Estructuras algebraicas: grupos, anillos y cuerpos

Operaciones binarias

A lo largo de este curso y del curso Álgebra y Geometría I se han sumado y multiplicado naturales, enteros, racionales, reales y complejos; se han compuesto funciones, se han multiplicado matrices y se han encadenado giros del plano. Cada una de estas operaciones toma dos objetos de un conjunto y devuelve un tercero del mismo conjunto, y en todas ellas se han demostrado, una y otra vez, propiedades parecidas. Esta clase aísla esas propiedades y estudia lo que se sigue de ellas, sea cual sea la naturaleza de los objetos.

Una operación binaria en un conjunto $A$ es una regla que asigna a cada par ordenado de elementos $a$ y $b$ de $A$ un único elemento de $A$, que se escribe $a \cdot b$, o simplemente $ab$. Que el resultado pertenezca a $A$ se expresa diciendo que $A$ es cerrado para la operación.

El punto no designa aquí necesariamente un producto de números: es el nombre genérico de la operación, que en cada caso será la suma, el producto, la composición o cualquier otra. Cuando la operación es una suma se usa, por costumbre, el signo $+$. Las propiedades que interesan son cuatro. La operación es asociativa si $(ab)c = a(bc)$ para todos los $a$, $b$ y $c$ de $A$, y conmutativa si $ab = ba$ para todos los $a$ y $b$. Un elemento $e$ de $A$ es neutro si $ea = ae = a$ para todo $a$; y, si hay neutro, un elemento $b$ es inverso de $a$ cuando $ab = ba = e$.

Ninguna de las cuatro propiedades es automática. La resta es una operación binaria en $\mathbb{Z}$, pero no es asociativa ni conmutativa, y no tiene neutro: el $0$ cumple $a - 0 = a$, pero no $0 - a = a$. La división no es una operación binaria en $\mathbb{Q}$, porque no asigna nada al par formado por $1$ y $0$. La suma en $\mathbb{N}$ es asociativa y conmutativa, pero no tiene neutro, porque en el curso I los naturales comienzan en $1$. La composición de funciones es asociativa y no es conmutativa, como se demostró en la clase del curso I sobre operaciones con funciones, y lo mismo ocurre con el producto de matrices cuadradas de un mismo orden, estudiado en la clase sobre matrices y operaciones con matrices, cuyo neutro es la matriz identidad $I$.