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Topos Uranos
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A forma polar dos números complexos

Resumo

Esta aula escreve cada número complexo não nulo por meio de seu módulo e de um argumento, o ângulo polar do ponto que o representa, e obtém assim sua forma polar ou trigonométrica, z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right). Descreve todos os argumentos de um complexo, define o argumento principal e o calcula com o arco-tangente corrigido segundo o quadrante, e demonstra quando duas formas polares representam o mesmo número. Com as fórmulas de adição e subtração demonstra o teorema central: ao multiplicar dois complexos seus módulos se multiplicam e seus argumentos se somam, e ao dividi-los os módulos se dividem e os argumentos se subtraem; dele se deduzem o argumento do conjugado e o do inverso, e adverte-se que o argumento principal de um produto só é a soma dos argumentos principais a menos de uma volta. Por último, interpreta o produto por um complexo como uma rotação composta com uma dilatação, que generaliza o quarto de volta do produto por ii, e demonstra que os triângulos de vértices 00, 11, ww e 00, zz, zwzw são semelhantes.

Objetivos de aprendizagem

  1. Escrever um complexo não nulo em forma polar, calcular seu argumento principal segundo o quadrante e decidir quando duas formas polares representam o mesmo número.
  2. Demonstrar com as fórmulas de adição e subtração que num produto os módulos se multiplicam e os argumentos se somam, e deduzir as regras do quociente, do conjugado e do inverso.
  3. Interpretar o produto por um complexo como uma rotação composta com uma dilatação, e demonstrar a semelhança dos triângulos de vértices 00, 11, ww e 00, zz, zwzw.
  4. Aplicar a forma polar a valores exatos de razões trigonométricas, a identidades entre arco-tangentes, a equações com zz e seu conjugado e a lugares geométricos definidos por argumentos.

A forma polar de um número complexo

Na aula do curso Álgebra e Geometria I sobre os números complexos representou-se cada complexo z=a+biz = a + bi como o ponto (a,b)(a, b) do plano, definiu-se seu módulo ∣z∣\abs{z} como a distância desse ponto à origem e demonstrou-se que o produto por ii gira cada ponto um quarto de volta. Ficou pendente o produto por um complexo qualquer, cujo efeito não se lê na forma algébrica: a parte real de (a+bi)(c+di)(a + bi)(c + di) é ac−bdac - bd, expressão que não revela geometria alguma. Ora, um ponto do plano também pode ser nomeado por sua distância à origem e pela direção em que é visto a partir dela, como na aula sobre as coordenadas polares. Se isso é assim para os pontos, também o é para os complexos; e nessa segunda descrição, como se demonstrará, o produto se torna transparente.

Seja z=a+biz = a + bi um complexo não nulo. Um argumento de zz é todo número real θ\theta tal que a=∣z∣cos⁡θa = \abs{z} \cos \theta e b=∣z∣sin⁡θb = \abs{z} \sin \theta. Se r=∣z∣r = \abs{z} e θ\theta é um argumento de zz, a expressão a seguir é uma forma polar, ou forma trigonométrica, de zz.
z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

Todo complexo não nulo tem argumentos. Com efeito, pelo teorema da passagem das coordenadas cartesianas às polares, demonstrado na aula sobre as coordenadas polares, o ponto (a,b)(a, b), distinto do polo, tem uma representação polar (r,θ)(r, \theta) com r>0r > 0, e seu raio é r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}, isto é, o módulo de zz; as igualdades a=rcos⁡θa = r \cos \theta e b=rsin⁡θb = r \sin \theta dizem então que o ângulo polar θ\theta é um argumento de zz. Um argumento de zz é, portanto, o ângulo que o segmento que une a origem a zz forma com o semieixo real positivo, medido em radianos. O zero, por outro lado, não tem argumento: a igualdade 0=0(cos⁡θ+isin⁡θ)0 = 0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) vale para todo θ\theta, e nenhum ângulo o distingue. Para designar qualquer um dos argumentos de zz escreve-se arg⁡z\arg z, que se lê “argumento de zz”.

O teorema a seguir diz que o módulo e o argumento, ao contrário das coordenadas polares de raio negativo, determinam o complexo sem ambiguidade, a menos de voltas completas. Dele depende todo cálculo com formas polares: para demonstrar que dois complexos são iguais bastará comparar seus módulos e seus argumentos.

TeoremaIgualdade em forma polar

Sejam rr, r1r_1 e r2r_2 reais positivos, e θ\theta, θ1\theta_1 e θ2\theta_2 números reais. O complexo r(cos⁡θ+isin⁡θ)r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) tem módulo rr e argumento θ\theta. Além disso, os complexos r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) e r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) são iguais se e somente se r1=r2r_1 = r_2 e θ1−θ2=2kπ\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi para algum inteiro kk. Usam-se a identidade pitagórica, a periodicidade do seno e do cosseno e a caracterização dos ângulos côngruos da aula sobre os ângulos e sua medida: dois ângulos dão o mesmo ponto da circunferência unitária exatamente quando diferem por um múltiplo inteiro de 2π2\pi.

Demonstração

  1. ∣z∣2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2\abs{z}^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2}

    Seja z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right), com r>0r > 0. Sua parte real é rcos⁡θr \cos \theta e sua parte imaginária, rsin⁡θr \sin \theta; pela identidade pitagórica, o quadrado de seu módulo é r2r^2.

  2. ∣z∣=r,rcos⁡θ=∣z∣cos⁡θ,rsin⁡θ=∣z∣sin⁡θ\dato{m}{\resaltar{\abs{z} = r}}, \qquad r \cos \theta = \resaltar{\abs{z} \cos \theta}, \qquad r \sin \theta = \abs{z} \sin \theta

    Os números ∣z∣\abs{z} e rr são positivos e têm o mesmo quadrado; portanto, são iguais, e as partes de zz são as que a definição exige: θ\theta é um argumento de zz. Toda expressão desta forma com r>0r > 0 é, portanto, uma forma polar.

  3. r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)→r1=r2r_1 \left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) = r_2 \left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) \rightarrow \dato{r}{\resaltar{r_1 = r_2}}

    Se os complexos de módulo r1r_1 e r2r_2 são iguais, têm o mesmo módulo, e pelo passo precedente seus módulos são r1r_1 e r2r_2.

  4. cos⁡θ1=cos⁡θ2∧sin⁡θ1=sin⁡θ2↔θ1−θ2=2kπ\resaltar{\cos \theta_1 = \cos \theta_2 \wedge \sin \theta_1 = \sin \theta_2} \leftrightarrow \resaltar{\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi}

    Igualamos as partes reais e as imaginárias e dividimos por r1=r2r_1 = r_2, que não é nulo: os ângulos θ1\theta_1 e θ2\theta_2 dão o mesmo ponto da circunferência unitária, de modo que são côngruos.

  5. cos⁡(θ2+2kπ)=cos⁡θ2,sin⁡(θ2+2kπ)=sin⁡θ2\cos(\resaltar{\theta_2 + 2k\pi}) = \resaltar{\cos \theta_2}, \qquad \sin(\theta_2 + 2k\pi) = \sin \theta_2

    Reciprocamente, se r1=r2r_1 = r_2 e θ1=θ2+2kπ\theta_1 = \theta_2 + 2k\pi, pela periodicidade do seno e do cosseno as duas expressões têm as mesmas partes, e os complexos são iguais.

Daí se segue que, se θ\theta é um argumento de zz, os argumentos de zz são exatamente os números θ+2kπ\theta + 2k\pi, com kk inteiro: dois argumentos de um mesmo complexo diferem sempre por voltas completas. A igualdade arg⁡z=θ\arg z = \theta significa, portanto, que θ\theta é um dos argumentos de zz, e não fixa os demais. Convém advertir, além disso, que o teorema exige r>0r > 0: a expressão −2(cos⁡π3+isin⁡π3)-2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) não é uma forma polar, porque −2-2 não é um módulo; como −cos⁡θ=cos⁡(θ+π)-\cos \theta = \cos(\theta + \pi) e −sin⁡θ=sin⁡(θ+π)-\sin \theta = \sin(\theta + \pi), o mesmo número se escreve em forma polar como 2(cos⁡4π3+isin⁡4π3)2\left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right).

O argumento principal

Entre os argumentos de um complexo não nulo há exatamente um no intervalo (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}, porque esse intervalo tem comprimento 2π2\pi e contém um único representante de cada família θ+2kπ\theta + 2k\pi. Esse argumento se chama argumento principal de zz, escreve-se Arg⁡z\operatorname{Arg} z e lê-se “argumento principal de zz”. Pelo teorema da aula sobre as coordenadas polares, com aa e bb no papel de xx e yy, ele se calcula com o arco-tangente da aula sobre as funções trigonométricas inversas, que só enxerga o primeiro e o quarto quadrantes e deve ser corrigido nos outros dois:

Arg⁡z={arctan⁡baa>0arctan⁡ba+πa<0∧b≥0arctan⁡ba−πa<0∧b<0π2a=0∧b>0−π2a=0∧b<0\operatorname{Arg} z = \begin{cases} \arctan \frac{b}{a} & a > 0 \\ \arctan \frac{b}{a} + \pi & a < 0 \wedge b \geq 0 \\ \arctan \frac{b}{a} - \pi & a < 0 \wedge b < 0 \\ \frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b < 0 \end{cases}
ExemploA forma polar de um complexo do segundo quadrante

Escrevemos em forma polar o complexo z=−3+iz = -\sqrt{3} + i e descrevemos todos os seus argumentos. A figura acompanha o cálculo no plano complexo.

Demonstração

  1. ∣z∣=(−3)2+12=4=2\abs{z} = \sqrt{\resaltar{\left( -\sqrt{3} \right)^2 + 1^2}} = \sqrt{4} = \dato{m}{\resaltar{2}}

    O módulo é a distância do ponto (−3,1)\left( -\sqrt{3}, 1 \right) à origem.

  2. arctan⁡1−3=arctan⁡(−33)=−π6\arctan \frac{1}{-\sqrt{3}} = \resaltar{\arctan\left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)} = \dato{a}{\resaltar{-\frac{\pi}{6}}}

    O arco-tangente do quociente entre a parte imaginária e a parte real dá um ângulo do quarto quadrante: é o argumento do ponto oposto, 3−i\sqrt{3} - i, e não o de zz.

  3. Arg⁡z=−π6+π=5π6\operatorname{Arg} z = \resaltar{-\frac{\pi}{6} + \pi} = \dato{t}{\resaltar{\frac{5\pi}{6}}}

    Como a parte real é negativa e a imaginária é positiva, o ponto está no segundo quadrante, e a fórmula soma π\pi.

  4. z=2(cos⁡5π6+isin⁡5π6)=2(−32+12i)=−3+iz = 2\left( \resaltar{\cos \frac{5\pi}{6}} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 2\left( \resaltar{-\frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{1}{2} i \right) = -\sqrt{3} + i

    Verificamos a forma polar com os valores do cosseno e do seno de 5π6\frac{5\pi}{6}, que se obtêm dos de π6\frac{\pi}{6} pela simetria do ângulo suplementar.

  5. arg⁡z=5π6+2kπ,k∈Z\arg z = \resaltar{\frac{5\pi}{6} + 2k\pi}, \qquad k \in \mathbb{Z}

    Os demais argumentos diferem do principal por voltas completas: por exemplo, −7π6-\frac{7\pi}{6} e 17π6\frac{17\pi}{6} também são argumentos de zz, mas não estão em (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}.

Os complexos situados sobre os eixos têm formas polares que convém reconhecer de imediato. Os reais positivos têm argumento principal 00, e os negativos, π\pi; os imaginários puros bibi com b>0b > 0 têm argumento principal π2\frac{\pi}{2}, e com b<0b < 0, −π2-\frac{\pi}{2}. Assim, por exemplo:

−1=cos⁡π+isin⁡π,i=cos⁡π2+isin⁡π2,−2i=2(cos⁡(−π2)+isin⁡(−π2))-1 = \cos \pi + i \sin \pi, \qquad i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}, \qquad -2i = 2\left( \cos\left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

O intervalo (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} é uma convenção, a mesma da aula sobre as coordenadas polares; outros textos usam [0,2π)\ico{0}{2\pi}. O que não depende da convenção é o conjunto de todos os argumentos, e por isso os teoremas desta aula se enunciam com argumentos quaisquer, salvo quando se disser expressamente o contrário.