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A fórmula de De Moivre e as potências de complexos

Resumo

Esta aula demonstra a fórmula de De Moivre, segundo a qual a potência de expoente inteiro nn de um complexo de módulo 11 e argumento θ\theta tem argumento nθn\theta, e a aplica em cinco direções. Calcula potências de expoente elevado sem desenvolver produtos e decide quando uma potência é real ou vale 11; recupera as fórmulas dos arcos múltiplos comparando a fórmula com o binômio de Newton; expressa as potências do cosseno e do seno como somas de cossenos de arcos múltiplos, operação que se chama linearização; calcula as somas de senos e de cossenos em progressão aritmética como uma soma geométrica de complexos, e obtém somas de coeficientes binomiais como partes real e imaginária das potências de 1+i1 + i.

Objetivos de aprendizagem

  1. Demonstrar a fórmula de De Moivre para todo expoente inteiro e interpretar geometricamente as potências de um complexo.
  2. Calcular potências de complexos por meio da forma polar e determinar quando são reais ou iguais a 11.
  3. Deduzir as fórmulas dos arcos múltiplos e linearizar as potências do seno e do cosseno.
  4. Calcular somas trigonométricas e somas de coeficientes binomiais como partes real e imaginária de somas e de potências de complexos.

A fórmula de De Moivre

Na aula sobre a forma polar dos números complexos, todo complexo não nulo foi escrito como z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right), onde r=∣z∣r = \abs{z} é o seu módulo e θ\theta é um dos seus argumentos, e demonstrou-se, com as fórmulas do seno e do cosseno de uma soma, que num produto os módulos se multiplicam e os argumentos se somam. Para dois complexos de módulo 11, esse teorema do produto escreve-se assim:

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

Se os dois fatores são iguais, o produto é um quadrado, de argumento 2θ2\theta; se se multiplica outra vez pelo mesmo fator, resulta um cubo, de argumento 3θ3\theta. Ao repetir o produto, o argumento soma-se consigo mesmo tantas vezes quantos são os fatores, de modo que elevar a uma potência se reduz a multiplicar um ângulo por um inteiro. Este fato, que Abraham de Moivre empregou em forma equivalente no começo do século XVIII e que Euler escreveu em sua forma atual em 1748, é o objeto desta aula.

TeoremaFórmula de De Moivre

Para todo número real θ\theta e todo inteiro nn, vale a igualdade abaixo.

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)

A demonstração trata três casos: o expoente 00, os expoentes naturais, por indução, e os expoentes negativos, por meio do inverso. Usa-se o princípio de indução na forma da aula do curso Álgebra e Geometria I sobre somatórios, progressões e indução, e as potências de expoente inteiro da aula sobre os números complexos, onde z0=1z^0 = 1 e z−m=1zmz^{-m} = \frac{1}{z^m}. A figura acompanha a demonstração sobre a circunferência de raio 11, com um ângulo θ\theta pequeno e n=3n = 3.

Demonstração

  1. (cos⁡θ+isin⁡θ)0=1=cos⁡0+isin⁡0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^0 = \resaltar{1} = \resaltar{\cos 0 + i \sin 0}

    Para n=0n = 0, o primeiro membro vale 11 por definição, e o segundo também, porque cos⁡0=1\cos 0 = 1 e sin⁡0=0\sin 0 = 0.

  2. (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\dato{h}{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)}

    Para n=1n = 1, a igualdade é evidente. Hipótese de indução: supomos que vale para um natural nn.

  3. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡θ+isin⁡θ)n(cos⁡θ+isin⁡θ)=(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))(cos⁡θ+isin⁡θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) = \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

    A potência que vem depois é o produto da que a precede pela base, e esta é substituída pela hipótese de indução.

  4. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡(nθ)cos⁡θ−sin⁡(nθ)sin⁡θ)+i(sin⁡(nθ)cos⁡θ+cos⁡(nθ)sin⁡θ)=cos⁡((n+1)θ)+isin⁡((n+1)θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos(n\theta) \cos \theta - \sin(n\theta) \sin \theta \right)} + i \resaltar{\left( \sin(n\theta) \cos \theta + \cos(n\theta) \sin \theta \right)} = \dato{p}{\cos((n + 1)\theta) + i \sin((n + 1)\theta)}

    Ao desenvolver o produto, a parte real e a parte imaginária são os segundos membros das fórmulas do cosseno e do seno de uma soma, da aula sobre as fórmulas de adição e subtração: é o teorema do produto e do quociente em forma polar. Obtém-se a fórmula para n+1n + 1, e pelo princípio de indução ela vale para todo natural.

  5. (cos⁡θ+isin⁡θ)−1=cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)=cos⁡θ−isin⁡θ\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-1} = \dato{i}{\resaltar{\cos(-\theta) + i \sin(-\theta)}} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta}

    Pelo teorema do produto, cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta multiplicado por cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)\cos(-\theta) + i \sin(-\theta) dá cos⁡0+isin⁡0=1\cos 0 + i \sin 0 = 1: o segundo fator é, portanto, o inverso do primeiro. Como o cosseno é par e o seno é ímpar, o inverso é o conjugado.

  6. (cos⁡θ+isin⁡θ)−m=(cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ))m=cos⁡(−mθ)+isin⁡(−mθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-m} = \resaltar{\left( \cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \right)^m} = \resaltar{\cos(-m\theta) + i \sin(-m\theta)}

    Se n=−mn = -m, com mm natural, a potência de expoente −m-m é a potência mm-ésima do inverso, pelas propriedades das potências. Aplica-se o caso natural ao ângulo −θ-\theta.

A fórmula estende-se a todos os complexos não nulos, porque a potência de um produto é o produto das potências, também para expoentes negativos: o inverso de um produto é o produto dos inversos.

TeoremaPotências em forma polar

Se z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) é um complexo não nulo, então para todo inteiro nn vale zn=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right): o módulo de znz^n é rnr^n, e nθn\theta é um argumento de znz^n. Separa-se o fator real do fator de módulo 11 e aplica-se a este a fórmula de De Moivre. A figura acompanha a demonstração com um complexo de módulo um pouco maior que 11 e n=3n = 3, e termina com z=3+i=2(cos⁡π6+isin⁡π6)z = \sqrt{3} + i = 2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) e as suas três primeiras potências.

Demonstração

  1. zn=(r(cos⁡θ+isin⁡θ))n=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)nz^n = \left( r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) \right)^n = \dato{p}{\resaltar{r^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n}

    A potência de um produto é o produto das potências: para expoentes naturais, pela comutatividade e pela associatividade do produto, e para expoentes negativos porque o inverso de um produto é o produto dos inversos.

  2. zn=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)n=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \dato{f}{r^n \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)}}

    Ao segundo fator aplica-se a fórmula de De Moivre, válida para todo inteiro nn.

  3. rn>0→∣zn∣=rn,arg⁡zn=nθ\resaltar{r^n > 0} \rightarrow \abs{z^n} = \resaltar{r^n}, \qquad \arg z^n = \resaltar{n\theta}

    Como r>0r > 0, a potência rnr^n é um real positivo, também para nn negativo. Pelo teorema da igualdade em forma polar, a expressão obtida é uma forma polar de znz^n: o seu módulo é rnr^n, e nθn\theta é um dos seus argumentos.

  4. (3+i)3=23(cos⁡π2+isin⁡π2)=8i\left( \sqrt{3} + i \right)^3 = \resaltar{2^3} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{8i}

    Com z=3+iz = \sqrt{3} + i, as potências têm módulos 22, 44 e 88 e argumentos π6\frac{\pi}{6}, π3\frac{\pi}{3} e π2\frac{\pi}{2}: o cubo é um imaginário puro.

Daí segue-se que as potências z,z2,z3,…z, z^2, z^3, \ldots têm módulos em progressão geométrica de razão rr e argumentos em progressão aritmética de razão θ\theta, no sentido da aula do curso I sobre os somatórios e as progressões. Se r=1r = 1, todas estão na circunferência de raio 11, cada uma girada de um ângulo θ\theta em relação à que a precede; se r>1r > 1, giram e afastam-se da origem; se r<1r < 1, giram e aproximam-se dela. Além disso, como zk+1=z⋅zkz^{k + 1} = z \cdot z^k e o produto por zz é uma rotação de ângulo θ\theta composta com uma dilatação de razão rr, todos os triângulos de vértices 00, zkz^k e zk+1z^{k + 1} são semelhantes ao de vértices 00, 11 e zz, como se demonstrou na aula sobre a forma polar.

ExemploA espiral das potências

Seja zz o complexo de módulo 1110\frac{11}{10}, um pouco maior que 11, e argumento π4\frac{\pi}{4}. Calculamos algumas das suas potências até a oitava e descrevemos a curva em que se situam.

Demonstração

  1. z=1110(cos⁡π4+isin⁡π4)=11220(1+i)\dato{z}{z = \frac{11}{10} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{11\sqrt{2}}{20} (1 + i)

    Em forma polar e em forma algébrica, o número é dado a seguir.

  2. z2=(1110)2(cos⁡π2+isin⁡π2)=121100iz^2 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{\frac{121}{100} i}

    Pelo teorema das potências em forma polar, o quadrado tem argumento π2\frac{\pi}{2}: é um imaginário puro.

  3. z4=(1110)4(cos⁡π+isin⁡π)=−1464110000z^4 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^4} \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = \resaltar{-\frac{14641}{10000}}

    A quarta potência tem argumento π\pi: é um real negativo.

  4. z8=(1110)8(cos⁡2π+isin⁡2π)=214358881100000000z^8 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^8} \left( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right) = \resaltar{\frac{214358881}{100000000}}

    A oitava potência tem argumento 2π2\pi: depois de uma volta completa, volta ao semieixo real positivo, a uma distância da origem um pouco maior que 22.

  5. ∣zk+1−zk∣=∣zk(z−1)∣=∣z∣k∣z−1∣\abs{z^{k + 1} - z^k} = \resaltar{\abs{z^k \left( z - 1 \right)}} = \resaltar{\abs{z}^k \abs{z - 1}}

    A distância entre duas potências consecutivas também cresce em progressão geométrica de razão 1110\frac{11}{10}, pelo teorema do módulo de um produto. Os pontos estão na curva que, em coordenadas polares, estudadas na aula sobre as coordenadas polares e as curvas polares, tem por equação r=(1110)4θπr = \left( \frac{11}{10} \right)^{\frac{4\theta}{\pi}}: uma espiral, chamada logarítmica, que, como se demonstra com o cálculo diferencial, corta cada reta que passa pela origem sempre sob o mesmo ângulo.