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Topos Uranos
Português

Vetores no espaço e produto escalar

Resumo

Esta aula leva ao espaço de três dimensões os vetores que a aula sobre os vetores no plano estudou com duas coordenadas. Fixa um sistema de três eixos perpendiculares com orientação positiva, declara os fatos da geometria euclidiana espacial que se admitem e, aplicando duas vezes o teorema de Pitágoras, obtém a distância entre dois pontos. Define os vetores como ternas de números reais, com sua soma, seu produto por um número, a base canônica e a unicidade das coordenadas; define a norma e o produto escalar, demonstra suas propriedades, a desigualdade de Cauchy-Schwarz pelo discriminante e a desigualdade triangular, e com elas define o ângulo entre dois vetores, que coincide com o da geometria elementar. Estuda depois a ortogonalidade, a projeção ortogonal, os cossenos diretores e a escrita do produto escalar como produto de uma linha por uma coluna, da qual decorre que as matrizes de colunas unitárias e perpendiculares preservam comprimentos e ângulos. As aplicações são o trabalho de uma força, a lei dos cossenos no espaço e o ângulo da molécula de metano; os problemas tratam das diagonais do cubo e do paralelepípedo, dos vetores perpendiculares a dois dados, das trações de três cabos e dos tetraedros com arestas opostas perpendiculares.

Objetivos de aprendizagem

  1. Situar pontos num sistema de coordenadas cartesianas no espaço, reconhecer seu octante e calcular distâncias, justificando a fórmula com o teorema de Pitágoras.
  2. Operar com vetores do espaço, expressá-los na base canônica e demonstrar com eles propriedades de paralelogramos, paralelepípedos e tetraedros.
  3. Calcular normas, produtos escalares, ângulos, projeções ortogonais e cossenos diretores, e demonstrar as desigualdades de Cauchy-Schwarz e triangular no espaço.
  4. Escrever o produto escalar como produto de matrizes e decidir com ele se uma matriz preserva comprimentos e ângulos.
  5. Modelar com o produto escalar o trabalho de uma força, o equilíbrio de forças concorrentes e os ângulos de uma molécula.

O sistema de coordenadas do espaço

Na aula do curso Álgebra e Geometria I sobre os vetores no plano, cada ponto do plano foi identificado com um par de números e cada deslocamento com outro par, e a geometria de retas, ângulos e distâncias se traduziu em cálculos com esses pares. O mundo físico, no entanto, tem três dimensões: a posição de um avião, a de um átomo numa molécula ou a de uma lâmpada pendurada no teto exigem três números. Se assim é, convém repetir a construção com ternas. Quase tudo o que se demonstrou no plano se estende sem mudanças, porque as demonstrações operavam componente a componente ou usavam apenas as propriedades algébricas do produto escalar; nesses casos esta aula remete à do plano. O que exige cuidado é a geometria: no espaço não se dispõe de uma figura plana que contenha tudo, e o ângulo entre dois vetores, por exemplo, deve ser definido antes de ser calculado.

Os fatos da geometria euclidiana espacial que se admitem

A geometria analítica do espaço traduz a geometria dos sólidos, que Euclides expôs nos livros XI a XIII dos Elementos. Sua construção axiomática excede este curso, como ocorreu com a do plano na aula sobre a equação da reta, onde se reuniram numa lista os fatos da geometria plana que se admitem. Do mesmo modo, os fatos do espaço que esta unidade usa se admitem sem demonstração e se reúnem na lista abaixo; cada vez que uma aula da unidade recorre a um deles, remete a ela.

  1. Planos. Por três pontos não colineares passa um único plano, e se dois pontos de uma reta estão num plano, toda a reta está nele. Em cada plano do espaço valem os fatos da geometria plana admitidos na aula sobre a equação da reta; em particular, o teorema de Pitágoras e sua recíproca, e a liberdade de escolher nele um sistema de eixos.
  2. Retas e planos perpendiculares. Por cada ponto passa um único plano perpendicular a uma reta dada, e esse plano corta a reta num único ponto. Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as retas do plano que passam pelo ponto em que ela o corta.
  3. Eixos. Três retas que passam por um ponto OO e são perpendiculares duas a duas, com um sentido positivo em cada uma e a mesma escala de comprimento, formam um sistema de eixos. As distâncias, os ângulos e as figuras não dependem dessa escolha.
  4. Coordenadas. Fixado um sistema de eixos, os planos perpendiculares aos três eixos traçados por um ponto PP os cortam nos pontos de abscissas xx, yy e zz, e reciprocamente, para cada terna de números esses três planos se cortam num único ponto. Os pontos de terceira coordenada igual a cc formam um plano perpendicular ao eixo zz, no qual as duas primeiras coordenadas são coordenadas cartesianas do plano com a mesma escala; os pontos de primeiras coordenadas fixas formam uma reta paralela ao eixo zz, perpendicular a esse plano, sobre a qual a terceira coordenada mede a posição com a mesma escala. O mesmo vale com os eixos permutados.

O quarto fato é uma consequência dos três primeiros que a geometria dos sólidos demonstra com as propriedades das retas paralelas e dos planos paralelos; enuncia-se separadamente porque é a forma em que será usado.

Um sistema de coordenadas cartesianas no espaço é um sistema de eixos, chamados eixo xx, eixo yy e eixo zz, que se cortam na origem OO. Cada ponto PP se identifica com a terna de suas coordenadas, P=(x,y,z)P = (x, y, z), que se chamam abscissa, ordenada e cota. Os três planos coordenados são o plano xyxy, de equação z=0z = 0; o plano yzyz, de equação x=0x = 0; e o plano xzxz, de equação y=0y = 0.

Os planos coordenados dividem o espaço em oito regiões, chamadas octantes, segundo o sinal de cada coordenada; o primeiro octante é o dos pontos com as três coordenadas positivas, e os demais se nomeiam pela terna de seus sinais, por exemplo o octante (+,−,+)(+, -, +). No plano, dois eixos perpendiculares podem dispor-se de duas maneiras essencialmente distintas: o segundo eixo se obtém girando o primeiro um quarto de volta no sentido anti-horário, ou no sentido horário. No espaço ocorre o mesmo com os três eixos, e a distinção tem nome.

Um sistema de coordenadas do espaço tem orientação positiva quando, visto do lado positivo do eixo zz, o quarto de volta que leva o semieixo positivo xx ao semieixo positivo yy se vê no sentido anti-horário. Equivalentemente, vale a regra da mão direita: se os dedos da mão direita se curvam do semieixo positivo xx para o semieixo positivo yy, o polegar aponta o semieixo positivo zz.

Se se inverte o sentido de um dos eixos, a orientação muda; se se invertem dois, conserva-se. Ao permutar os eixos de maneira cíclica, de xx, yy, zz para yy, zz, xx, a orientação tampouco muda, de modo que num sistema positivo, visto do semieixo positivo xx, o giro de yy para zz também é anti-horário. No que segue, todos os sistemas têm orientação positiva. As figuras os desenham em perspectiva cavaleira: o eixo yy para a direita, o eixo zz para cima e o eixo xx para o observador, traçado em diagonal e com os comprimentos reduzidos à metade. A orientação não intervém nesta aula; será essencial na próxima, sobre o produto vetorial e o produto misto.

ExemploSituar um ponto no espaço

Situar o ponto P=(3,4,2)P = (3, 4, 2) percorrendo os eixos, indicar seu octante e situar o ponto P1=(3,4,−2)P_1 = (3, 4, -2).

Demonstração

  1. O=(0,0,0)O = \left( 0, 0, 0 \right)

    Desenhamos os três eixos com orientação positiva: visto de cima, o quarto de volta do semieixo positivo xx ao semieixo positivo yy é anti-horário.

  2. A=(3,0,0)A = \left( \resaltar{3}, 0, 0 \right)

    Avançamos uma distância 33 pelo eixo xx.

  3. B=(3,4,0)B = \left( 3, \resaltar{4}, 0 \right)

    A partir de AA, avançamos uma distância 44 na direção do eixo yy, sem sair do plano xyxy.

  4. P=(3,4,2)P = \left( 3, 4, \resaltar{2} \right)

    A partir de BB, subimos uma distância 22 na direção do eixo zz. As três coordenadas são positivas: PP está no primeiro octante, e é o vértice oposto a OO da caixa de arestas 33, 44 e 22.

  5. P1=(3,4,−2)P_1 = \left( 3, 4, \resaltar{-2} \right)

    Se a partir de BB se desce uma distância 22, chega-se a P1P_1, no octante (+,+,−)(+, +, -). O plano xyxy corta perpendicularmente o segmento PP1P P_1 em seu ponto médio, BB: P1P_1 é o simétrico de PP em relação a esse plano.

A distância entre dois pontos

No plano, a distância entre dois pontos se obteve aplicando uma vez o teorema de Pitágoras a um triângulo de catetos paralelos aos eixos. No espaço é preciso aplicá-lo duas vezes: primeiro num plano horizontal e depois num plano vertical.

TeoremaDistância entre dois pontos

A distância entre os pontos P=(x1,y1,z1)P = (x_1, y_1, z_1) e Q=(x2,y2,z2)Q = (x_2, y_2, z_2) é dada pela fórmula abaixo.

d⁡(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}

Introduz-se um ponto auxiliar RR, à altura de PP e na vertical de QQ. A figura usa P=(1,2,1)P = (1, 2, 1) e Q=(3,5,7)Q = (3, 5, 7).

Demonstração

  1. R=(x2,y2,z1)R = \left( x_2, y_2, \resaltar{z_1} \right)

    Seja RR o ponto com as duas primeiras coordenadas de QQ e a cota de PP. Os pontos PP e RR estão no plano de cota z1z_1, e RR e QQ na reta paralela ao eixo zz formada pelos pontos de primeiras coordenadas x2x_2 e y2y_2.

  2. d⁡(P,R)2=(x2−x1)2+(y2−y1)2{\operatorname{d}(P, R)}^2 = \dato{pr}{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2}

    Pelo fato das coordenadas, no plano de cota z1z_1 as duas primeiras coordenadas são cartesianas, e a fórmula da distância no plano, da aula sobre a equação da reta, dá o comprimento de PRPR. Na figura, 4+9=134 + 9 = 13.

  3. d⁡(R,Q)=∣z2−z1∣\operatorname{d}(R, Q) = \dato{rq}{\abs{z_2 - z_1}}

    Sobre a reta vertical que contém RR e QQ, a cota mede a posição: o comprimento de RQRQ é a diferença das cotas em valor absoluto. Na figura, 7−1=67 - 1 = 6.

  4. d⁡(P,Q)2=d⁡(P,R)2+d⁡(R,Q)2{\operatorname{d}(P, Q)}^2 = \resaltar{{\operatorname{d}(P, R)}^2} + \resaltar{{\operatorname{d}(R, Q)}^2}

    A reta RQRQ é perpendicular ao plano de cota z1z_1 e, pelo segundo fato admitido, à reta PRPR, que está nesse plano e passa por RR. O triângulo PRQPRQ é retângulo em RR e, pelo primeiro fato, o teorema de Pitágoras vale no plano que o contém.

  5. d⁡(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2,13+36=7\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\resaltar{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2} + \resaltar{\left( z_2 - z_1 \right)^2}}, \qquad \sqrt{13 + 36} = 7

    Substituímos e extraímos a raiz quadrada. Se P=RP = R ou R=QR = Q, não há triângulo, mas a fórmula se reduz à de uma só das duas distâncias e continua verdadeira. Na figura, a distância é 77.

Em particular, a distância de P=(x,y,z)P = (x, y, z) à origem é x2+y2+z2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, o comprimento da diagonal da caixa de arestas ∣x∣\abs{x}, ∣y∣\abs{y} e ∣z∣\abs{z}. Por exemplo, a diagonal de um cubo de aresta aa mede a2+a2+a2=a3\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a \sqrt{3}.