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LatineResumo
Esta aula abre a quinta e última unidade do curso, dedicada à geometria analítica do espaço. Apresenta as quatro aulas que a compõem e o fio que as une: os vetores do plano, estudados no curso I, convertem-se em ternas de números com um produto escalar que mede comprimentos e ângulos; o determinante de ordem três da unidade precedente dá um produto novo, o vetorial, e com ele o produto misto, que mede áreas e volumes; as retas e os planos descrevem-se com equações lineares, e suas posições relativas decidem-se com o posto e o teorema de Rouché-Capelli (no mundo hispânico, teorema de Rouché-Frobenius); e tudo isso se reúne para medir distâncias e ângulos entre pontos, retas e planos. Percorre o contexto histórico dessas ideias, desde as coordenadas de Descartes e de Fermat, que no século XVII mal saíram do plano, até o cálculo vetorial de Gibbs e de Heaviside e a cristalografia; formula com precisão, por meio de dois túneis de uma rede de metrô, o problema que lhes deu origem, o de decidir se duas retas do espaço se cortam e medir quanto se afastam quando não o fazem; e assinala onde voltam a ser usadas neste curso, em outros cursos do site e na ciência e na técnica.
Objetivos de aprendizagem
- Descrever a sequência de aulas da unidade e explicar que instrumento cada uma fornece e quais toma da unidade sobre as matrizes e da geometria do plano do curso I.
- Situar em seu contexto histórico as coordenadas do espaço, o produto escalar, o produto vetorial e o cálculo vetorial, nomeando o problema que cada ideia veio resolver.
- Formular como um sistema linear a pergunta de se duas retas do espaço se cortam, decidi-la com o posto da matriz ampliada e calcular a menor distância entre duas retas reversas.
- Identificar usos da geometria analítica do espaço na física, na computação gráfica, na robótica, na geodésia, no posicionamento por satélite e na química.
Avaliação de entrada
Antes de percorrer a unidade convém medir o ponto de partida. As oito primeiras perguntas tocam, duas a duas, as quatro aulas da unidade, e a nona é um problema de modelagem, que pede para equacionar com a distância de um ponto a uma reta uma situação em contexto; as mesmas habilidades voltam a ser medidas no final, na aula de síntese. As três últimas verificam o que a unidade supõe conhecido da unidade sobre as matrizes e do curso I. Não há nota: serve para saber o que se domina e onde se deter.
Antes de começar a unidade, meça seu ponto de partida. É uma autoavaliação breve: não recebe nota e seu resultado fica guardado apenas no seu navegador.
Pergunta 1Calcular a distância entre os pontos e .
Resposta correta:
As diferenças das coordenadas são , e , e a distância é . Quem obtém somou as diferenças sem elevá-las ao quadrado e sem extrair a raiz.Revisar: Vetores no espaço e produto escalar
Pergunta 2Que ângulo formam os vetores e ?
Resulta de dividir o produto escalar por uma só das normas, o que dá . O cosseno do ângulo é o produto escalar dividido pelo produto das duas normas.É o ângulo cujo seno vale . O quociente entre o produto escalar e o produto das normas é o cosseno do ângulo, não o seu seno.O produto escalar é e cada vetor tem norma ; o cosseno do ângulo é , que corresponde a .Revisar: Vetores no espaço e produto escalar
Pergunta 3Calcular .
Falta o sinal de menos do segundo termo do desenvolvimento do determinante formal pela primeira linha: a segunda componente é . O vetor não é perpendicular a .É o produto na ordem contrária, . O produto vetorial é anticomutativo: ao trocar a ordem dos fatores, o sinal muda.É o produto componente a componente, que não é perpendicular aos fatores nem tem significado geométrico. Cada componente do produto vetorial é um determinante de ordem dois.As componentes são , e ; o resultado é perpendicular aos dois fatores, como se verifica com o produto escalar.Revisar: Produto vetorial e produto misto
Pergunta 4Calcular o volume do tetraedro de vértices , , e .
Resposta correta:
O produto misto de , e é o determinante de linhas , e , que vale ; é o volume do paralelepípedo, e o do tetraedro é um sexto dele, . Quem obtém calculou o paralelepípedo, e quem obtém tomou a metade, como na área do triângulo.Revisar: Produto vetorial e produto misto
Pergunta 5Qual é a equação do plano que contém , e ?
Tomaram-se como coeficientes os pontos de corte com os eixos. A equação de um plano que corta os eixos em , e é ; aqui, , que equivale a . O ponto não satisfaz .O vetor normal está correto, mas falta calcular o termo independente: essa equação descreve o plano paralelo que contém a origem, e nenhum dos três pontos a satisfaz.É a reta que contém e . Um plano precisa de dois vetores diretores não paralelos, ou de um vetor normal.Um vetor normal é , proporcional a ; o termo independente sai de substituir : . Os três pontos satisfazem a equação.Revisar: Retas e planos no espaço
Pergunta 6Qual é a posição relativa das retas e ?
É o que ocorre no plano com duas retas não paralelas. No espaço, a igualdade dos pontos dá três equações com duas incógnitas, e a terceira, , é impossível.No plano, duas retas sem pontos comuns são paralelas; no espaço não, porque podem ser reversas. Os vetores diretores e não são proporcionais.Seus vetores diretores não são paralelos, e o sistema , , não tem solução; duas retas não paralelas sem pontos comuns são reversas. O produto misto de , e vale , diferente de zero, o que confirma que não estão num mesmo plano.Revisar: Retas e planos no espaço
Pergunta 7Calcular a distância do ponto ao plano .
Resposta correta:
Pela fórmula da distância de um ponto a um plano, . Quem obtém esqueceu de dividir pela norma do vetor normal, e quem obtém somou o termo independente em vez de subtraí-lo.Pergunta 8Que ângulo forma a reta de vetor diretor com o plano ?
É o ângulo da reta com o vetor normal, não com o plano. O ângulo com o plano é o que a reta forma com a sua projeção sobre ele, e é o complemento do ângulo com o vetor normal.Resulta de dividir o produto escalar por uma só das normas, o que dá um cosseno de . É preciso dividir pelo produto das duas normas.A reta seria paralela ao plano se o seu vetor diretor fosse perpendicular ao vetor normal; mas o produto escalar de e vale , não .O vetor diretor e o vetor normal formam um ângulo de cosseno , isto é, de ; o ângulo da reta com o plano é o seu complemento, .Pergunta 9Um drone decola do ponto de um parque e sobe em linha reta na direção do vetor , com as distâncias em metros. No ponto do chão há uma pessoa sentada. A que distância mínima dela passa o drone, em metros?
Resposta correta:
A trajetória é a reta , com de norma , e a distância mínima é a distância de a essa reta: . É atingida no pé da perpendicular, o ponto , porque é perpendicular a . Quem obtém calculou a projeção , que mede quanto o drone avança até esse pé, e não a distância; quem obtém mediu a distância ao ponto de decolagem.Pergunta 10De unidades anterioresCalcular o determinante da matriz de linhas , e .
Resposta correta:
Desenvolvendo pela primeira linha, . Quem obtém esqueceu o sinal alternado do segundo termo do desenvolvimento.Pergunta 11De unidades anterioresUm sistema de três equações lineares com duas incógnitas tem uma matriz dos coeficientes de posto e uma matriz ampliada de posto . Quantas soluções tem?
Que o posto da matriz dos coeficientes seja igual ao número de incógnitas assegura a unicidade somente se o sistema é possível, e a possibilidade exige que a matriz ampliada tenha o mesmo posto.As soluções são infinitas quando o sistema é possível e o posto comum é menor que o número de incógnitas. Aqui o sistema não é possível, porque os dois postos diferem.Pelo teorema de Rouché-Capelli, um sistema tem solução se e somente se as duas matrizes têm o mesmo posto; aqui os postos são distintos, e o sistema é impossível.Pergunta 12De unidades anterioresPara que valor de são perpendiculares os vetores e do plano?
Resposta correta:
Dois vetores não nulos são perpendiculares se e somente se o seu produto escalar é nulo: , donde . Quem obtém trocou um sinal; quem iguala as inclinações procura vetores paralelos, não perpendiculares.
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