Los números complejos como matrices

Resumen

Esta clase asocia a cada número complejo $z = a + bi$ la matriz de la transformación del plano que multiplica por $z$ , y demuestra que esa correspondencia es inyectiva y transforma sumas en sumas y productos en productos: las matrices de esa forma constituyen una copia fiel de los números complejos dentro de las matrices cuadradas de orden dos. En esa copia, la unidad imaginaria es el giro de un cuarto de vuelta, cuyo cuadrado es el opuesto de la identidad; el cuadrado del módulo es el determinante, el conjugado es la traspuesta y el inverso es la matriz inversa. La forma polar descompone cada una de esas matrices en un giro seguido de una homotecia, y las fórmulas de Euler y de De Moivre reaparecen como la regla de composición de los giros. La clase explica por qué estas matrices conmutan, aunque las matrices en general no lo hagan, y termina con una primera mirada a los cuaterniones de Hamilton, cuyo producto ya no es conmutativo.

Objetivos de aprendizaje

Obtener la matriz de la multiplicación por un número complejo y demostrar que la correspondencia entre complejos y matrices conserva la suma y el producto.
Traducir a matrices el módulo, el conjugado, el inverso y la forma polar de un complejo, e interpretar geométricamente cada traducción.
Calcular potencias, inversos y raíces de números complejos mediante sus matrices, y reconocer en las fórmulas de Euler y de De Moivre la composición de giros.
Explicar por qué las matrices de los complejos conmutan entre sí, demostrar que son las que conmutan con el giro de un cuarto de vuelta y verificar con sus matrices que el producto de los cuaterniones no es conmutativo.

La matriz de la multiplicación por un complejo

En la clase del curso Álgebra y Geometría I sobre los números complejos se identificó cada complejo $x + yi$ con el punto $(x, y)$ del plano, y se demostró que multiplicar por $i$ hace girar cada punto un cuarto de vuelta alrededor del origen. Si esto es así, multiplicar por un complejo fijo $z$ es una transformación del plano, que a cada punto $w$ le asigna el punto $zw$ . En la clase sobre las matrices como transformaciones del plano se demostró que una transformación lineal queda determinada por una matriz, cuyas columnas son las imágenes de los vectores $(1, 0)$ y $(0, 1)$ . De ello se sigue la pregunta que orienta esta clase: ¿qué matriz tiene la multiplicación por $z$ , y qué se gana al representar cada número complejo por esa matriz?

ProposiciónLa matriz de la multiplicación por z

Sea $z = a + bi$ un complejo fijo. La transformación del plano que multiplica cada complejo $w = x + yi$ por $z$ es lineal; su matriz tiene por columnas $z$ e $iz$ , y lleva el cuadrado unidad a un cuadrado de lado $\abs{z}$ .

Desarrollamos el producto y leemos en él la matriz. La figura usa $z = 2 + i$ .

Demostración

$zw = (a + bi)(x + yi) = ax + ayi + bxi + b \resaltar{i^2} y = \dato{p}{\resaltar{(ax - by) + (bx + ay) i}}$
Desarrollamos el producto con la propiedad distributiva y sustituimos $i^2$ por $-1$ .
$\begin{pmatrix} \resaltar{ax - by} \\ \resaltar{bx + ay} \end{pmatrix} = \dato{m}{\begin{pmatrix} \resaltar{a} & \resaltar{-b} \\ \resaltar{b} & \resaltar{a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}$
Escribimos los puntos como vectores columna. Las coordenadas de $zw$ son combinaciones de $x$ y de $y$ con coeficientes fijos: es el producto de una matriz por el vector de $w$ , y la transformación es, por tanto, lineal.
$z \cdot \resaltar{1} = \resaltar{a + bi}, \qquad z \cdot \resaltar{i} = \resaltar{-b + ai}$
Las columnas de la matriz son las imágenes de $1$ y de $i$ . La primera es $z$ ; la segunda es $iz = -b + ai$ , el giro de $z$ en un cuarto de vuelta.
$\abs{iz} = \abs{i} \abs{z} = \resaltar{\abs{z}}, \qquad \resaltar{z \cdot (1 + i)} = \resaltar{z + iz}$
El cuadrado unidad, de vértices $0$ , $1$ , $1 + i$ e $i$ , se transforma en el cuadrilátero de vértices $0$ , $z$ , $z + iz$ e $iz$ . Sus lados desde el origen tienen la misma longitud $\abs{z}$ y son perpendiculares: la imagen es un cuadrado de lado $\abs{z}$ , girado respecto del cuadrado unidad.

La matriz obtenida tiene una forma muy particular: sus dos entradas de la diagonal son iguales, y las otras dos son opuestas. Se llama matriz del complejo $z = a + bi$ , con $a$ y $b$ reales, a la matriz de la multiplicación por $z$ :

M(z) = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}

La primera columna de $M(z)$ es el propio $z$ , y la segunda es $iz$ . Al separar las dos partes del complejo, la matriz se descompone en una combinación de dos matrices fijas: la identidad $I$ , que es la matriz del número $1$ , y la matriz $J$ del número $i$ .

M(a + bi) = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = aI + bJ

En particular, los números reales corresponden a los múltiplos de la identidad, $M(a) = aI$ , que son las homotecias de centro en el origen, y los imaginarios puros $bi$ a los múltiplos de $J$ . Las primeras entradas de la tabla de correspondencias son las siguientes.

M(1) = I, \qquad M(i) = J, \qquad M(-1) = -I, \qquad M(-i) = -J, \qquad M(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

En el resto de esta clase

La suma y el producto se conservan
La unidad imaginaria como un cuarto de vuelta
Determinante, traspuesta e inversa
La forma polar: un giro y una homotecia
Euler y De Moivre como composición de giros
Por qué estas matrices conmutan
Una mirada a los cuaterniones
Problemas resueltos
Un sistema lineal disfrazado de división
La octava potencia de 1 + i, girando
Las matrices que conmutan con la unidad imaginaria
Infinitas raíces cuadradas de menos la identidad
Las raíces cuadradas de un giro
Problemas propuestos
Los giros son las matrices de módulo uno
La ecuación de segundo grado de una matriz de complejo
El recorrido de una tortuga gráfica
Los números hiperbólicos
Dos cuaterniones que no conmutan