Saltar para o conteúdo
Topos Uranos
Português

Raízes n-ésimas de um complexo e raízes da unidade

Resumo

Esta aula resolve nos números complexos a equação zn=wz^n = w. Com a forma polar e a fórmula de De Moivre, demonstra que todo complexo não nulo tem exatamente nn raízes nn-ésimas, que compartilham o módulo e têm argumentos separados por 2πn\frac{2\pi}{n}, de modo que formam um polígono regular centrado na origem. Estuda depois as raízes da unidade: são as potências de uma só delas, multiplicam-se como se somam os restos da divisão por nn, suas potências de expoente mm somam nn ou 00 conforme nn divida ou não mm, e fatoram o polinômio zn−1z^n - 1. Caracteriza com o máximo divisor comum as raízes primitivas, cujas potências percorrem todas as raízes, e obtém, agrupando raízes conjugadas, a fatoração real de xn−1x^n - 1 e de xn+1x^n + 1 em fatores lineares e quadráticos, com a qual reaparece o valor de cos⁡2π5\cos \frac{2\pi}{5}.

Objetivos de aprendizagem

  1. Encontrar as nn raízes nn-ésimas de um complexo não nulo com a forma polar, demonstrar que são exatamente nn e descrevê-las como os vértices de um polígono regular.
  2. Operar com as raízes da unidade como potências de uma delas, calcular as somas de suas potências e fatorar o polinômio zn−1z^n - 1.
  3. Decidir quais raízes da unidade são primitivas por meio do máximo divisor comum, e demonstrar o critério com a identidade de Bézout.
  4. Fatorar nos reais os polinômios xn−1x^n - 1 e xn+1x^n + 1 agrupando raízes conjugadas, e aplicar as raízes da unidade a problemas de distâncias, de valores trigonométricos e de equações.

As raízes nn-ésimas de um complexo

Na aula do curso Álgebra e Geometria I sobre os números complexos resolveu-se a equação z3=1z^3 = 1 fatorando uma diferença de cubos, e anunciou-se que as raízes de índice nn de um complexo qualquer exigiriam a forma polar. O método da fatoração não se generaliza: para a equação z5=1+iz^5 = 1 + i não há nenhum fator à vista. A forma polar, estudada na aula sobre a forma polar dos números complexos, converte, em vez disso, a equação em duas condições reais, uma entre os módulos e outra entre os argumentos, porque, pela fórmula demonstrada na aula sobre a fórmula de De Moivre, elevar um complexo à potência nn eleva seu módulo a nn e multiplica seu argumento por nn.

Sejam ww um número complexo e nn um natural. Um complexo zz é uma raiz nn-ésima de ww quando zn=wz^n = w. As raízes segundas chamam-se raízes quadradas, e as terceiras, raízes cúbicas.

O único complexo cuja potência nn-ésima é 00 é o próprio 00, porque um produto de complexos só se anula se algum de seus fatores se anula; o caso interessante é, portanto, w≠0w \neq 0. Escreve-se então ww em forma polar, w=R(cos⁡φ+isin⁡φ)w = R(\cos \varphi + i \sin \varphi), com R=∣w∣>0R = \abs{w} > 0 e φ\varphi um qualquer de seus argumentos. O símbolo Rn\sqrt[n]{R} conserva o sentido que tem na aula do curso I sobre potências de expoente racional e radicais: designa a raiz principal do real positivo RR, o único real positivo cuja potência nn-ésima é RR. O radical reserva-se para a raiz principal de um real não negativo e, como naquela aula, para a raiz real de índice ímpar de um real negativo, como −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2; aplicado a outro complexo, só será usado com advertência expressa de que designa uma qualquer de suas raízes, porque, como se verá em breve, nenhuma de suas nn raízes se distingue das demais, e escolher uma por convenção rompe as leis dos radicais: se se chamasse raiz quadrada de −1-1 o número ii, o produto dessa raiz por si mesma seria −1-1, e não a raiz quadrada de (−1)(−1)=1(-1)(-1) = 1.

Por último, usa-se o teorema da igualdade em forma polar, demonstrado nessa mesma aula: dois complexos não nulos são iguais se e somente se têm o mesmo módulo e seus argumentos diferem por um múltiplo inteiro de 2π2\pi.

TeoremaRaízes nn-ésimas

Sejam w=R(cos⁡φ+isin⁡φ)w = R(\cos \varphi + i \sin \varphi) um complexo não nulo, com R=∣w∣R = \abs{w}, e nn um natural. A equação zn=wz^n = w tem exatamente nn soluções distintas, que são os complexos zkz_k abaixo, para k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \ldots, n - 1. Todas têm módulo Rn\sqrt[n]{R}, e o argumento de cada uma supera o da precedente em 2πn\frac{2\pi}{n}.

zk=Rn(cos⁡φ+2kπn+isin⁡φ+2kπn)z_k = \sqrt[n]{R} \left( \cos \frac{\varphi + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2k\pi}{n} \right)

Procura-se a solução em forma polar e igualam-se as formas polares de znz^n e de ww. A figura acompanha a demonstração com w=−8=8(cos⁡π+isin⁡π)w = -8 = 8(\cos \pi + i \sin \pi) e n=3n = 3, cujas raízes cúbicas têm módulo 22.

Demonstração

  1. z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)→zn=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \rightarrow \resaltar{z^n} = \dato{m}{\resaltar{r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)}}

    Uma solução não pode ser nula, porque 0n=0≠w0^n = 0 \neq w. Nós a escrevemos em forma polar, com r>0r > 0, e a elevamos à potência nn com a fórmula de De Moivre.

  2. zn=w↔rn=R∧nθ=φ+2kπ,k∈Z\resaltar{z^n = w} \leftrightarrow \dato{c}{\resaltar{r^n = R \wedge n\theta = \varphi + 2k\pi}}, \quad k \in \mathbb{Z}

    Pelo teorema da igualdade em forma polar, a equação zn=wz^n = w equivale a duas condições reais: os módulos são iguais e os argumentos diferem por um múltiplo inteiro de 2π2\pi.

  3. r=Rn,θk=φ+2kπn,k∈Zr = \resaltar{\sqrt[n]{R}}, \qquad \dato{t}{\theta_k = \resaltar{\frac{\varphi + 2k\pi}{n}}}, \quad k \in \mathbb{Z}

    O real positivo cuja potência nn-ésima é RR é único, a raiz principal, e o argumento fica determinado pelo inteiro kk. Reciprocamente, todo complexo com esse módulo e esse argumento é solução, porque cumpre as duas condições. Com w=−8w = -8 e n=3n = 3, resultam r=2r = 2 e θ=π+2kπ3\theta = \frac{\pi + 2k\pi}{3}.

  4. θqn+j=φ+2(qn+j)πn=θj+2qπ→zqn+j=zj\theta_{qn + j} = \resaltar{\frac{\varphi + 2(qn + j)\pi}{n}} = \resaltar{\theta_j + 2q\pi} \rightarrow z_{qn + j} = z_j

    Os inteiros kk são infinitos, mas as soluções não. Pela divisão com resto, todo inteiro se escreve como k=qn+jk = qn + j, com qq inteiro e 0≤j≤n−10 \leq j \leq n - 1; o argumento θk\theta_k excede então θj\theta_j por um múltiplo inteiro de 2π2\pi, e as duas soluções coincidem. Na figura, z3=z0z_3 = z_0.

  5. 0<θl−θj=2(l−j)πn<2π→zl≠zj0 < \theta_l - \theta_j = \resaltar{\frac{2(l - j)\pi}{n}} < 2\pi \rightarrow \resaltar{z_l \neq z_j}

    As soluções z0,z1,…,zn−1z_0, z_1, \ldots, z_{n - 1} são distintas entre si: se 0≤j<l≤n−10 \leq j < l \leq n - 1, seus argumentos diferem por um número compreendido estritamente entre 00 e 2π2\pi, que não é um múltiplo inteiro de 2π2\pi. Há, portanto, exatamente nn soluções. Com w=−8w = -8, são 1+i31 + i\sqrt{3}, −2-2 e 1−i31 - i\sqrt{3}.

Na prática, a primeira raiz tem por argumento φn\frac{\varphi}{n}, e cada uma das demais se obtém somando 2πn\frac{2\pi}{n} ao argumento da precedente. Trocar o argumento φ\varphi de ww por outro, φ+2π\varphi + 2\pi, não muda o conjunto das raízes, só sua numeração: o que antes era z1z_1 passa a chamar-se z0z_0. Para n=2n = 2, os argumentos das duas raízes diferem por π\pi, de modo que são opostas, z1=−z0z_1 = -z_0; é o duplo sinal que aparece na raiz quadrada de um complexo, calculada na aula do curso I sobre os números complexos igualando partes reais e imaginárias. O número de raízes concorda, além disso, com o que se sabe dos polinômios: pelo lema das raízes distintas da aula do curso I sobre a álgebra dos polinômios, cuja demonstração vale sem mudanças nos complexos, o polinômio zn−wz^n - w, de grau nn, não pode ter mais de nn raízes distintas; o teorema mostra que as tem todas.

O polígono regular das raízes

As nn raízes têm o mesmo módulo, de modo que estão na circunferência de centro 00 e raio Rn\sqrt[n]{R}, e seus argumentos estão igualmente espaçados. O teorema a seguir expressa essa disposição com o produto de complexos, que em forma polar multiplica os módulos e soma os argumentos, como se demonstrou na aula sobre a forma polar.

TeoremaO polígono das raízes

Sejam ww um complexo não nulo, com R=∣w∣R = \abs{w}, e n≥3n \geq 3 um natural. Cada raiz nn-ésima de ww se obtém da precedente multiplicando-a pelo número ω\omega abaixo, o que equivale a girá-la de um ângulo de 2πn\frac{2\pi}{n} em torno da origem; as nn raízes são os vértices de um polígono regular de nn lados inscrito na circunferência de centro 00 e raio Rn\sqrt[n]{R}, e seu lado mede 2Rnsin⁡πn2\sqrt[n]{R} \sin \frac{\pi}{n}.

zk+1=zk ω,ω=cos⁡2πn+isin⁡2πnz_{k + 1} = z_k \, \omega, \qquad \omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}

A figura acompanha a demonstração com w=64iw = 64i, cujas raízes cúbicas, quartas e sextas estão em circunferências de raios 643=4\sqrt[3]{64} = 4, 644=22\sqrt[4]{64} = 2\sqrt{2} e 646=2\sqrt[6]{64} = 2.

Demonstração

  1. zk ω=Rn(cos⁡(θk+2πn)+isin⁡(θk+2πn))=zk+1z_k \, \omega = \sqrt[n]{R} \left( \cos \resaltar{\left( \theta_k + \frac{2\pi}{n} \right)} + i \sin \left( \theta_k + \frac{2\pi}{n} \right) \right) = \dato{g}{\resaltar{z_{k + 1}}}

    Como ∣ω∣=1\abs{\omega} = 1, o produto zkωz_k \omega tem o módulo de zkz_k e seu argumento aumentado em 2πn\frac{2\pi}{n}: é a raiz que vem depois dela. Por indução sobre kk, cada raiz é a primeira multiplicada por uma potência de ω\omega, zk=z0ωkz_k = z_0 \omega^k.

  2. ∣uω−vω∣=∣(u−v)ω∣=∣u−v∣∣ω∣=∣u−v∣\abs{u\omega - v\omega} = \abs{\resaltar{(u - v)\omega}} = \abs{u - v} \abs{\omega} = \dato{d}{\resaltar{\abs{u - v}}}

    Multiplicar por ω\omega é, portanto, girar de um ângulo de 2πn\frac{2\pi}{n} em torno da origem, e essa rotação conserva as distâncias, porque o módulo de um produto é o produto dos módulos.

  3. ∣zk+2−zk+1∣=∣zk+1ω−zkω∣=∣zk+1−zk∣\abs{z_{k + 2} - z_{k + 1}} = \abs{\resaltar{z_{k + 1} \omega - z_k \omega}} = \resaltar{\abs{z_{k + 1} - z_k}}

    A rotação leva cada lado do polígono ao que vem depois dele, de modo que todos os lados medem o mesmo.

  4. zn−1ω=z0ωn−1ω=z0ωn=z0z_{n - 1} \omega = z_0 \resaltar{\omega^{n - 1} \omega} = z_0 \omega^n = \resaltar{z_0}

    O polígono se fecha, porque ωn=1\omega^n = 1: a rotação leva o último vértice ao primeiro. Os nn vértices estão na circunferência e os lados são iguais. Além disso, a rotação leva o triângulo de vértices zkz_k, zk+1z_{k + 1} e zk+2z_{k + 2} ao de vértices zk+1z_{k + 1}, zk+2z_{k + 2} e zk+3z_{k + 3} conservando os três lados, e pela lei dos cossenos um ângulo de um triângulo fica determinado por seus três lados: os ângulos do polígono, que são os desses triângulos no vértice central, são iguais, e o polígono é regular.

  5. ∣z1−z0∣=∣z0∣∣ω−1∣=2Rnsin⁡πn\abs{z_1 - z_0} = \abs{z_0} \resaltar{\abs{\omega - 1}} = \resaltar{2\sqrt[n]{R} \sin \frac{\pi}{n}}

    O lado se calcula no triângulo de vértices 00, z0z_0 e z1z_1. Pela fórmula do ângulo metade, ∣ω−1∣2=2−2cos⁡2πn=4sin⁡2πn\abs{\omega - 1}^2 = 2 - 2\cos \frac{2\pi}{n} = 4\sin^2 \frac{\pi}{n}, e o seno de πn\frac{\pi}{n} é positivo. Para as raízes sextas de 64i64i, o lado vale 2⋅2⋅12=22 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2, igual ao raio, como em todo hexágono regular.

Para n=2n = 2, o polígono degenera em um diâmetro, cujas extremidades são as duas raízes opostas, e para n=1n = 1 há uma só raiz, o próprio ww. Que as raízes formem um polígono regular explica por que nenhuma se distingue das demais: a rotação de 2πn\frac{2\pi}{n} as permuta sem alterar a figura.