como equações $AX = B$ ; a eliminação os resolve e o posto os classifica; o determinante decide a unicidade e a inversa a expressa; a composição de transformações devolve ao produto seu sentido geométrico; os complexos aparecem como uma família de transformações fechada para a soma e a composição; e a noção de grupo mostra que a unicidade do inverso de uma matriz, a do inverso de um número e a da rotação que desfaz outra são um só teorema. A figura abaixo reúne os quatro trechos em uma única cadeia. Cada nó da coluna é uma definição ou um teorema, numerado segundo a ordem lógica e unido por um arco aos elos precedentes que sua demonstração usa; ao redor flutuam os apoios, isto é, os princípios e os instrumentos a que a cadeia recorre repetidas vezes, cada um unido por um traço contínuo aos elos que se apoiam nele e por um tracejado ao elo onde se estabelece, salvo os que se admitem sem demonstração ou provêm de unidades precedentes ou do curso I, que são desenhados como anéis. Ao clicar em um apoio, destacam-se todos os elos que o usam, e cada elo remete à aula em que é demonstrado.

Apoios da cadeia

AIndução. Se uma propriedade se verifica no primeiro caso e passa de cada caso ao imediato, verifica-se em todos; demonstrada na unidade 1 do curso I, serve aqui para as somas duplas, a eliminação, as potências e as rotações. Admitido sem demonstração nesta unidade.
BAssociatividade do produto. Vale $(AB)C = A(BC)$ sempre que os produtos estejam definidos, de modo que um produto de várias matrizes se agrupa à vontade sem alterar a ordem dos fatores. Estabelecido em: 2. Propriedades do produto.
CTeorema das colunas. Toda transformação linear do plano é a de uma única matriz, cujas colunas são as imagens de $\vec{e}_1$ e de $\vec{e}_2$ . Estabelecido em: 16. As colunas da matriz.
DFórmulas de adição. O seno e o cosseno de uma soma, de uma diferença e do ângulo duplo, demonstrados na unidade 2, sobre a trigonometria analítica. Admitido sem demonstração nesta unidade.
EVetores do plano. A distância de um ponto a uma reta, a projeção ortogonal e o critério de paralelismo, demonstrados na unidade 4 do curso I, sobre a geometria analítica do plano. Admitido sem demonstração nesta unidade.
FÁrea do paralelogramo. A área de um paralelogramo é o produto de uma base pela altura correspondente; admite-se, como na geometria elementar, na demonstração do teorema da área orientada. Admitido sem demonstração nesta unidade.
GRestos e congruências. A divisão com resto, a congruência módulo $n$ , sua compatibilidade com a soma e o produto, as classes de restos e o teorema dos restos invertíveis, segundo o qual $a$ tem inverso módulo $n$ se e somente se $\operatorname{mdc}(a, n) = 1$ , demonstrados na unidade 1 do curso I, nas aulas sobre a divisibilidade e sobre as congruências. Admitido sem demonstração nesta unidade.

Trecho 1 A álgebra das matrizes e os sistemas lineares
- Definir o produto de matrizes a partir da composição de substituições lineares e escrever todo sistema linear como uma equação $AX = B$ .
- Demonstrar a associatividade, a distributividade e o caráter neutro da identidade, e reconhecer que o produto não é comutativo e admite divisores de zero.
- Provar que a transposta inverte a ordem dos fatores e que o traço não distingue a ordem.
- Demonstrar que a forma escalonada reduzida é única e definir com ela o posto.
- Resolver todo sistema linear pelo método de Gauss-Jordan e classificá-lo com o teorema de Rouché-Capelli.
1. Produto de matrizes. O elemento $(i, j)$ de $AB$ é a soma dos produtos da linha $i$ de $A$ pela coluna $j$ de $B$ ; assim se obtém a tabela da composição de duas substituições lineares, e todo sistema linear se escreve como $AX = B$ .
  Demonstrado em: Matrizes e operações com matrizes.
2. Propriedades do produto. Pela troca da ordem de duas somas, o produto de matrizes é associativo e distributivo em relação à soma, e as identidades são seu neutro; em contrapartida, não é comutativo e admite divisores de zero e matrizes nilpotentes. Além disso, $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}}$ e $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ , donde a equação $AB - BA = I$ não tem solução.
  Usa: 1. Produto de matrizes. Apoia-se em: A (Indução). Demonstrado em: Matrizes e operações com matrizes.
3. Método de Gauss-Jordan. As operações elementares sobre linhas transformam um sistema em outro equivalente, e toda matriz se reduz com elas, em um número finito de operações, a uma forma escalonada reduzida.
  Usa: 1. Produto de matrizes. Apoia-se em: A (Indução). Demonstrado em: Sistemas lineares e o método de Gauss-Jordan.
4. Unicidade da forma reduzida. Duas formas escalonadas reduzidas às quais se chega a partir de uma mesma matriz são iguais, porque seus sistemas homogêneos têm as mesmas soluções; portanto, o posto, número de linhas não nulas de qualquer forma escalonada, não depende das operações escolhidas.
  Usa: 3. Método de Gauss-Jordan. Apoia-se em: A (Indução). Demonstrado em: Sistemas lineares e o método de Gauss-Jordan.
5. Rouché-Capelli. O sistema $AX = B$ , de matriz ampliada $M$ e $n$ incógnitas, é possível se e somente se $\operatorname{posto}(A) = \operatorname{posto}(M)$ , e então é determinado se o posto é $n$ e depende de $n - r$ parâmetros livres se é $r < n$ ; em particular, $AX = 0$ tem soluções não triviais se e somente se $\operatorname{posto}(A) < n$ .
  Usa: 3. Método de Gauss-Jordan, 4. Unicidade da forma reduzida. Demonstrado em: Sistemas lineares e o método de Gauss-Jordan.
Trecho 2 O determinante e a inversa
- Interpretar o determinante de ordem dois como uma área orientada e defini-lo em qualquer ordem por recorrência.
- Demonstrar por indução sobre a ordem as propriedades do determinante, calculá-lo por redução e decidir com ele a unicidade das soluções.
- Caracterizar as matrizes invertíveis e calcular a inversa pela adjunta e pelo método de Gauss-Jordan.
- Reunir em um só teorema as condições equivalentes à invertibilidade, e deduzir dele a inversa lateral e o teorema de Binet.
1. Área orientada. O valor absoluto do determinante da matriz de colunas $\vec{u}$ e $\vec{v}$ é a área do paralelogramo que determinam, e seu sinal indica se a rotação de $\vec{u}$ para $\vec{v}$ é anti-horária ou horária.
  Apoia-se em: E (Vetores do plano), D (Fórmulas de adição), F (Área do paralelogramo). Demonstrado em: Determinantes: propriedades e regra de Cramer.
2. Propriedades do determinante. Por indução sobre a ordem, a partir do desenvolvimento pela primeira linha, o determinante é linear em cada linha, muda de sinal ao trocar duas linhas, anula-se se uma linha é nula ou se duas são iguais, não muda ao somar a uma linha um múltiplo de outra nem ao transpor, vale o produto da diagonal em uma matriz triangular e se desenvolve por qualquer linha ou coluna.
  Apoia-se em: A (Indução). Demonstrado em: Determinantes: propriedades e regra de Cramer.
3. Determinante e posto. Uma matriz quadrada de ordem $n$ tem determinante não nulo, isto é, é não singular, se e somente se seu posto é $n$ ; portanto, $AX = 0$ tem soluções não nulas se e somente se $A$ é singular, isto é, se $\det A = 0$ .
  Usa: 3. Método de Gauss-Jordan, 4. Unicidade da forma reduzida, 5. Rouché-Capelli, 7. Propriedades do determinante. Demonstrado em: Determinantes: propriedades e regra de Cramer.
4. Regra de Cramer. Se $D = \det A \neq 0$ , o sistema $AX = B$ de $n$ equações com $n$ incógnitas tem uma única solução, $x_k = \frac{D_k}{D}$ , onde $D_k$ resulta de substituir a coluna $k$ pela dos termos independentes; demonstra-se em toda ordem com os cofatores da coluna $k$ .
  Usa: 2. Propriedades do produto, 5. Rouché-Capelli, 7. Propriedades do determinante, 8. Determinante e posto. Demonstrado em: Determinantes: propriedades e regra de Cramer.
5. Unicidade da inversa. Uma matriz quadrada tem no máximo uma inversa: se $AB = BA = I$ e $AD = DA = I$ , então $B = D$ .
  Apoia-se em: B (Associatividade do produto). Demonstrado em: A matriz inversa.
6. Determinante e invertibilidade. Uma matriz quadrada $A$ é invertível se e somente se $\det A \neq 0$ , isto é, se é não singular, e então sua inversa é a adjunta dividida pelo determinante; a necessidade obtém-se pelo posto, sem usar o determinante de um produto, e a suficiência, pelo lema dos cofatores alheios.
  Usa: 5. Rouché-Capelli, 7. Propriedades do determinante, 8. Determinante e posto. Apoia-se em: B (Associatividade do produto). Demonstrado em: A matriz inversa.
7. Propriedades da inversa. Se $A$ e $B$ são invertíveis, também o são $AB$ , $A^{\mathsf{T}}$ , $cA$ com $c \neq 0$ e $A^m$ , e em particular $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ .
  Usa: 2. Propriedades do produto, 10. Unicidade da inversa. Apoia-se em: B (Associatividade do produto), A (Indução). Demonstrado em: A matriz inversa.
8. Inversa por Gauss-Jordan. Cada operação elementar é o produto por uma matriz elementar invertível; se a forma escalonada reduzida de $A$ é $I$ , as operações transformam $\left( A, I \right)$ em $\left( I, A^{-1} \right)$ e $A$ é um produto de matrizes elementares, e, se não é, $A$ não é invertível.
  Usa: 3. Método de Gauss-Jordan, 4. Unicidade da forma reduzida, 12. Propriedades da inversa. Apoia-se em: B (Associatividade do produto). Demonstrado em: A matriz inversa.
9. Caracterizações e inversa lateral. Para uma matriz quadrada $A$ de ordem $n$ são equivalentes: que seja invertível, que $\det A \neq 0$ , que cada sistema $AX = D$ tenha solução única, que $AX = 0$ só tenha a solução trivial, que $\operatorname{posto}(A) = n$ e que sua forma escalonada reduzida seja a identidade. Daí decorre que, se $AB = I$ ou $BA = I$ , então $B = A^{-1}$ .
  Usa: 5. Rouché-Capelli, 4. Unicidade da forma reduzida, 11. Determinante e invertibilidade, 13. Inversa por Gauss-Jordan. Apoia-se em: B (Associatividade do produto). Demonstrado em: A matriz inversa.
10. Determinante do produto. Para todas as matrizes quadradas $A$ e $B$ da mesma ordem vale $\det(AB) = \det A \det B$ : demonstra-se com as matrizes elementares se $A$ é invertível, e pelo posto se não é.
  Usa: 7. Propriedades do determinante, 8. Determinante e posto, 13. Inversa por Gauss-Jordan, 14. Caracterizações e inversa lateral. Apoia-se em: A (Indução). Demonstrado em: A matriz inversa.
Trecho 3 A geometria das matrizes
- Identificar as matrizes de ordem dois com as transformações lineares do plano e obter as matrizes das rotações, das projeções e das reflexões.
- Traduzir a composição de transformações no produto de matrizes, e o determinante no fator de área.
- Escrever a rotação de eixos em forma matricial, com o traço e o determinante como invariantes.
- Representar os números complexos como matrizes, com o módulo, o conjugado, o inverso e a forma polar.
1. As colunas da matriz. Toda transformação de matriz é linear, e toda transformação linear do plano é a de uma única matriz, a que tem por colunas $T(\vec{e}_1)$ e $T(\vec{e}_2)$ .
  Usa: 2. Propriedades do produto. Demonstrado em: As matrizes como transformações do plano.
2. Rotações, projeções e reflexões. A rotação de ângulo $\theta$ em torno da origem, a projeção sobre uma reta que passa pela origem e a reflexão nela são transformações lineares, de matrizes $R_\theta$ , $P_\alpha$ e $S_\alpha$ .
  Apoia-se em: C (Teorema das colunas), D (Fórmulas de adição), E (Vetores do plano). Demonstrado em: As matrizes como transformações do plano.
3. Composição e produto. Se $T$ é a transformação de matriz $A$ e $U$ a de matriz $B$ , a composição $T \circ U$ é a transformação de matriz $AB$ .
  Apoia-se em: B (Associatividade do produto), C (Teorema das colunas). Demonstrado em: As matrizes como transformações do plano.
4. Composição de rotações e reflexões. Valem $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}$ , $R_\theta^{-1} = R_\theta^{\mathsf{T}}$ , $R_\theta^n = R_{n\theta}$ e $S_\alpha S_\beta = R_{2(\alpha - \beta)}$ .
  Usa: 17. Rotações, projeções e reflexões, 18. Composição e produto. Apoia-se em: D (Fórmulas de adição), A (Indução). Demonstrado em: As matrizes como transformações do plano.
5. Determinante como fator de área. A transformação de matriz $A$ leva o quadrado unitário ao paralelogramo de suas colunas e multiplica as áreas por $\abs{\det A}$ , o que se admite para as regiões gerais; conserva a orientação se $\det A > 0$ e a inverte se $\det A < 0$ .
  Usa: 6. Área orientada. Apoia-se em: C (Teorema das colunas). Demonstrado em: As matrizes como transformações do plano.
6. Transformações invertíveis. A transformação de matriz $A$ é bijetora se e somente se $\det A \neq 0$ , e então sua inversa é a de matriz $A^{-1}$ ; se $\det A = 0$ , sua imagem está contida em uma reta que passa pela origem.
  Usa: 11. Determinante e invertibilidade, 18. Composição e produto. Apoia-se em: E (Vetores do plano). Demonstrado em: As matrizes como transformações do plano.
7. Rotação de eixos matricial. Ao girar os eixos pelo ângulo $\theta$ , a matriz simétrica $M$ de uma forma quadrática passa a ser $R_\theta^{\mathsf{T}} M R_\theta$ , que tem o mesmo traço e o mesmo determinante que $M$ .
  Usa: 2. Propriedades do produto, 7. Propriedades do determinante, 15. Determinante do produto, 19. Composição de rotações e reflexões. Demonstrado em: As matrizes como transformações do plano.
8. Complexos como matrizes. A correspondência $M(a + bi) = aI + bJ$ é injetiva e preserva a soma e o produto, e $J$ , a matriz de $i$ , é a rotação de um quarto de volta, cujo quadrado é $-I$ .
  Usa: 1. Produto de matrizes, 17. Rotações, projeções e reflexões. Demonstrado em: Os números complexos como matrizes.
9. Módulo, conjugado e inverso. O determinante de $M(z)$ é $\abs{z}^2$ , a matriz do conjugado é a transposta de $M(z)$ e, se $z \neq 0$ , a matriz de $z^{-1}$ é a inversa de $M(z)$ .
  Usa: 10. Unicidade da inversa, 20. Determinante como fator de área, 23. Complexos como matrizes. Demonstrado em: Os números complexos como matrizes.
10. Forma polar e De Moivre. Se $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , então $M(z) = r R_\theta$ , uma rotação seguida de uma homotetia; e de $R_\theta^n = R_{n\theta}$ decorre a fórmula de De Moivre para todo expoente inteiro.
  Usa: 19. Composição de rotações e reflexões, 23. Complexos como matrizes, 24. Módulo, conjugado e inverso. Apoia-se em: A (Indução). Demonstrado em: Os números complexos como matrizes.
Trecho 4 As estruturas
- Definir os grupos e demonstrar suas propriedades elementares sem usar a comutatividade.
- Estudar os subgrupos cíclicos e demonstrar o teorema de Lagrange.
- Definir os anéis algébricos e os corpos e decidir quando os restos $\mathbb{Z}_n$ formam um corpo.
- Precisar com os isomorfismos quando dois grupos são a mesma estrutura.
1. Propriedades dos grupos. Em todo grupo, o neutro e o inverso de cada elemento são únicos, vale o cancelamento de cada lado e $(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}$ , sem usar a comutatividade.
  Demonstrado em: Estruturas algébricas: grupos, anéis e corpos.
2. Subgrupo cíclico. Em um grupo finito, todo elemento $g$ tem uma ordem $k$ , vale $g^m = e$ se e somente se $k$ divide $m$ , e as potências $e, g, \ldots, g^{k - 1}$ formam um subgrupo de $k$ elementos.
  Usa: 26. Propriedades dos grupos. Apoia-se em: G (Restos e congruências). Demonstrado em: Estruturas algébricas: grupos, anéis e corpos.
3. Teorema de Lagrange. A ordem de um subgrupo de um grupo finito divide a ordem do grupo, porque o grupo se reparte em classes laterais disjuntas com tantos elementos quanto o subgrupo.
  Usa: 26. Propriedades dos grupos. Demonstrado em: Estruturas algébricas: grupos, anéis e corpos.
4. Os restos formam um corpo. Para $n \geq 2$ , os restos $\mathbb{Z}_n$ formam um corpo se $n$ é primo, porque, pelo teorema dos restos invertíveis, todo resto não nulo tem inverso; se $n$ é composto, têm divisores de zero e não o formam.
  Apoia-se em: G (Restos e congruências). Demonstrado em: Estruturas algébricas: grupos, anéis e corpos.
5. O que um isomorfismo preserva. Um isomorfismo de grupos leva o neutro ao neutro, o inverso de cada elemento ao inverso de sua imagem e cada elemento a outro da mesma ordem, e preserva a comutatividade.
  Usa: 26. Propriedades dos grupos, 27. Subgrupo cíclico. Apoia-se em: A (Indução). Demonstrado em: Estruturas algébricas: grupos, anéis e corpos.

Rumo à geometria do espaço. A cadeia não se detém aqui: na unidade posterior, o determinante de ordem três dá o produto vetorial, o produto misto e o volume de um paralelepípedo, e o posto e a matriz inversa decidem e calculam as interseções de retas e planos, de modo que a álgebra desta unidade se converte no instrumento da geometria do espaço.