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Topos Uranos
Français

Géométrie et nombres complexes

Résumé

Cette leçon emploie les nombres complexes comme coordonnées du plan et traduit en opérations algébriques les notions de la géométrie élémentaire : la distance est le module d’une différence, le milieu et le centre de gravité sont des moyennes, et les mouvements du plan sont des formules brèves. Elle démontre que R(z)=c+eiφ(z−c)R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c) est la rotation de centre cc et d’angle φ\varphi, que la symétrie par rapport à une droite passant par l’origine et d’angle α\alpha est S(z)=e2iαz‾S(z) = e^{2i\alpha}\conj{z} et que la composée de deux symétries est une rotation. Elle caractérise l’alignement et la perpendicularité au moyen d’un quotient, définit l’orientation d’un triangle par le signe de la partie imaginaire de ce quotient, démontre que trois points forment un triangle équilatéral si et seulement si z1+ωz2+ω2z3=0z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0, avec ω=e2πi3\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}, et prouve que les points dont les distances à deux points fixes sont dans un rapport constant forment un cercle, le cercle d’Apollonius. Les problèmes culminent avec le théorème de Napoléon.

Objectifs d’apprentissage

  1. Représenter des points, des distances, des milieux et des centres de gravité par des nombres complexes, et exprimer les translations, les rotations, les homothéties et les symétries axiales comme des fonctions d’une variable complexe.
  2. Démontrer les formules de la rotation autour d’un point et de la symétrie par rapport à une droite, et étudier les composées de symétries et de rotations.
  3. Décider l’alignement, la perpendicularité et l’angle de deux segments au moyen du quotient de deux différences, déterminer l’orientation d’un triangle par le signe de la partie imaginaire de ce quotient et caractériser le triangle équilatéral par la racine cubique de l’unité ω\omega.
  4. Décrire des cercles à l’aide du module, démontrer le théorème du cercle d’Apollonius et employer ces outils dans des problèmes classiques, comme ceux de Napoléon et de Van Aubel.

Points, distances et centres

Depuis la leçon du cours Algèbre et géométrie I sur les opérations sur les nombres complexes, chaque complexe z=a+biz = a + bi est identifié au point (a,b)(a, b) du plan, et la différence z−wz - w est le vecteur qui va du point ww au point zz ; par le théorème de Pythagore, la distance entre ces deux points est ∣z−w∣\abs{z - w}. Dans cette leçon, le point de vue se renverse : on n’étudie pas les nombres à travers le plan, mais le plan à travers les nombres. Une figure est décrite par les complexes de ses points, et une propriété géométrique, par une égalité entre eux.

L’outil principal est l’exponentielle complexe de la leçon sur l’exponentielle complexe et la formule d’Euler. Pour tout réel φ\varphi, le nombre eiφe^{i\varphi} est le point du cercle de rayon 11 dont l’argument est φ\varphi, et il vérifie les propriétés ci-dessous ; la dernière vient de ce que cos⁡(−φ)=cos⁡φ\cos(-\varphi) = \cos \varphi et sin⁡(−φ)=−sin⁡φ\sin(-\varphi) = -\sin \varphi :

eiφ=cos⁡φ+isin⁡φ,∣eiφ∣=1,eiαeiβ=ei(α+β),eiφ‾=e−iφe^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi, \qquad \abs{e^{i\varphi}} = 1, \qquad e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}, \qquad \conj{e^{i\varphi}} = e^{-i\varphi}

D’après la leçon sur la forme polaire des nombres complexes, tout complexe non nul s’écrit z=reiθz = re^{i\theta}, avec r=∣z∣r = \abs{z} et θ\theta un argument de zz ; quand on multiplie deux complexes, on multiplie les modules et on additionne les arguments, et quand on les divise, on divise les modules et on soustrait les arguments. En particulier, multiplier zz par eiφe^{i\varphi} conserve son module et augmente son argument de φ\varphi : cela fait tourner le point zz d’un angle φ\varphi autour de l’origine, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre si φ>0\varphi > 0. Le produit par i=eiπ2i = e^{\frac{i\pi}{2}}, étudié dans la leçon du cours I sur les nombres complexes comme une rotation d’un quart de tour, est le cas φ=π2\varphi = \frac{\pi}{2}.

Les points d’un segment se décrivent aussi par des complexes. D’après la leçon du cours I sur les vecteurs et les équations paramétriques de la droite, les points de la droite qui passe par z1z_1 et z2z_2 sont ceux de la forme z1+t(z2−z1)z_1 + t(z_2 - z_1), avec tt réel, et ceux du segment qui les joint correspondent à 0≤t≤10 \leq t \leq 1.

LemmeMilieu et centre de gravité dans le plan complexe

Le milieu du segment d’extrémités z1z_1 et z2z_2 est la demi-somme m=z1+z22m = \frac{z_1 + z_2}{2}. Les trois médianes d’un triangle de sommets z1z_1, z2z_2 et z3z_3 passent par le point g=z1+z2+z33g = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}, appelé centre de gravité, qui se trouve sur chaque médiane aux deux tiers du chemin qui va du sommet au milieu du côté opposé. Le lemme a été démontré avec des vecteurs dans le problème résolu sur les médianes de la leçon du cours I sur les vecteurs et les équations paramétriques de la droite ; la démonstration ci-dessous le traduit en nombres complexes. La figure la suit avec les sommets z1=−2−iz_1 = -2 - i, z2=3−iz_2 = 3 - i et z3=2iz_3 = 2i.

Démonstration

  1. m=z1+12(z2−z1)=z1+z22\dato{m}{m = z_1 + \resaltar{\frac{1}{2}}(z_2 - z_1) = \resaltar{\frac{z_1 + z_2}{2}}}

    Le point du segment qui correspond à t=12t = \frac{1}{2} est la demi-somme des extrémités.

  2. m−z1=z2−z12=z2−m→∣m−z1∣=∣z2−m∣m - z_1 = \resaltar{\frac{z_2 - z_1}{2}} = z_2 - m \rightarrow \resaltar{\abs{m - z_1} = \abs{z_2 - m}}

    Il est à la même distance des deux extrémités, parce que les deux vecteurs qui le joignent à elles sont égaux : c’est le milieu.

  3. z3+23(z1+z22−z3)=z1+z2+z33z_3 + \resaltar{\frac{2}{3}} \left( \frac{z_1 + z_2}{2} - z_3 \right) = \dato{g}{\resaltar{\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}}}

    Sur la médiane qui joint z3z_3 au milieu du côté opposé, le point qui correspond à t=23t = \frac{2}{3} est celui que voici.

  4. z1+23(z2+z32−z1)=g=z2+23(z1+z32−z2)z_1 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_2 + z_3}{2} - z_1 \right) = \resaltar{g} = z_2 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_1 + z_3}{2} - z_2 \right)

    L’expression obtenue est symétrique en les trois sommets ; s’il en est ainsi, le même calcul avec l’une quelconque des deux autres médianes donne le même point, et les trois passent par gg. Avec les sommets de la figure, g=13g = \frac{1}{3}.

Ainsi, le milieu est la moyenne de deux complexes, et le centre de gravité, celle de trois.